Lanzamiento de Proyectiles Diego Cáceres Z. Daniel Garrido V. IIIºB

d: alcance o distancia máxima h: altura máxima de lanzamiento Vo: velocidad inicial, se divide en Vox (eje “x”) y Voy (eje “y”)

La trayectoria es una parábola al revés DATOS A CONSIDERAR La trayectoria es una parábola al revés

Debe haber un impulso o fuerza que dispare al proyectil y: Vi sen α x: Vi cos α Debe haber un impulso o fuerza que dispare al proyectil Debe haber una Velocidad inicial de lanzamiento Vx: siempre constante Vy: varia α : Ángulo de lanzamiento (distinto a 90º) : impulso o fuerza (F) inicial de lanzamiento

El lanzamiento se genera en un plano verticalmente El lanzamiento se genera en un plano Un proyectil avanza horizontal y verticalmente horizontalmente

El tiempo de subida vale lo mismo que el tiempo de bajada Tsubida = Tbajada El tiempo de subida vale lo mismo que el tiempo de bajada t: Tsubida + Tbajada Leyes de Galileo (bajada) El eje vertical obedece a las leyes de Galileo, y el eje horizontal a las leyes de la cinemática Vf = Vo + gt NOTA: En las leyes de Galileo, los signos dependen de la bajada (signos positivos) o subida (signos negativos) del movimiento. Ley de Cinemática

Todo lanzamiento tiene un alcance máximo (d), y una altura máxima (h) d máx. = V x t x cos α d máx. = Vx x t

En resumen Y Vf= 0 X En el eje X, la velocidad del proyectil es CONSTANTE. La velocidad no varía Se rige: V= distancia/tiempo Velocidad es la misma

En resumen Y Vf =0 X Por tanto rigen las fórmulas de Galileo En el eje Y, la velocidad del proyectil varía. Por tanto rigen las fórmulas de Galileo h= ho+VoT±1/2 gT2 Vf=Vo±1/2gT Vf2 = Vo2 ±2gh T= tiempo ho (altura inicial) g = gravedad (9.8 ≈ 10 m/s2) Vox =Vo∙cos  H (altura) Subida: -g Bajada: +g Vo Voy =Vo∙sen 

Veamos si hemos aprendido! Problema: Veamos si hemos aprendido! Un proyectil es disparado con una V de disparo de 600 m/s con 60° de disparo. Calcular: A) El alcance máximo. B) Altura máxima. C) Velocidad y la altura del proyectil después de 30s después de haber sido disparado. D) La V y velocidad al cabo de los 20s.

Para empezar, tenemos que colocar los datos entregados o graficarlos (el que sea conveniente). Vo = 600 m/s 60° Ángulo de disparo. VoX = 600 cos 60 = 300 m/s VoX = 300 m/s (V.Constante)

Distancia = dist. Inicial + Vo cos •T Alcance Máximo. El alcance de máximo pertenece a la ecuación cinemática del eje X. Distancia = dist. Inicial + Vo cos •T Distancia Inicial es 0 porque fue disparado en una altura de 0 metros. Distancia = 0 + 600 cos 60•t a) Distancia = 300 t

Alcance Máximo y tiempo de vuelo. Para calcular el alcance máximo… 1°Hay que calcular el tiempo de vuelo. T de vuelo Vf= 0 2°Hay que considerar que: T.vuelo /2 H Máxima 3° Vf=Vo sen -gt 𝑡. 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 2 60° Alcance Máximo Vf (0 m/s) = 600 sen 60 -10• 𝑡𝑣 2 Por tanto, si el alcance máximo es 300t… 0= 300 3 - 5 tv 5 tv =300 3 300•104= 31.200 mts T.Vuelo = 60 3 = 104 seg.

Altura Máxima Para calcular la altura máxima… 𝑉𝑓 2 = (𝑉𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝑎) 2 - 2gh 60° 31.200 mts Vf (0 mts) = ( 600 𝑠𝑒𝑛 60) 2 - 2•10•h 0=360.000 (𝑠𝑒𝑛60) 2 -20h 20h= 360.000•0,75 H.máxima: 13.500 mts. 270.000 20 = h

La Velocidad a los 30 s : 300 m/s î + 219 m/s ĵ Recordar que velocidad no es lo mismo que rapidez. La velocidad es un vector y la rapidez es una magnitud. Se calcula por cada eje. V(30s) Vx a los 30s = D/T = 300m • t.vuelo/ t.vuelo = 300 m/s Vy a los 30 s = 600 m/s • ½ 3 - 30 •10 m/ 𝑠 2 =300 3 m/s -300 m/s 219 m/s Calculado de: Vf (0 m/s por Lanz. Vertical)= Vo sen - gt ( g es negativa porque esta el proyectil está en subida). La Velocidad a los 30 s : 300 m/s î + 219 m/s ĵ

La Velocidad y rapidez al cabo de los 20s. 1°Velocidad por cada eje a los 20s. 2° Rapidez a los 20s. Vx= Vo cos  = 600 cos 60 = 300m/s V(20s) Vy = Vo sen  -gt = 600 sen 60 -10•20 = 320 m/s Velocidad a los 20s= 300 m/s î + 320 m/s ĵ V= para sacar rapidez se saca el módulo de la velocidad. V = (300) 2 + (320) 2 = 192.400 = 438,6 m/s Rapidez a los 20s = 438,6 m/s

Problemas de aplicación,. 1.-  Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad inicial de 40 m/s sobre un terreno horizontal. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar a la tierra; b) El alcance horizontal del proyectil.

2.- Una persona lanza oblicuamente una pelota con una velocidad inicial 𝑣 0 = 10 m/s y un ángulo de lanzamiento θ = 60º . Suponga que g = 10 m/s2, desprecie la resistencia del aire y considere el momento del lanzamiento como el origen del conteo del tiempo (t=0). En el instante t = 0,50 s, ¿cuál es el valor de la velocidad de la pelota? ¿Cuál es la posición de la pelota en el instante t= 0,50 s ? Determine la posición de la pelota en el instante t = 1,22 s (6,1m/s; 3.1m ; 𝑣 𝑥 = 5 m/s 𝑣 𝑦 = - 3,6 m/s : 3,1m)

3,.- Considerando la pelota del problema 2:   Calcule el instante en que la pelota llega al punto más alto de su trayectoria.

4.- Suponga que un proyectil haya sido lanzado con una velocidad inicial 𝑣 0 y con ángulo de elevación θ. Considere un punto P situado en el mismo nivel horizontal del punto O de lanzamiento. La distancia OP ( véase figura) se denomina alcance del proyectil. ¿Cuánto tiempo transcurre, desde el instante del lanzamiento hasta que el proyectil llega al punto P? Obtenga una expresión que permita calcular el valor del alcance del proyectil. ¿Para qué valor del ángulo de elevación el alcance será máximo? (t = 2∙ 𝑣 0 ∙senθ 𝑔 ; 𝑣 0 2 𝑔 𝑠𝑒𝑛2∙𝜃 ; 45º )

5.- Un futbolista patea una pelota que se encuentra en el pasto con un ángulo de 30° (medido desde la horizontal) con la intención de hacer un gol en un arco que se encuentra a 30 m desde su posición. Si la altura del arco es de 2 m (medido entre el pasto y el travesaño) y el jugador patea directamente en dirección al arco, ¿a qué velocidad debe patear la pelota para hacer el gol? ¿cuánto tiempo se demora la pelota en llegar al arco? 6. Una pelota es lanzada horizontalmente desde la azotea de un edificio de 50 m de altura y llega al suelo a 45 m de la base del edificio. ¿Cuál fue la rapidez inicial de la pelota?

7. Un avión que se desplaza a 350 km/h (manteniendo su altitud constante a 4000 m) debe dejar caer un paquete, para que sea recibido por un grupo que lo espera ansiosamente y que se encuentra en un lugar ubicado a 1000 m de altitud. ¿A qué distancia del grupo de personas (medida horizontalmente) debe dejar caer el paquete para que cumpla con el objetivo? ¿Cuánto tiempo demora en caer el paquete? ¿Con qué velocidad es recibido el paquete? 8. Un atleta de salto largo deja el terreno a un ángulo de 30° y recorre 7,80 m. ¿Cuál fue su rapidez de despegue? Si se aumentara la rapidez anterior en un 50%, ¿qué tanto más largo sería el salto?

9. Un atleta de salto alto corre a 9,1 m/s justo antes de saltar con un ángulo de 75° hacia la barra horizontal que se encuentra a 1 m de su posición en ese instante (medido horizontalmente) ¿A qué altura está la barra si justo en el momento que pasa sobre ella se encuentra a la máxima altura que alcanza? 1o. Un helicóptero se desplaza horizontalmente con una rapidez de 40 m/s a 1125 m del suelo. Si un objeto se cae del helicóptero, calcular: a) Tiempo que demora en tocar el suelo b) El módulo de la velocidad a los 4 s de haber caído c) La velocidad con que toca el suelo d) El alcance horizontal.

11.- En un bar local, un cliente desliza un vaso de cerveza vacío sobre el mostrador para que el cantinero lo vuelva a llenar. El cantinero está distraído y no ve el vaso que se desliza por el mostrador y golpea el piso a 1,4 m de la base del mostrador. Si la altura del mostrador es de 0,86 m. a) ¿con qué velocidad sale el vaso del mostrador? R: 3,34 m/s; 0° b) ¿Cuál fue la dirección (ángulo) del vaso justo en el instante de golpear el suelo? (R: 309°) 12. Se lanza un proyectil con una velocidad de 80 m/s, que forma un ángulo de 45º con la horizontal. Determinar las coordenadas de posición y componentes rectangulares de la velocidad en los instantes. a) 0 (s) b) 3 (s) c) 6,3 (s) d) 11,2 (s)

13. Se lanza un proyectil con velocidad de 50 m/s que forma un ángulo de 30º. Determinar: a) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. b) Tiempo total hasta que vuelve a tocar el suelo. c) Altura máxima. d) Alcance máximo horizontal ( 2,5 s; 5,0 s : 31,25 m; 216,5 m) 14. Se dispara un proyectil desde una cornisa de un edificio que se encuentra a 180 m de altura. Si su velocidad inicial es de 60 m/s a 60º respecto a la horizontal, determinar: a) ¿Cuánto tiempo demora en alcanzar su máxima altura? b) ¿Cuánto es la altura máxima que alcanza? c) ¿Cuánto tiempo tarda desde el punto más alto hasta el suelo? ¿Cuál es el alcance? (5,2 s ; 314,99 m: 7,94 s ; 394,2)

15.- En un show circense, el Hombre Bala ingresa en un cañón el cual está orientado 45º respecto del suelo. Si la rapidez con que salen los objetos lanzados por ese cañón es de 30[m/s], determine la distancia (medida desde el cañón) en la cual debe colocarse la malla de seguridad que recibirá al Hombre Bala luego de ser lanzado por el cañón. 16. Se dispara un proyectil de tal manera que su alcance horizontal es igual al triple de su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de lanzamiento? ( 53,1)

17. Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con una velocidad 𝑉 =(12𝑖+24𝑗)𝑚/𝑠. a) ¿Cuáles son las componentes rectangulares de la velocidad a los 4 s de iniciado el movimiento? b) ¿Cuáles son las coordenadas de posición cuando el proyectil alcanza su máxima altura? ( 𝑉 = 12𝑖−15.2𝑗 𝑚 𝑠 ;(29,4; 29,4) m )

18. Se ha dicho que en su juventud, George Washington lanzó un dólar de plata de una orilla de un río al a la otra orilla. Suponiendo que el río tenía un ancho de 75m y que Washington lanzó el dólar desde una altura de 1,5 m del suelo, a) ¿Qué rapidez mínima inicial fue necesaria imprimirle a la moneda para que llegará a la otra orilla? b) ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire la moneda? ( 26,8 m/s ; 3.9 s 9) 19.- Durante la primera guerra mundial, los alemanes tenían un cañón llamado Big Bertha que se usó para bombardear París. La bala del cañón salía con una rapidez inicial de 1700 m/s a una inclinación de 55° con la horizontal. Para dar en el blanco se hicieron algunos ajustes para considerar la resistencia del aire y otros efectos, a) ¿A qué distancia de la posición de lanzamiento da en el blanco? b) ¿Cuánto tiempo estuvo la bala en el aire? ( 277 km; 284 s )

20. Un avión de rescate en Alaska deja caer un paquete de provisiones a un grupo de exploradores extraviados. Si el avión viaja horizontalmente a 40 m/s, y a una altura de 100 m sobre el suelo. ¿Dónde cae el paquete en relación con el punto en que se soltó? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad llega al suelo? Sol.: 180,4 m; 4,51 s; 59,60 m/s 21. Juan está en la parte inferior de la colina, mientras que Pedro se encuentra 30 m arriba de la misma. Elegimos a Juan como origen del sistema de coordenadas y la línea que sigue la pendiente de la colina está dada por la ecuación y = 0,4 x. Si Juan lanza una manzana a Pedro con un ángulo de 50º respecto de la horizontal ¿Con qué velocidad debe lanzar la manzana para que pueda llegar a Pedro? Sol.: 50,26 m/s

Gracias.