Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez ITESM, Campus Guadalajara e-mail: rogelio.davila@itesm.mx

Teoría de conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo. Ejemplo: Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17} Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. 9  A -- 9 es un elemento del conjunto A la_luna  Planetas -- la_luna no pertenece al conjunto de los Planetas.

Teoría de conjuntos  Es el conjunto vacío, ||=0. Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto.  Es el conjunto vacío, ||=0.

Teoría de conjuntos Los números naturales Los números enteros Algunos conjuntos importantes: Los números naturales Los números enteros Los números racionales { todos aquellos números que no se pueden expresar como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc} Los números irracionales Los números reales

Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B  A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B  A  xB, (xA) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B  A, si y solo si, B  A pero B  A. B  A  B  A  A  B

Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B  A, y A  B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B  A. B = A  B  A  A  B Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto: Ac= {x| xU  xA}

Teoría de conjuntos Propiedades del complemento: (Ac)c = A Ac A = U

Teoría de conjuntos Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A  B = {x | x  A  x  B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A  B = {x | x  A  x  B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x  A  x  B}

Diagramas de Venn A – (B U C) B – (A U C) C – (A U B) (A  C) – B (B  C) – A (A  B) – C A  B  C

Propiedades de conjuntos Leyes asociativas A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Leyes conmutativas A  B = B  A A  B = B  A Leyes distributivas A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Leyes de Identidad: A   = A A  U = A

Propiedades de conjuntos 4. Leyes de idempotencia A  Ac= U A  A = A 5. Leyes de acotación A  U = U A   =  6. Leyes de absorción A  (A B) = A A  (A B) = A 7. Leyes de involución (Ac)c = A

Propiedades de conjuntos 8. Leyes 0/1 c = U Uc =  9. Leyes de De Morgan (A  B)c = Ac  Bc (A  B)c = Ac  Bc

Ejercicios a). A– (B  C) = (A – B)  (A – C) 1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B  C) = (A – B)  (A – C) b). A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Producto cruz y conjunto potencia Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x  A  y  B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto: P(A) = {X | X  A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}

Generalización de Conjuntos Sea M un conjunto de índices cualquiera: , para algún , para algún

Inducción Matemática Definición Sea el conjunto C = {x  N | P(x)}, si se satisface: PASO BASE: Demostrar que se cumple para 1. es decir, que P(1) es verdadero. PASO DE INDUCCIÓN: Demostrar que P(k)  P(k+1) Si se cumplen ambos pasos, entonces podemos afirmar que: C = N es decir, que C es el conjunto de los Naturales.

Inducción Matemática Ejercicios Demuestre que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2: 1+3+5+…+(2n-1) = n2 Demuestre que para todo n que la suma de los primeros enteros positivos elevados al cuadrado es la siguiente: a1+a2+a3+…+an-1+an = Demuestre que la suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado, es las¡ siguiente: