Mecánica: Dinámica de Rotación Montoya.-

Conceptos Previos sobre estática y dinámica lineal Estudio de las fuerzas como causa del movimiento. Cuando un cuerpo se mueve de modo que su trayectoria sea una circunferencia , el movimiento es circular , si además describe arcos iguales , en tiempos iguales ,el movimiento es circunferencial uniforme.

Equilibrio Traslacional Suma de las fuerzas vale cero El objeto viaja a V = cte o se encuentra en reposo

Equilibrio Rotacional Suma de los torque vale cero El objeto se mueve girando sobre algún eje con vel. ang. = cte, o no se encuentra girando

Tipos de Equilibrio E. Estable E. Inestable E. Marginal

Si el cuerpo no está en equilibrio Suma de las fuerzas vale m*a M es la masa del objeto, y a es la aceleración resultante. Suma de los torques vale I*α I es el momento de Inercia del objeto, y α es la aceleración angular resultante. Además T = r x F

Momento de Inercia de un cuerpo Es una magnitud que da cuenta como es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. Es análogo a la masa de un cuerpo. Representa la inercia de un objeto a rotar.

Para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula a al eje de giro escogido. Matemáticamente se expresa como:

Entonces si se tiene sólo una partícula: I = m*r² Note que si: I = ∑ mi * ri ² Entonces si se tiene sólo una partícula: I = m*r² El momento de inercia depende de la distancia entre el objeto y el eje de giro. m

Ejercicio ejemplo: Se tiene tres partículas de masas iguales m= 0,5 (Kg), cada una tres metros de la otra respecto del origen de un plano cartesiano (ver figura). a) Calcular el momento de inercia de la esfera 1 respecto del eje Y. b) Calcular el momento de inercia del sistema respecto del eje Y.

Momento de Inercia para un sólido rígido. Se determina sumando los momentos de inercia de todas las partículas que forman el cuerpo. Algunos valores para cuerpos rígidos típicos.

Ejercicio Calcule el momento de inercia para: a) Una barra de largo 50 cm y masa 5 Kg que gira sobre un eje que: i) pasa por su centro ii) pasa pos su extremo b) Un cilindro de radio 10 cm y alto 20 cm, cuya masa es de 800 grs. si gira sobre n eje central: i) // a su altura ii) // a su diámetro c) Una esfera que gira sobre su diámetro, de masa 2,5 Kg y diámetro 25 cm. d) Un cascaron esférico de masa 1000 grs y radio 50 cm que gira sobre su diámetro.

Momento angular El momento angular (cantidad vectorial) es conocido como la “Cantidad de movimiento que lleva un cuerpo cuando está girando”. Análogo a cantidad de movimiento lineal. Matemáticamente es: L = I * ω donde I es el momento de inercia y ω es la vel. ang.

Momento angular y Torque si diferenciamos esta última ecuación: ΔL = I * Δω Y luego dividimos por Δt, tenemos que: ΔL/ Δt = I * α Entonces llegamos a: Torque = ΔL / Δt

Ejercicio Calcule el momento angular de los objetos del ejercicio anterior si cada uno lleva vel. ang = 4 rd/seg

Momento Angular y Lineal Como T = r x F y: T = ΔL / Δt ΔL = r x F * Δt pero F = m * Δv / Δt ΔL = r x m * Δv Ahora, m * Δv = Δp entonces: ΔL = r x Δp Sin diferencias: L = r x p es la relación entre las cantidades de movimiento lineal y angular para un cuerpo que gira respecto de un eje.

Ejercicio Se tiene una esfera de masa 3,5 Kg que gira en torno a un eje a 50 cm. Cada vuelta demora 7 seg. Calcule la cantidad de movimiento lineal de la esfera Calcule el momento de inercia de la esfera Calcule la cantidad de movimiento angular de la esfera

Cambio en el Momento de Inercia Como vimos antes, I = ∑ mi*ri² entonces depende de la distancia a la cual gira el cuerpo. Si trabajamos con un sólido rígido también dependerá de la distancia a la cual gira el sólido. Podemos cambiar el momento de inercia, o calcular el momento de inercia si cambia el eje de giro.

Teorema de los Ejes Paralelos (o teorema de Steiner) Dice que si un cuerpo de masa M que posee momento de inercia Icm respecto de su centro de masa y gira en torno a un eje a una distancia d del centro de masa del sólido rígido, entonces su nuevo momento de Inercia I´ calculado respecto de el nuevo eje de giro es: I´ = Icm + M*d²

Ejemplo Se sabe que para una barra de masa M y largo L que gira en torno a aun eje que pasa por su centro de masa y paralelo al diámetro, su I = ML² 12 Si consideramos que la barra ahora gira en torno a uno de sus extremos, la distancia entre el nuevo eje de giro y su centro de masa es d=L/2

Ejemplo Entonces I´ = Icm + M*d² como d=L/2 y Icm = ML² 12 I´ = ML² + ML² 12 4 Sacando factor común: I´ = ML² + 3ML² => I´ = 4ML² => I´ = ML² 12 12 3 Que es el valor dado por tabla

Problemas de aplicación. Calcule el valor del momento de inercia de una superficie plana de ancho w y largo l si gira en torno a un eje paralelo al lado w, y cuya masa es M. Calcule el momento de inercia de un cilindro de radio R que gira en torno a un eje paralelo a su altura h, y cuya masa es M. Calcule el momento de inercia de una esfera de radio R y masa M que gira en torno a un eje tangente a su superficie. Calcule el momento de inercia de un cascarón esférico de radio R y masa M que gira en torno a un eje tangente a su superficie.

5.- La rueda e un molino es un disco uniforme de 0,9kg y de 8cm de radio . Se lleva uniformemente al reposo desde una rapidez de 1400rpm en un tiempo de 35s. ¿de que magnitud es la torca debida al rozamiento que se opone al movimiento? (-0,0121Nm)

6.- repita el problema ante3rior , utilizando la relación entre trabajo y energía .

9.- repita el problema anterior aplicando consideraciones de energía.

11.- utilice el método de energía para calcular la rapidez de la masa de 2kg de la figura que se indica , cuando ha caído 1,5m desde el reposo. (2,03m/s)

12.- Un motor gira a 20 rev/s y suministra una torca de 75N ¿Cuál es la potencia en Hp que esta desarrollando? (12,6Hp)

13.- una rueda motriz que acciona una banda de transmisión conectada a un motor eléctrico tiene un diámetro de 38cm y realiza 1200rpm . La tensión en la banda es de 130N en el lado flojo y de 600N en el lado tenso. Encuentre la potencia, en Hp , que transmite la rueda a la banda. (15,0Hp)

15.- Como muestra la figura , una esfera solida y uniforme rueda sobre una superficie horizontal a 20 m/s . Después rueda hacia arriba sobre un plano inclinado, como se indica. Si las perdidas debida a la fricción son despreciables ¿Cuál es el valor de H en el lugar donde se detiene momentáneamente la esfera? (28,6m)

16.- Inicialmente en reposo , un anillo de 20cm de radio rueda hacia debajo de una colina hasta un punto que se encuentra 5m por debajo del punto inicial. ¿Qué tan rápido esta rotando en ese punto? (35rad/s)

17.- Un disco solido rueda sobre una pista; en la parte mas alta de una colina su rapidez es de 80cm/s . Si las perdidas por fricción son despreciables . ¿con que rapidez se estará moviendo cuando se encuentre a 18cm por debajo de la cima? (1,73m/s)

20.- Un enorme rodillo uniforme en forma de cilindro es jalado por un tractor para compactar la tierra. Este rodillo tienen 1,80m de diámetro y un peso de 10KN . Si los efectos de la fricción son despreciables ¿Qué potencia promedio , en Hp debe tener el tractor , para acelerar desde el reposo hasta una rapidez de 4,0 m/s en una distancia de 3,0m? (10,9Hp)

22.- Un hombre se encuentra colocado sobre una plataforma con libertad de girar , como se muestra en la figura . Con sus brazos extendidos su rapidez de giro es de 0,25rev/s ; pero cuando los contrae hacia el , su rapidez es de 0,80 rev/s. Encuentre la relación de su momento de inercia en el primer caso con respecto al segundo. ( 3,2)

Determina la velocidad angular de un disco de 1kg de masa y radio 20cm que rota con eje en su centro de masa con una energía cinética de 800J

Un carrete de alambre de 10kg y 20cm de radio se desenrolla sosteniendo una tensión constante en el alambre de de 800N. ¿Cuál es la aceleración angular del carrete?

El yoyo de la figura se desenrolla por acción de la tensión T apoyado en una superficie plana.  Hallar una expresión para la aceleración angular del yoyo.

La polea de la figura tiene masa m La polea de la figura tiene masa m. El sistema parte del reposo, determinar la velocidad de la masa uno antes de llegar al piso.

El péndulo simple También llamado péndulo matemático. Es una situación ideal, en la que un cuerpo de forma esférica, y cuya masa es m, pende de un hilo ideal (de masa despreciable – m = 0 – e inextensible) cuyo largo es L, en las cercanías de la superficie terrestre (g = acel. grav.)

El péndulo simple consideremos que giramos el péndulo un ángulo α menor a 10°, y lo soltamos provocando un movimiento de rotación. El periodo del movimiento T se define como el tiempo que demora un cuerpo en completar una oscilación, y esta se da cuando el objeto se encuentra en la misma posición y viajando con la misma velocidad. α

El péndulo simple Si α es pequeño, se cumple que: Note que el periodo de oscilación es independiente de la masa que cuelga. α

Experimento: Medición de g Con el péndulo simple, es posible encontrar cuanto vale la aceleración de gravedad en las cercanías de la superficie terrestre en esta zona (Viña del Mar). De la ecuación anterior, podemos despejar g: Para determinar el valor de g es necesario montar un péndulo simple y tomar medidas del largo y del periodo de oscilación, luego reemplazar en la ecuación de arriba y encontrar g.

Experimento: Medición de g Procedimiento: Para un ángulo fijo, y largos L distintos del hilo, tome 10 mediciones de el tiempo t que demora en completar n oscilaciones. t/n es el periodo T de cada oscilación. Construya una tabla t, n, T, L Calcule el valor de g para cada toma de datos, según la expresión encontrada. Encuentre el valor promedio de g que obtuvo. L(m) t (s) n° osc T=t/n°

Ejemplo. <g> = 9,657261652 (m/s²) L(m) t(s) n° osc T = t/n°osc (s) g =4*π²*L/T²(m/s²) 0,517 36,51 25 1,4604 9,569883068 0,452 34,18 1,3672 9,546277883 0,38 31,53 1,2612 9,431383601 0,282 31,15 30 1,038333333 10,32607446 0,197 31,74 35 0,906857143 9,456887153 0,542 37,23 1,4892 9,648348195 0,581 38,47 1,5388 9,686603291 0,607 31,33 20 1,5665 9,76534586 0,436 33,32 1,3328 9,689832233 0,366 30,91 1,2364 9,451980769 <g> = 9,657261652 (m/s²)

Cálculo de Error Porcentual Si para una variable dada se experimenta tomando datos y encontrando experimentalmente un valor promedio, existe un porcentaje de error, típico de cualquier medición, que puede obtenerse a partir del valor teórico estándar. Según la ecuación:

Ejemplo. Para el valor de g obtenido es 9,657 (m/s²) El valor teórico de g es 9,81 (m/s²) el porcentaje de error es: Un error del orden del 3% se considera aceptable.

Próxima Semana Materiales: Entregar informe.

El Péndulo Físico