Postgrado en Ingeniería Biomédica Aplicaciones de Sensado Compromido al procesamiento de Señales e imágenes Biomédicas José Luis Paredes Postgrado en Ingeniería Biomédica Facultad de Ingeniería Universidad de Los Andes I Jornadas Aportes a la Ingeniería Médica en la Universidad de Los Andes

Agenda Fundamentos de Sensado Coprimido. Algoritmo de Reconstrucción: Representación Poco Densa (Sparse) Proyecciones Incoherentes Algoritmo de Reconstrucción: Matching Pursuit Reconstrucción basada en Mediana Ponderada Aplicaciones a Biomédica: Análisis de Imágenes de resonancia Magnetica funcional Análisis de registros de Electroforesis Capila Conclusiones

Bases en Compresión de Imágenes Primero MUESTREAR (convertidor A-D, cámaras digitales, sistema de adquisición MRI…) Luego COMPRIMIR N>>K Transmitir/ almacenar muestreo Comprimir K coeficientes wavelets más grandes N pixels

Compresibilidad en Señales e imágenes La mayoria de la imágenes naturales e imágenes medicas son compresibles Poco coeficientes concentran la mayor cantidad de energía Mayoría de los coeficientes en el dominio de la transformada son despreciables en magnitud Información más importante cae sólo en unos pocos coeficientes 4

Limitaciones Siempre se necesita muestrear primero para luego comprimir Alta resolución demanda alta frecuencia de muestreo Convertidores analógico-digital ultra-rápidos Demanda amplios ancho de banda Mayor capacidad de almacenamiento Etapas de post-procesamiento a alta velocidad Tiempos de adquisición mayores

Compressed Sensing (CS) Intenta unificar el proceso de muestreo y de compresión en una única tarea Recupera una señal a partir de un conjunto de proyecciones aleatorias con alta probabilidad Usa algoritmos de reconstrucción no lineal Es universal, no adaptativo, con un gran potencial para procesamiento de señales/imágenes en biomédica

Compressed Sensing Permite reconstruir una señal poco densa sparse a partir de un conjunto de medidas aleatorias (proyecciones aleatorias) Proyector Aleatorio M x N Matriz aleatoria

Representación Sparse Átomos de un diccionario  = X  0.2 0.5 0.1 =

Representación Sparse: Diccionario Combinación de bases, señales parametrizadas, etc… . . . = L  X  Átomos de un Diccionario Chirplet + Bases de Fourier = Diccionario Diccionarios Frecuenciales Diccionarios en Tiempo-Escala Diccionarios en Tiempo-Frecuencia Mega-diccionarios Conjunto de señales parametrizadas

Compressed Sensing: Proyecciones aleatorias PROYECTO ALEATORIO tiene que ser incoherente con el diccionario  pueden ser realizaciones de una variable aleatoria Gaussiana Φi,j ~N(0,1) Bernoulli ( ±1 ) Seleccionar aleatoriamente algunas elementos de una base ortogonal tipo Fourier/DCT/Hadamard

Compressed Sensing en el dominio de la frecuencia (Bases de Fourier) Representación de Fourier  Matriz de medidas aleatorias  Bases de Fourier   Solución en el dominio de Fourier Proyector Aleatorio ALGORITMO DE RECONSTRUCCIÓN min ||||0  = Y

CS - Principio Señal X es sparse Medir la señal usando pocas proyecciones aleatorias: Y = X Reconstrucción: Dadas la medidas Y  encontrar X

Algoritmos de Recuperación de Señal Dado el conjunto de M medidas Encuentre la señal poco densa X Y = X +  Y  M-dimensional vector   M x N matriz de medidas X  N-dimensional señal sparse   vector de ruido Dado que M << N, reconstrucción de la señal es un problema de ecuaciones lineales con múltiples soluciones Algoritmo de reconstrucción Señal recuperada Proyecciones aleatorias 13

Objetivos de los Algoritmos de Recuperación de Señal Localizar las componentes diferentes de cero de X 2. Estimar sus amplitudes Esta tarea se conoce como selección de las bases o selección del modelo Uno intenta identificar cuales de las columnas de la matriz  fue usadas para formar Y Determinar la contribución de cada vector-columna en A que formo la medidas Y Operación de estimación 14

Algoritmos de Recuperación de Señal Minimización de L0 min ||||0 tal que  = Y Extremadamente complejo Es un problema tipo NP-hard Presenta pobre robustez Greedy-based algorithm Convex-Relaxation algorithm  Lp minimization min ||||1 s.t.  = Y Requiere algunas medidas adicionales: M > cK c  log2(N/K+1) Con alta probabilidad la solución L1 es la misma solución que L0

Algoritmos de Recuperación de Señal Algoritmos tipo Greedy Pursuit Algoritmos iterativos que recuperan la señal X a partir de las medidas Y Necesita un poco más de medidas o proyecciones aleatorias Ejemplo: Matching Pursuit Orthogonal Matching Pursuit (OMP) Regularized OMP Stagewise OMP. Subspace MP. COsaMP Algoritmo de regresión basada en Mediana Ponderada

Algoritmo iterativo de regresión usando medianda ponderada Estimación de la Señal usando mediana ponderada agregando la robustez deseada Selección de Bases usando un operador de umbralización que induce poca densidad en la solución Variación del umbral en la medida que el algorithm progresa 17 (k) 17

Algoritmo iterativo de regresión usando mediana ponderada El algoritmo iterativo trata de detectar en order descendente de amplitud las componentes diferentes de cero de la señal: Determina un estimado aproximado de la señal. Aplica una operación de umbralización sobre el valor estimado Eliminar la influencia de esa componente en particular. Disminuir el valor umbral Repetir este procedimiento hasta que se cumpla un criterio de parada del algoritmo 18 18

Contexto de Aplicación CS a fMRI Espacio k Señal BOLD 256 codificacionesde fase +128 Cada vez que una codificación de fase es ejecutada los datos (muestras de la señal BOLD codificada en frecuencia) son almacenados en una línea del espacio k Las imágenes MRI concentran la mayor energía en el origen del espacio k ifft2 -128

Esquema de submuestreo Espacio k-submuestreado para cada una de las máscaras binarias 2D utilizadas Densidad Variable Aleatoria Densidad Uniforme Aleatoria Densidad Uniforme no Aleatoria

Contexto de Aplicación CS a fMRI El conjunto de mediciones y es una versión submuestreada del espacio k - La reconstrucción se realiza resolviendo el problema de optimización convexo Ψ : Matriz de Transformación (Bases Wavelet) Fu = Φ: Transformada de Fourier 2D submuestreada m: imagen; ɛ: magnitud del error en la reconstrucción 21

Resultados Imagen Original Densidad Uniforme (20%) PSNR = 19.35 dB Densidad Variable (20%) PSNR = 26.53 Imagen Original Reconst. Wavelet (10%) PSNR = 35.54dB Densidad Uniforme (40%) PSNR = 21.57 dB Densidad Variable (40%) PSNR = 29.24 22

Detección de zonas de activación en fMRI usando CS Algoritmo de Mediana Ponderada SPM

Electroforésis Capilar (EC) Muestra 1-10 nl 10-30kV La EC es una técnica de análisis de sustancias que permite obtener información precisa acerca de sus componentes, permitiendo separar e identificar los compuestos químicos presentes en una muestra determinada

Electroferograma

Diccionario parametrizado gausiano

Síntesis de electroferogramas Se generan K (sparsity) posiciones aleatorias Se seleccionan esas K gausianas del diccionario y se multiplican por un aleatorio U(0,1) Finalmente, se suman todas las contribuciones

Reconstrucción de electroferogramas sintéticos señal de 850 muestras sparsity K de 50 sólo 280 mediciones aleatorias reducción de 67% de los datos

Reconstrucción de electroferogramas sintéticos 200 mediciones aleatorias error=13% señales de 850 muestras sparsity K de 50 300 mediciones aleatorias error=8% 400 mediciones aleatorias error=6%

Reconstrucción de electroferogramas sintéticos Promediando múltiples repeticiones de reconstrucción o aproximación de la señal original usando el número de mediciones aleatorias indicado...

Reconstrucción de electroferogramas reales Los resultados obtenidos muestran que la aplicación del CS en el procesamiento de electroferogramas reales

Reconstrucción de electroferogramas reales Los resultados obtenidos muestran que la aplicación del CS en el procesamiento de electroferogramas reales

para 10 realizaciones de MP. Validación Electroferograma Nº 17. Variación del glutamato estimado para 10 realizaciones de MP.

Conclusiones Compressed Sensing presenta una nueva alternativa de adquisición de datos que requiere menos recursos AD Elementos que lo conforman: Proyección aleatorio Representación poco densa en un diccionario específico Algoritmo de reconstrucción Con potencial de aplicación para el análisis de señales e imágenes médicas En imágenes de fMRI con una reducción del 60% en el número de valores de fase, siempre que se utilice un esquema de submuestreo de densidad variable aleatoria En electroforsis capilar con la definición de un diccionario apropiado para la aplicación