TEORIA DE PROBABILIDADES PROF. FALCON RIVA AGÜERO, JOSE ANGEL AREA: ESTADISTICA APLICADA TEORIA DE PROBABILIDADES INTEGRANTES: 1.- DIAZ MARRUJO, Lizbeht 2.- BALDEON SIMEON, Yisela 3.- ALBORNOZ HIDALGO, Kevin Clinder 4.- TOLENTINO INGUNZA , Alejandro 5.- PEZO VARA, Sonni Dalton 6.- PEÑA ROSAS, Alexander

INTRODUCCION La probabilidad nace con el deseo de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. I

CONCEPTO La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones Por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios

ENFOQUES A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad: 1.- El enfoque clásico 2.- El enfoque de frecuencia relativa 3.- El enfoque subjetivo

1.- ENFOQUE CLASICO O PRIORI Los resultados de un experimento son igualmente viables, es decir, tienen teóricamente las mismas posibilidades de ocurrir. En este caso la probabilidad de ocurrencia de un evento será: Número de resultados en los que se presenta el evento número total de resultados posibles POR EJEMPLO: la probabilidad de que en una baraja francesa de 52 cartas salga el cinco de trébol es de 1/52.

2.- ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA O EMPIRICO Determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos. Número de resultados esperados ocurridos en el pasado número total de experimentos adelantados POR EJEMPLO: Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un día cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad? La probabilidad sera: 9/50 = 0.18%

3.- ENFOQUE SUBJETIVO Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

PROBABILIDAD COMPUESTA El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son INDEPENDIENTES y, si se modifica, decimos que son DEPENDIENTES entre sí. Decimos que dos sucesos A y B son INDEPENDIENTES entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )

P( B/A ) =/= P( B ) ó P( A/B ) =/= P( A ) Decimos que dos sucesos A y B son DEPENDIENTES entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) =/= P( B ) ó P( A/B ) =/= P( A ) Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A B ) = P( A ) · P( B ) Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez: P( A B ) = P( A ) · P( B ) P( A C ) = P( A ) · P( C ) P( B C ) = P( B ) · P( C ) P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

EJEMPLOS: 1. Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)? J: Júpiter se alineará con Marte  A: Su tirada saldrá águilas Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estos sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05

EJEMPLO N°2 Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? SOLUCION Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes. P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde) 2/9 .3/9 = 6/81 = 2/27

EJEMPLO N° 3 Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes. P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde) 2/9 . 3/8 = 6/72 = 1/12

REGLAS FUNDAMENTALES DE LA PROBABILIDAD Regla de la adición Regla de la multiplicación  la distribución binomial

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B REGLA DE ADICION

REGLA DE LA MULTIPLICACION La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes REGLA DE LA MULTIPLICACION

Un lote contiene $100$ ítems de los cuales $20$ son defectuosos Un lote contiene $100$ ítems de los cuales $20$ son defectuosos. Los ítems son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos ítems son seleccionados sin reemplazamiento (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos? EJEMPLOS

P(a1 ∩ A2 ∩ A3) = P(a1)p(a1) p(a2/a1)p (a3/A1∩ A2) Sea los eventos: A1 = {primer ítem defectuoso}, A2 {segundo ítem defectuoso} entonces dos ítems seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que: p(A1)= 20/100, p(a2/a1)19/100 así probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos es P(a1 ∩ a2) = p (A1)p(a2/a1) (20/100)(19/99) 19/495 = 0.038 Ahora suponga que selecciona un tercer ítem, entonces la probabilidad de que los tres ítems seleccionados sean defectuosos es P(a1 ∩ A2 ∩ A3) = P(a1)p(a1) p(a2/a1)p (a3/A1∩ A2) (20/100)(19/99)(18/98) 19/2695 = 0.007 SOLUCION

DISTRIBUCION BINOMIAL P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario. Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es: P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m