ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO NORIDA JOYA RAMIREZ 273438 NATALY CUBIDES ZUÑIGA 273431 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA AGRICOLA

^ ^ Campo gravitacional La masa tiene una propiedad muy importante y es modificar el espacio que la rodea formando un campo, el campo gravitacional. Consideremos que la masa que engendra el campo es (M), si colocamos un cuerpo de prueba de masa (m) dentro de ese campo a una distancia r de sus centros se genera una fuerza de carácter gravitacional. r FMm = - G M m / r2 r ^ FM = - G M m / r2 r ^ NORIDA JOYA RAMIREZ 273438 NATALY CUBIDES ZUÑIGA 273431

La fuerza gravitacional en la unidad de masa (m) nos da el valor de la intensidad del campo gravitacional a esa distancia r de su centro. r g = - Fg/m (N/Kg) = - G M / r2 r ^ NORIDA JOYA RAMIREZ 273438 NATALY CUBIDES ZUÑIGA 273431

Líneas del campo gravitacional El campo gravitacional es radial, dirigido hacia el centro, en todas direcciones e intenso cerca de la superficie, ya que la líneas de campo están mas cerca. NORIDA JOYA RAMIREZ 273438 NATALY CUBIDES ZUÑIGA 273431

Campo eléctrico La materia en su estado natural es eléctricamente neutra, si se desequilibra la carga, la materia obtiene defecto o exceso de electrones. Esa carga neta diferente de cero modifica el espacio que la rodea engendrando un campo de carácter eléctrico E. Si la carga puntual u objeto cargado que genera el campo es Q positiva y la carga que colocamos dentro del campo es Q a una distancia r de sus centros,entonces, se produce una fuerza de carácter eléctrico. FQQ + r Q FQQ = KQQ / r2 r ^ NORIDA JOYA RAMIREZ 273438 NATALY CUBIDES ZUÑIGA 273431

La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de su centro. EQ + r Q EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2 r ^

Se tiene una carga puntual Q positiva que engendra un campo eléctrico E, se coloca otra carga puntual Q positiva u objeto cargado dentro de ese campo a una distancia r de sus centros y así evaluaremos la fuerza electrostática. + r Q FQQ FQQ = KQQ / r2 r ^

La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de su centro. EQ + r Q EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2 r ^

Campo eléctrico de repulsión generado por una carga puntual u objeto cargado Q positiva a una distancia r. E+ Er = K Q / r2 r (N/C) ^ r actúa en dirección radial + Campo eléctrico de atracción generado por una carga puntual u objeto cargado Q negativa a una distancia r. r E- Er = K Q / r2 r (N/C) ^ - actúa en dirección radial

Superposición de campos eléctricos Ya que el principio de superposición lineal es valido para la ley de Coulomb, también es valido para el campo eléctrico. Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto producido por una serie de n cargas. puntuales la resultante es la suma vectorial de cada uno de los campos individuales. ET = E1 + E2 +...+ Ei +..... + En ^ ET = K(q1/r12 r1 + q2/r22 r2 +......+qi ri2 ri+.......+ qn/rn2 rn) ET = K å qi / ri2 r ^

Líneas de campo eléctrico Miguel Faraday, en 1840 introdujo el uso de las líneas de campo, creía que eran reales y las dotó de propiedades elásticas, casi se pueden “sentir” las líneas, jalando las cargas para que se junten o empujándolas para que se aparten. Aun cuando desde el punto de vista moderno las líneas de campo no son reales, ayudan a visualizar el campo que si es real. La intensidad del campo es proporcional a la densidad de las líneas, esto es, el campo es proporcional al numero de líneas que pasan a través de un área normal a la dirección del campo N = E · A Las líneas de campo también proporcionan información sobre la intensidad del campo. Las líneas de campo están mas juntas donde el campo es intenso y mas separadas donde es débil.

Propiedades de las líneas del campo electrostático 1) Las líneas de campo electroestático siempre parten de las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. 2) El numero de líneas que se originan o terminan en una carga es proporcional a la carga. N µ Q 3) La dirección del campo en un punto es la dirección de la tangente a la línea de campo. 4) La intensidad del campo es proporcional a la densidad de líneas de campo, es decir, al numero de líneas por unidad de área. N = E · A 5) Las líneas de campo nunca se cruzan.

Líneas de campo de una carga positiva. Las líneas de campo son radiales salen de la carga en todas direcciones. +

Líneas de campo de una carga negativa. Las líneas de campo llegan a la carga de todas direcciones. -

Líneas de campo en unas placas planas y paralelas Se puede considerar uniforme el campo dentro de las placas, ya que la líneas de campo son paralelas. +++++++++++ -----------

El campo eléctrico es tangente a la línea de campo. Las líneas de campo salen de la carga positiva hacia la negativa o hacia el infinito E El campo eléctrico es tangente a la línea de campo. E- + -

Líneas de campo de dos cargas positiva +

Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia y y de longitud x. Se lanza un electrón con una velocidad inicial en la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de las placas sale el electrón? - - - - - - - - - - x y + + + + + + + + + + VO

Distribución continua de masa Podemos seleccionar un elemento suficientemente pequeño de volumen (dV) que contenga un elemento infinitamente pequeño de masa (dm). Si el elemento de masa (dm) se distribuye en el volumen (dV) uniformemente, la densidad de masa r se define: r = dm/dV Cualquier masa la podemos representar como la suma de un numero infinito de masas que se pueden considerar puntuales M = å mi. Por ejemplo, empleamos la densidad continua de masa para describir un estado de la materia que en realidad se compone de un gran numero de moléculas discretas. Normalmente resulta sencillo hallar un volumen (V) suficientemente grande que contenga muchos elementos de masa individuales o moléculas M = å mi. Si la masa (M) se distribuye en el volumen (V) se define: r = M / V Densidad volumétrica de masa (r) r = dm / dV r = M / V

Densidad superficial de masa s Si la masa (M) se distribuye uniformemente en toda el área (A) se define la densidad superficial de masa: s = M / A. b s = M / A a U. AUTONOMA DE COLOMBIA Luis Felipe Millán B.

Este elemento infinitesimal de área (dA) tiene un elemento infinitesimal de masa (dm); la distribución superficial de masa se define: s = dm/dA = dm/(b da) s = dm/dA= dm/(b da) b da

Densidad lineal de masa l Si la masa (M) se distribuye en una longitud (L) de manera uniforme se define la densidad lineal de masa: l = M/L l = M / L M L

La distribución lineal de masa se define como la relación de un elemento infinitesimal de masa (dm) en un elemento infinitesimal de longitud (dl) \ l = dm/dl l = dm/dl dl dm

Distribución continua de carga Distribución lineal de carga Por analogía cualquier carga la podemos representar como la suma de un numero infinito de cargas infinitesimales que se pueden considerar puntuales Q = å qi L + + + + + + + + + + + + + + + l = Q / L U. AUTONOMA DE COLOMBIA Luis Felipe Millán B.

dl dQ l = dQ / dl

Distribución superficial de carga + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + s = Q / A

s = dQ /dA = dQ / (b*da) + + + + + + + + + + + + + + + + b da

Densidad volumétrica de carga (r) r = dQ / dV r = Q / V

El campo eléctrico dE producido por un dq es: Una colección de forma regular o irregular de partículas puntuales cargadas representa una distribución continua de carga Q = åqi. Sumando todas las contribuciones de los elementos infinitesimales de campo dE Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de carga (dq) que esta a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico. Este elemento dq produce un elemento infinitesimal de campo dE a una distancia r. Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto producido por una distribución continua de carga. Q = åDqi dq Q = åDqi El campo eléctrico dE producido por un dq es: dE = (K dq / r2) ^ r E = ò (K dq / r2) ^ r r dE

Ejemplo 2.11 Campo eléctrico debido a una hilo cargado Se desea encontrar la intensidad del campo eléctrico a lo largo del eje de un hilo (delgado aislante) a una distancia (d) de uno de sus extremos y con una densidad lineal de carga uniforme l. Ejemplo 2.11 Campo eléctrico debido a una hilo cargado Dividimos el hilo en pequeños elementos infinitesimales dq cada uno de longitud dl (dx), y escogemos arbitrariamente un elemento X Y d L + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

dEx = K dq / r2; dq = l dl = l dx Este elemento infinitesimal tiene carga dq, longitud dl, se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el campo y genera un campo eléctrico dE. X Y dEx = K l dx / x2 Este es el campo eléctrico dE producido por un elemento dq, ahora, sumamos todos los dE. dEx = K dq / r2; dq = l dl = l dx r = x dEx + + EZ = 0 ; EY = 0 dl dq

Ex = K l ò dx / r2 x varia entre d y d + l Ex = K l (1/(d + l) – (1/d) Ex = K Q / (d (l + d)) d Ex L + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

Ejemplo 2.13 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme Se desea encontrar cual es la intensidad del campo eléctrico en el eje central de un anillo que tiene una carga l uniformemente distribuida. Se tiene un anillo de radio R carga s Ejemplo 2.13 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme Q R

Y Z X Y Z dq + r Sea un elemento dq, que se encuentra a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y que genera un campo eléctrico dE. Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del anillo. EZ = 0 ; EY = 0 q x dEx = dE Cosq i ^ q dEy dE dEx

a varia entre 2p y 0 Ex = K * Q * x / (x2+ R2) 3/2 dEx = (K dq / r2) Cosq ; dq = l dl = l (R da) r = (x2+ R2)½ ; Cosq = x / r Y Z X El campo eléctrico de un elemento dq es. dEx = K (l R da) x / (x2+ R2)3/2 + dl r Ex da q x El campo eléctrico de la contribución de todos los elementos dq es. Ex = ò(K l R x / (x2+ R2)3/2 da) Ex = K Q x / (x2+ R2)3/2 Ex = K l R x / (x2+ R2)3/2 ò da a varia entre 2p y 0 Ex = K * Q * x / (x2+ R2) 3/2

Ejemplo 2.15 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente Q Q R El elemento infinitesimal de área dA esta a una distancia a del centro. Ejemplo 2.15 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente Se divide el disco en elementos de área dA, cada uno de estos dA tiene un elemento de carga dq. Encontrar la intensidad del campo eléctrico sobre el eje central de un disco de radio R con una densidad superficial de carga s uniformemente distribuida. a da 2pa 2p a da

Y Z X Y Z +++++++++++ dq +++++++++++ a r Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del disco Escogemos un elemento de área dA, de radio a, que se encuentra a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y que genera un elemento de campo dE. Ez = 0 ; Ey = 0 q x q dEy dE dA = 2pada dEx U. AUTONOMA DE COLOMBIA Luis Felipe Millán B.

+++++++++++ a Ex x ^ dEx = dE Cosq i Ex = ò Kxs2pada / (x2+ a2)3/2 sea u = (x2+a2) Þ du = 2 a da Ex = Kxsp ò du / u3/2 x = R ; x = 0 dEx = (Kdq/r2) Cosq dq = s dA= s (2pada) r = (x2+a2)1/2 Cosq = x / r dEx = Kxs2pada / (x2+a2) 3/2 Campo eléctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos. Ex = (s /(2e0))*{1- x / (x2+ R2)1/2}

El flujo eléctrico F se representa por medio de líneas de campo eléctrico N que atraviesan algunas superficies (F = N). Cuando la superficie que se esta cruzando encierra una carga neta. el numero de líneas que traspasan la superficie es directamente proporcional a la carga dentro de la superficie F a Q El flujo eléctrico es directamente proporcional al campo eléctrico y al área normal An de la superficie atravesada por las líneas de un campo eléctrico uniforme.. F a E An = En A = E A Cosq = A E ·

El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo. Consideremos una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme E. Colocamos dentro del campo una superficie plana en distintas posiciones para observar cual es el flujo eléctrico neto que atraviesa la superficie. A E A q q F = E An = En A = E A Cosq = A E · El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo.

Área dA E Se tiene una superficie regular de área cerrada, dividida en elementos infinitesimales dA inmersa dentro de un campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo neto que atraviesa la superficie. q Fe » SFi = SEn dA = SEn dA= SE dA Cosq Fe = SE · dA Fe = E · dA ò El flujo eléctrico Fe que atraviesa la superficie cerrada A es : U. AUTONOMA DE COLOMBIA Luis Felipe Millán B.

Sea una carga Q positiva que genera un campo eléctrico E. 2.14 Ley Gauss + Sea una carga Q positiva que genera un campo eléctrico E. Encerramos la carga Q en una esfera (superficie hipotética cerrada) de radio r y de elementos infinitesimales dA dA Fe = ò E · dA = E(r) A Fe = (1/(4peo))(Q / r2)*(4p r2) Fe = Q / eo Fe = ò E · dA = Q / eo

Ley de Gauss ò E · dA = Q / eo. El producto E A = Q / eo, es independiente de la superficie que encierra a la carga neta, entonces el flujo depende únicamente de la carga neta encerrada. El campo eléctrico (E) de una partícula puntual es inversamente proporcional a la distancia (r) al cuadrado. E µ 1/ r2 Þ E = (1 / 4p eo) (Q / r2) El área (A) de una esfera es directamente proporcional a su radio r al cuadrado. A µ r2 Þ A = 4p r22 Se selecciona el elemento infinitesimal de área (dA) paralelo al campo eléctrico (E) para que la magnitud de este sea constante sobre esa parte de la superficie.