Fundamentos de Control Realimentado Clases 2 y 3 - Versión 1 - 2017 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2017 Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Sistemas Dinámicos Contenido básico: Linealidad 2 Sistemas Dinámicos Contenido básico: Linealidad Modelación de plantas según Leyes y Principios de comportamiento dinámico Sistemas dinámicos según áreas de la Física Identificación paramétrica de sistemas dinámicos

Linealidad u1(t) + u2(t) u2(t) u1(t) y1(t) y(t) y2(t) 3 Linealidad Un sistema dinámico es lineal si obedece al: Principio de Superposición Si un sistema dinámico obedece al Principio de Superposición, entonces es Lineal Ejemplo 1 u1(t) + u2(t) u2(t) u1(t) Sistema Dinámico y1(t) y(t) y2(t) y(t) = y1(t) + y2(t)

Linealidad y(t) u(t) Ejemplo 2 dy1/dt = y1 + u1 (t) 4 Ejemplo 2 y(t) u(t) Sistema Dinámico dy/dt = y(t) + u(t) dy1/dt = y1 + u1 (t) dy2/dt = y2 + u2 (t) dy/dt = y + u1 + u2 dy/dt = y + dy1/dt - y1 + dy2/dt – y2 [dy/dt – dy1/dt – dy2/dt] – [y – y1 – y2]= 0 y = y1 + y2

Modelación según Leyes y Principios de comportamiento dinámico 5 Modelación según Leyes y Principios de comportamiento dinámico Sistemas Mecánicos Sistemas Eléctricos Sistemas Electromagnéticos Sistemas Electromecánicos Sistemas Térmicos

Fuerza = masa x aceleración 6 Sistemas Mecánicos Leyes de Newton – Movimiento rectilíneo u – b x – c x2 = m x . .. f = m x .. -c x2 . Fuerza = masa x aceleración viento m u o también -b x .

Sistemas Mecánicos Sistema amortiguador 7 m1 resorte m2 Amortiguador

Sistema multicuerpos: 2 masas 8 Sistemas Mecánicos Sistema multicuerpos: 2 masas 2) Cuerpo libre 1) Diagrama en bloques Empezamos el análisis con la masa m2 y luego con la masa m1 rueda Chasis/4 elasti- cidad resorte amortiguador calle cota de referencia Los pesos se contrarrestan con la reacción del suelo. 3) Sistema de ODEs { O bien {

Resolución del sistema ODE Sistemas Mecánicos 9 Resolución del sistema ODE Encontrar x(t) e y(t) para un perfil de camino r(t) y CI determinadas { Resolvemos el sistema de ODE (Numéricamente c/MATLAB) O cambiamos de dominio: Reemplazamos s por d/dt { Y nos queda un sistema algebraico con dos incógnitas X e Y. Cuando encontramos X(s) e Y(s), anti-transformamos en Laplace para hallar x(t) e y(t).

Resolución del sistema algebraico 10 Sistemas Mecánicos Resolución del sistema algebraico ٠Se despeja X(s) en la primera ecuación y se reemplaza en la segunda. Nos queda una ecuación en Y(s) solamente. ٠Se despeja Y(s) en función de la única entrada R(s) ٠Y(s) expresa, en el dominio s, la oscilación que percibe el conductor del auto para un camino sinuoso R(s). ٠Y(s) debería ser más suave y menos intensa que R(s), por lo menos en la banda de frecuencias de las vibraciones. ٠La parte derecha de la función racional es un filtro pasa-bajos.

Sistemas Mecánicos Simulación en MATLAB/SIMULINK 11 Sistemas Mecánicos Simulación en MATLAB/SIMULINK Una vez construido el modelo (Y/R), se deben identificar los parámetros del mismo con experimentos sencillos sobre un amortiguador. De ahí surge el diseño: m1=20 Kg m2=300 Kg kw=330 kg/0.03 m = 10.000 Kg/m ks=0.1 kw= 1.000 Kg/m b=100 Kg/0.2 m/sec = 500 Kg sec/m Entrada Salida Amortiguador Entrada chirp de intervalo 0,01 Hz hasta 2 Hz en 100 s.

Simulación – Amortiguador duro 12 Simulación – Amortiguador duro 0.03 -0.03 r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz 0.05 -0.05 y(t) según diseño 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.1 -0.1 y(t) con amortiguador duro segundos

Simulación – Rueda muy inflada 13 r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz 0.03 0.05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.8 -0.8 y(t) según diseño y(t) con rueda muy inflada segundos

Simulación – Rueda desinflada 14 Simulación – Rueda desinflada 0.03 -0.03 r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz 0.05 -0.05 y(t) según diseño 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.05 -0.05 y(t) con rueda desinflada segundos

Ley de Newton (rotacional): Sistema satélite 15 Sistemas Mecánicos Ley de Newton (rotacional): Sistema satélite Fc d+MD=u Fc d+MD=u

Sistemas varios: Engranajes 16 Sistemas Mecánicos Sistemas varios: Engranajes w3 w2 w1 n: número de dientes w: velocidad angular w2/w1 = k1 n1/n2 = k1 (es decir, el engranaje de menor número de dientes, gira más rápido) w3/w1 = n1/n3 = k1 k2 w3/w2 = k2 n2/n3 = k2 Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k1 (es decir, el engranaje más rápido transmite menor cupla a su eje) Torque 3/Torque 1 = 1/ k1 k2 Torque 3 / Torque 2 = n3/n2 = 1/k2

Sistemas varios: Engranajes 17 Sistemas Mecánicos Sistemas varios: Engranajes conducido Relación cualitativa entre torque y velocidad en los cambios de un auto. (Engranaje del eje del auto a la derecha) motriz Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k Relación = k : 1 En la 1ra marcha, el torque aplicado al engranaje motriz de menor número de dientes es amplificado en el eje del engranaje conducido. Sin embargo la velocidad angular se reduce en este último.

Sistemas varios: Poleas 18 Sistemas Mecánicos Sistemas varios: Poleas w2 w1 R2 R1 w2/w1 = k = R1/R2 Torque 2/Torque 1 = 1/k

Sistemas varios: Aparejos 19 Sistemas Mecánicos Sistemas varios: Aparejos 200 N P=Q/8 p. simples T=P/4 P/2 P/4 P=Q/16 p. dobles Fuerza en el cabo = peso P / número de poleas x multiplicidad

Sistemas Mecánicos Sistemas varios Parlante Palanca Pistones Diafragma 20 Sistemas Mecánicos Sistemas varios Fuerza = longitud cable x densidad campo x corriente Parlante Fem = longitud cable x densidad campo x velocidad Palanca Fuerza 1 x L1 = Fuerza 2 x L2 Pistones Fuerza = presión x Área Diafragma Fuerza = presión x Área Diferencia de presión = densidad x g x h Columna de agua

Sistemas Electomecánicos Sistema de disco rígido para lectura 21 Sistemas Electomecánicos Sistema de disco rígido para lectura I1 I2 1 Mc + MD k(1-2) k b(1-2) . 2 b(1- 2) b Esquema de fuerzas

Sistemas Electomecánicos Sistema de dos cuerpos rotacionales 22 Sistemas Electomecánicos Sistema de dos cuerpos rotacionales Cuerpo libre { Sistema ODE Despreciando b y MD, queda un sistema oscilatorio: Sistema Algebraico

Sistemas Electomecánicos Sistema: disco rígido para lectura de datos 23 Sistemas Electomecánicos Sistema: disco rígido para lectura de datos Sistemas repartidos (allocated): A través de Mc se debe llevar a 2 a una referencia 2 ref pasando por 1 con nexos elásticos (eje del motor) Sistemas no-repartidos (non-allocated): A través de Mc se debe llevar a 2 a una referencia 2 ref con un eje rígido del motor, es decir 2=1 casi instantáneamente.

24 Sistemas Mecánicos Sistema: péndulo Linealización I=m l2

Sistemas Mecánicos Sistema: péndulo Sistema linealizado: 25 Sistemas Mecánicos Sistema: péndulo Sistema linealizado: Transferencia del torque al movimiento de la masa en el puntal Respuesta impulsiva del péndulo de reloj

Sistemas Mecánicos Sistema: Grúa pórtico 26 Primero analizamos el carro

{ { Sistemas Mecánicos Sistema: Grúa pórtico .. 27 Sistema: Grúa pórtico Analicemos el segundo cuerpo Fuerzas en la dirección de x .. { Pseudo fuerza de Coriolis en la dirección tangencial 2da. Ley de Newton rotacional Reemplazamos las fuerzas N y P en la 2da. ecuación diferencial { Llegando a 2 ecuaciones linealizadas de los 2 cuerpos interactuando Con b despreciable Función de Transferencia de la Planta

Sistema: Péndulo invertido 28 Sistemas Mecánicos Sistema: Péndulo invertido x {

Sistemas Electromecánicos Sistema: Brazo Robótico flexible 29 Sistemas Electromecánicos Sistema: Brazo Robótico flexible y 2do. modo 1er. modo

Sistemas Electromecánicos Sistema: Brazo Robótico flexible 30 Sistema: Brazo Robótico flexible y La deformación de la barra obedece a la Teoría de Propagación de Ondas. x 1er Modo de oscilación 2do Modo de oscilación Una onda transversal se propaga a lo largo de la barra. Su descripción es a través de una Ecuación de Ondas: y En donde la función deformación de la onda para la posición x y el instante t es: y = f(x,t) y su expresión es:

Sistemas Electromecánico 31 Sistemas Electromecánico Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánicos 32 Sistemas Electromecánicos Sistema: Motor DC Electromagnetismo: Ley de Faraday Torque Fuerza electromotriz (fem) Mecánica: 2o Ley de Newton: Electricidad: Ley de Kirchoff:

Sistemas Electromecánicos 33 Sistemas Electromecánicos Sistema: Motor DC Definición de entrada y salida según el objetivo de control Entrada: ua Salida: qm Se aplica el operador de Laplace s Función de transferencia para control de posición de un motor DC Modelo de tercer orden con un integrador

Sistemas Electromecánico 34 Sistemas Electromecánico Sistema: Motor DC Definición de entrada y salida según objetivo de control con Wm = qm . Entrada: ua Salida: Wm Jm dWm /dt + b Wm = Kt ia El modelo resultará de 2do orden La dia /dt + Ra ia = ua – Ke Wm Modelo simplificado para control de velocidad de un motor DC Además, si La=0, el modelo es de 1er orden

Sistemas Electrónicos Sistema: Puente T (redes de Zobel) 35 Sistemas Electrónicos Sistema: Puente T (redes de Zobel) Circuito de red cuya característica es que tiene una impedancia de entrada específica independiente de la función de transferencia entrada-salida Tiene dos elementos acumulativos de energía (2 capacitores), por tanto su ODE posee dos variables de estado (ODE de 2do. orden). Aplicando la ley de Kirchoff de corriente en nodos que involucran a ambos capacitores, se tiene:

Sistemas Electrónicos Sistema: Puente T, Ecuación de Estado 36 Sistemas Electrónicos Sistema: Puente T, Ecuación de Estado Ecuación del sistema ODE vectorial de 1er orden Ecuación de salida Vector de estados vi Entrada Matrices del sistema y de entrada Matriz de transferencia directa Matriz de salida J = 0

Transmisión de Calor por Conducción: R: resistencia térmica 37 Sistemas Térmicos Transmisión de Calor por Conducción: Resistencia térmica R q = T1-T2 T2 T1 q T1>T2 l R: resistencia térmica q: flujo de calor T1: Temperatura alta T2: Temperatura baja k: Conductividad térmica

Sistemas Térmicos Transmisión de Calor por Convección 38 Sistemas Térmicos Transmisión de Calor por Convección Transferencia térmica entre masas líquidas T1>T2 T1: Temperatura alta T2: Temperatura baja q: flujo de calor w: caudal de masa líquida w T1 q = w cv (T1-T2) q cv: calor específico a V=cte T2

Ecuaciones básicas: Capacidad térmica 39 Sistemas Térmicos Ecuaciones básicas: Capacidad térmica Recinto cerrado con una fuente de calor q = C dT/dt T q C: capacidad térmica z y x q: flujo de calor dT/dt: variación de temperatura en un punto C = m cv m: masa del aire (fluido) cv: calor específico a V=cte

Sistema: Recinto cerrado 40 Sistemas Térmicos Sistema: Recinto cerrado Ti q To aislado R=∞ q = C dTi/dt q1 aislado R2 R1 q2 R=∞ q = q1 + q2 q1 =1/R1 (Ti-To) q2 =1/R2 (Ti-To) TI>To dTi/dt =1/C (1/R1+1/R2) (Ti-To) Ecuación del Sistema:

41 Sistemas Térmicos Sistema: Caldera

Sistema: Intercambiador de calor 42 Sistemas Térmicos Sistema: Intercambiador de calor

Sistema: Intercambiador 43 Sistemas Térmicos Sistema: Intercambiador El vapor transfiere calor a la cámara: Válvula de control El agua absorbe calor en parte por conducción: Ks es el factor de flujo de vapor El calor del vapor entregado en la cámara reduce su temperatura: Cámara Termómetro El agua absorbe también calor y aumenta su temperatura por convección forzada qw w

Sistema: Intercambiador 44 Sistemas Térmicos Sistema: Intercambiador La temperatura del vapor obedece a: calor de salida del vapor qin calor cedido por conducción La temperatura del agua obedece a : calor de salida del agua calor ganado por convección calor ganado por conducción El termómetro del agua marca: td : retardo puro

Sistema: Intercambiador 45 Sistemas Térmicos Sistema: Intercambiador Válvula de control Termómetro Sistema de ODEs Objetivo de Control Matrices de las Ecuaciones de Estado X= Tw Ts

Identificación de Sistemas 46 Identificación de Sistemas Sea: Sistema Dinámico u (t) y (t) PC sensor ym (t) Se conoce de él que: 1) Es lineal alrededor de un punto de operación de interés 2) Puede excitarse en un intervalo pequeño alrededor del punto el operación de interés y medir su respuesta 3) Puede o no conocerse la estructura de la ecuación diferencial ordinaria ODE (por ejemplo su orden)

Identificación de Sistemas 47 Identificación de Sistemas a) Si se conoce la estructura de la ecuación diferencial, por ejemplo: d3y/dt3 = – a1 d2y/dt2 – a2 dy/dt – a3y + b0 du/dt + b1 u entonces sólo los coeficientes a1 , a2 , a3, b0 y b1 y b0 son desconocidos y deberán ser determinados. b) Si, por el contrario, la estructura de la ODE no es conocida: Se puede emplear un método frecuencial, por ejemplo para determinar los órdenes de los polinomios numerador y denominador de la ODE y luego estimar sus coeficientes.

Identificación Paramétrica 48 Identificación Paramétrica Se trata de determinar los coeficientes de la ODE La mayoría de las veces se conoce su estructura (aunque acá supondremos que no) Métodos Frecuenciales: Determinar contantes de tiempo de la respuesta frecuencial (se explicará a continuación) Temporales Determinar características singulares de la respuesta al escalón (se hará en Laboratorio) Métodos estadísticos Excitando al sistema con señales aleatorias o pseudo-aleatorias

Identificación en dominio frecuencial 49 Determinar la estructura y los parámetros del sistema dinámico Sistema Dinámico Lineal u (t) y (t) Entrada senoidal Salida en estado estacionario (1 s+1) (2 s+1) G(s)= K u, y 1 1 Respuestas senoidales en estado estacionario t M() () Ganancia 0db  -20db -40db 20db 0dB/dec -20dB/dec 0o -90o -180o -270o  Fase K 1/2 1/1 -40dB/dec -60db