Juan José Bravo B., M.Sc. Solución de Modelos de Programación Lineal El Metodo Simplex Juan José Bravo B, M.Sc. ©

Juan José Bravo B., M.Sc. EL MÉTODO SIMPLEX Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en Como tal, el método simplex es un procedimiento algebraico, pero puede entenderse más fácilmente como un método geométrico. Antes de explicar los aspectos geométricos del Simplex, veremos el tratamiento que debe hacerse a cualquier modelo de PL antes de aplicar el Método Simplex sobre él para solucionarlo.

Juan José Bravo B., M.Sc. Conversión de modelos de PL a la Forma Estándar Todo modelo de PL, para efectos de resolverse con el Método Simplex, debe llevarse a una Forma Estándar con las siguientes características: 1. El lado derecho de las ecuaciones debe ser no-negativo 2. Todas las restricciones deben convertirse a Ecuaciones 3. Todas las variables deben ser no-negativas EJEMPLO: Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 + x 3 Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 10 -2x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ -5 7x 1 - 4x 2 + 5x 3 ≤ 6 x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≥ 8 x 1 no restringida, x 2 ≤ 0, x 3 ≥0 /1

Juan José Bravo B., M.Sc. Conversión de modelos de PL a la Forma Estándar /2 Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 + x 3 Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 10 -2x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ -5 7x 1 - 4x 2 + 5x 3 ≤ 6 x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≥ 8 x 1 no restringida, x 2 ≤ 0, x 3 ≥0 Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 + x 3 Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 10 2x 1 - 3x 2 - 2x 3 ≥ 5 7x 1 - 4x 2 + 5x 3 ≤ 6 x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≥ 8 x 1 no restringida, x 2 ≤ 0, x 3 ≥0 Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 + x 3 Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 10 2x 1 - 3x 2 - 2x 3 – S 1 = 5 7x 1 - 4x 2 + 5x 3 + S 2 = 6 x 1 + 4x 2 + 3x 3 – S 3 = 8 x 1 no restringida, x 2 ≤ 0, x 3 ≥0, S 1 ≥0, S 2 ≥0, S 3 ≥0 1 2 Maximizar Z = 2x 1 – 3x’ 2 + x 3 Sujeto a: x 1 – x’ 2 + x 3 = 10 2x 1 + 3x’ 2 - 2x 3 – S1 = 5 7x x’ 2 + 5x 3 + S2 = 6 x x’ 2 + 3x 3 – S3 = 8 x 1 no restringida, x’ 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, S 1 ≥0, S 2 ≥0, S 3 ≥0 3a x 2 =-x’ 2

Juan José Bravo B., M.Sc. Conversión de modelos de PL a la Forma Estándar /3 3b Maximizar Z = 2x 1 – 3x’ 2 + x 3 Sujeto a: x 1 – x’ 2 + x 3 = 10 2x 1 + 3x’ 2 - 2x 3 – S1 = 5 7x x’ 2 + 5x 3 + S2 = 6 x x’ 2 + 3x 3 – S3 = 8 x 1 no restringida, x’ 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, S 1 ≥0, S 2 ≥0, S 3 ≥0 x 1 = x’ 1 - x’’ 1 Maximizar Z = 2x’ 1 – 2x’’ 1 - 3x’ 2 + x 3 Sujeto a: x’ 1 – x’’ 1 – x’ 2 + x 3 = 10 2x’ 1 – 2x’’ 1 + 3x’ 2 - 2x 3 – S1 = 5 7x’ 1 – 7x’’ 1 + 4x’ 2 + 5x 3 + S2 = 6 x’ 1 – x’’ 1 - 4x’ 2 + 3x 3 – S3 = 8 x’ 1 ≥ 0, x’’ 1 ≥ 0, x’ 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, S 1 ≥0, S 2 ≥0, S 3 ≥0 Forma Estándar donde: S 1 y S 3  Variables de Exceso S 2  Variable de Holgura

Juan José Bravo B., M.Sc. Soluciones Básicas EJEMPLO: Minimizar Z = -3x 1 - 5x 2 Sujeto a: x 1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 x 1, x 2 ≥ 0 Minimizar Z = -3x 1 - 5x 2 Sujeto a: x 1 + S 1 = 4 2x 2 + S 2 = 12 3x 1 + 2x 2 + S 3 = 18 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 ≥ 0 Forma Estándar El Método Simplex observa el conjunto de ecuaciones resultantes en la forma estándar, y dado que hayan “m” ecuaciones y ”n” incognitas (en este caso m = 3 y n = 5) le corresponde hacer (n-m) variables iguales a “cero” para poder tener soluciones consistentes. Las soluciones que logra de esta manera se llaman Soluciones Básicas. x1x2s1s2s

Juan José Bravo B., M.Sc. Soluciones Básicas Factibles (SBF) x1x2s1s2s3 P Fact P206406Fact P NO P NO P526200Fact P643060Fact P NO P Fact Los puntos resaltados con verde representan Soluciones Básicas Factibles ya que cumplen con todas las restricciones. Los demás puntos violan restricciones de no-negatividad. El Método Simplex únicamente considera para su análisis las SBF. Las SBF son los vértices de la Región Factible y por tanto allí estará el óptimo.

Juan José Bravo B., M.Sc. P1 P5 P2 P6 P8 Búsqueda Geométrica del Optimo Punto Factibles Puntos Adyacente s Valor Z en el Punto Valor Z en los Adyacentes P1P2 y P8Z = 0P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12) P2P1 y P5Z = -30P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36) P5P2 y P6Z = -36P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27) P6P5 y P8Z = - 27P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12) P8P1 y P6Z = -12P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27) El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora el valor de Z. Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejora el valor de Z, entonces se ha encontrado el óptimo. En este caso el óptimo es el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1  P2  P5).

Juan José Bravo B., M.Sc. Simplex Tabular Minimizar Z = -3x 1 - 5x 2 Sujeto a: x 1 + S 1 = 4 2x 2 + S 2 = 12 3x 1 + 2x 2 + S 3 = 18 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 ≥ 0 Tabla 1 El Método Simplex inicia en el punto P1, que corresponde a la Tabla 1. x1x2s1s2s3 P Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1x2S1S2S3Solución (R.H.S.) S S S Zj - Cj Variables No Básicas Variables Básicas Coeficientes de las restricciones Valor Objetivo /1

Juan José Bravo B., M.Sc. Simplex Tabular /2 Ya obtenida la Tabla 1, el Método Simplex se pregunta: ¿La Tabla 1 es óptima? (es decir, ¿el punto P1 es óptimo?). Para ello observamos el renglón (Zj – Cj), que da sólo informacion de las Variables No Basicas Para Minimización Si un valor del renglón (Zj – Cj) es positivo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva, mejora la funcion objetivo. Si un valor del renglón (Zj – Cj) es negativo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva empeora la funcion objetivo. Si un valor del renglón (Zj – Cj) es cero, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva, no hay cambio en la funcion objetivo. Si todos los valores del renglón (Zj – Cj) ≤ 0 entonces la Tabla es óptima Debe ingresar a la solución la Variable No Basica que tenga el mayor valor positivo en el renglón (Zj – Cj) ó Criterio de Parada Criterio de Entrada

Juan José Bravo B., M.Sc. Tabla 1 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1x2S1S2S3Solución (R.H.S.) Razón Mínima (θ) S S /2 = 6 S /2 = 9 Zj - Cj Simplex Tabular /3 Para darle valores a la variable X2 (es decir, volver básica a X2), debe salir de la solución actual una de las variables básicas (es decir, una de ellas deberá volverse no basica ó “cero”). Para saber cual variable básica actual sale, el Criterio de Salida es con base en la Razón Mínima (θ) Columna entrante Se calcula dividiendo el elemento de la columna R.H.S con el elemento de la columna entrante, siempre que el elemento de esta última columna sea positivo. sale S2

Juan José Bravo B., M.Sc. Tabla 1 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1x2S1S2S3Solución (R.H.S.) S S S Zj - Cj Simplex Tabular /4 Tabla 2 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1X2S1S2S3Solución (R.H.S.) S x /206 S Zj - Cj / r 2 / 2 r 4 -5r 2 r 3 -2r 2

Juan José Bravo B., M.Sc. Simplex Tabular /5 Tabla 2 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1X2S1S2S3Solución (R.H.S.) Razón θ S /1 =4 x /206- S /3 =2 Zj - Cj / Tabla 3 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1X2S1S2S3Solución (R.H.S.) S100011/3-1/32 x /206 x /31-32 Zj - Cj /2 -36 x1x2s1s2s3 P206406Fact x1x2s1s2s3 P526200Fact Tabla OPTIMA

Juan José Bravo B., M.Sc. El Simplex y las Variables Artificiales Minimizar Z = 4x 1 + x 2 Sujeto a: 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 ≥ 6 x 1 + 2x 2 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ 0 Minimizar Z = 4x 1 + x 2 Sujeto a: 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 – S2 = 6 x 1 + 2x 2 + S3 = 4 x 1, x 2,S2, S3 ≥ 0 Estandarizacion Tradicional Como n=4 y m=3, el Simplex hace n-m variables “cero” (en este caso una) para crear un sistema de ecuaciones consistente que arroje una Solucion Inicial Inmediata y Factible. ¿Puede Lograrlo con este ejemplo? En general, las restricciones de “=“ y de “ ≥ ” generan problemas al Simplex al momento de construir la tabla inicial que arranca el procedimiento. En cambio cuando las restricciones son de “≤” no existen estos inconvenientes y el metodo puede iniciar sin problemas con las variables de holgura. El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranque creando Variables Artificiales. /1

Juan José Bravo B., M.Sc. El Simplex y las Variables Artificiales /2 Min Z = 4x 1 + x 2 Sujeto a: 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 ≥ 6 x 1 + 2x 2 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ 0 Min Z = 4x 1 + x 2 Sujeto a: 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 – S2 = 6 x 1 + 2x 2 + S3 = 4 x 1, x 2,S2, S3 ≥ 0 Min Z = 4x 1 + x 2 + MR 1 + MR 2 Sujeto a: 3x 1 + x 2 + R 1 = 3 4x 1 + 3x 2 – S2 + R 2 = 6 x 1 + 2x 2 + S3 = 4 x 1, x 2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0 Aquí n = 6 y m = 3, siendo (n-m) = 3. Es decir, al hacer 3 variables iguales a “cero” sale una Solucion Inicial Inmediata Factible. [Puede observar que estas 3 variables no básicas iniciales deben ser x 1, x 2, s 2 ]. La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta que en el renglón (Zj – Cj) las variables básicas tienen necesariamente valores de “cero”. Tenga en cuenta que en la Tabla 1: - Variables No Básicas: x 1, x 2, s 2 - Variables Básicas: R 1, R 2, S 3

Juan José Bravo B., M.Sc. Min Z = 4x 1 + x 2 + MR 1 + MR 2 Sujeto a: 3x 1 + x 2 + R 1 = 3 4x 1 + 3x 2 – S2 + R 2 = 6 x 1 + 2x 2 + S3 = 4 x 1, x 2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0 De la primera y segunda restricción: R1 = 3 - 3x1 - x2 R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2 Transformación necesaria en la Función Objetivo: Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x 1 - x 2 ) + M(6 - 4x 1 - 3x2 + S 2 ) Min Z = (4 - 7M) x 1 - (4M - 1)x 2 + MS 2 + 9M Tabla 1 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1x2S2S3R1R2Solución (R.H.S.) R R S Zj - Cj- (4-7M) (4M -1) -M 00 09M El Simplex y las Variables Artificiales /3

Juan José Bravo B., M.Sc. Tabla 1 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1x2S2S3R1R2Solución (R.H.S.) R R S Zj - Cj- (4-7M) (4M -1) -M 00 09M El Simplex y las Variables Artificiales /4 Tabla 4 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) X1x2S2S3R1R2Solución (R.H.S.) X /52/50 X210103/5-1/509/5 S Zj - Cj 000-1/57/5-M-M 17/5 Tabla OPTIMA NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de “cero”, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento.

Juan José Bravo B., M.Sc. El Método Simplex _ CASOS ESPECIALES Problema de múltiples soluciones Maximice Z = (5/2)X 1 + X 2 Sujeto a:3X 1 + 5X 2 ≤ 15 5X 1 + 2X 2 ≤ 10 Xj > 0 ; j = 1, 2 Tabla Final OPTIMA Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1X2S1S2Solución (R.H.S.) S X15/ Zj - Cj Entonces aquí la variable que entra es la que variable no-básica que tenga el valor (Zj - Cj) más negativo. Observe la variable No Básica x2 con un valor de “0”. Si esta variable entra, la funcion objetivo permanece inmodificable. Observe que una Tabla Optima de MAXIMIZACION tiene todos los valores del renglón (Zj – Cj) ≥ 0. Es decir, el criterio funciona a la inversa de la Minimizacion. Puede encontrarse otra solución con el mismo valor de Z! Múltiples Soluciones

Juan José Bravo B., M.Sc. Problema de solución infinita (ó No Acotada) Minimice Z = - X1 + X2 Sujeto a:- X1 + X2 ≤ 0 - 0,5X1 + X2 ≤ 1 Xj > 0 ; j = 1, 2 Problema sin solución Cuando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial con valor mayor que cero. Tabla Inicial Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1X2S1S2Solución (R.H.S.) S S25/ Zj - Cj 1000 Entra x1 pero: ¿Cuál variable sale?