TEOREMA DE PITÁGORAS I Objetivos: Comprender el significado geométrico del Teorema de Pitágoras y comprobarlo.

Triángulo rectángulo Los triángulos se clasifican según sus propiedades. Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto. El lado opuesto del ángulo recto es el más largo, se llama hipotenusa. Repasar los distintos tipos de triángulos.

La historia del teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Se atribuye a Pitágoras de Samos, matemático y filósofo de la antigua grecia, pero pudo ser de cualquiera de sus discípulos. Explain that the theorem is named after Pythagoras because he, or a member of his society, was the first person known to have formally proven the result. Aunque fueron los Pitagóricos los que le dieron su nombre ya se conocía esta propiedad de los triángulos rectángulos en la antigua Babilonia, Egipto y China, al menos 1000 años antes de que Pitágoras naciera.

Teorema de Pitágoras ’ El Teorema de Pitágoras afirma que el área del cuadrado formado sobre la hipotenusa (cuadrado verde) del triángulo rectángulo … … tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre los otros dos lados o catetos (cuadrados rojo y azul). area verde = área azul + área roja Pythagoras’ Theorem may be expressed as a relationship between areas, as shown here, or a relationship between side lengths. In fact, the area of any similar shapes may by drawn on the sides of a right-angled triangle. The area of the shape drawn on the hypotenuse, will be equal to the sum of the areas of the shapes drawn on the two shorter sides. See S9.4 Circles for a problem involving the areas of semi-circles drawn on the sides of a right-angled triangle.

Act 1: Comprobación del teorema de Pitágoras

Act. 1: Enunciado y comprobación del teorema de Pitágoras Primera parte: Enunciado Colorea los cuadrados de la hoja, escogiendo un color distinto para cada tamaño. Marca el ángulo recto del triángulo y escribe por dentro el nombre de los lados, indicando cuáles son los catetos y cuál la hipotenusa. Recuerda que el lado más largo es la hipotenusa. Recorta el triángulo y tres cuadrados, uno de cada tamaño. Coloca los cuadrados rodeando al triángulo de tal manera que cada cuadrado quede apoyado en un lado. Fíjate que cada lado de un triángulo tiene que coincidir de forma exacta con el lado de uno de los cuadrado. Copia debajo el enunciado del teorema que relaciona las áreas de los cuadrados. Recorta el segundo cuadrado mediano y pequeño. Tienes que comprobar que ocupan la misma superficie que el grande. Para ello, recórtalos como quieras hasta cubrir el cuadrado grande. Busca la manera más eficaz. (no pierdas los trozos) Recordar que: Un teorema es una afirmación que tiene demostración y enunciar un teorema es expresar de forma correcta y clara esa afirmación. Demostrarlo es comprobar que es cierto.

Solución de la primera parte CUADRADO MEDIANO CUADRADO GRANDE     TRIÁNGULORECTÁNGUO Drag the vertices of the triangle to change the lengths of the sides and rotate the right-angled triangle. Ask a volunteer to come to the board and use the pen tool to demonstrate how to find the area of each square. For tilted squares this can be done by using the grid to divide the squares into triangles and squares. Alternatively, a larger square can be drawn around the tilted square and the areas of the four surrounding triangles subtracted. Reveal the areas of the squares and verify that the area of the largest square is always equal to the sum of the areas of the squares on the shorter sides. CUADRADO PEQUEÑO

Act. 1: Enunciado y comprobación del teorema de Pitágoras Segunda parte: Comprobación geométrica Recorta los dos cuadrados que han sobrado, el mediano y el pequeño. Busca la manera de recortar esos dos cuadrados en figuras más pequeñas al objeto de cubrir completamente la superficie del grande sin que sobre ni falte ningún hueco. Explica con tus palabras por qué para el triángulo y los cuadrados que has recortado efectivamente has comprobado el enunciado del teorema. Recordar que: Una comprobación es una demostración para un caso particular. Una comprobación geométrica no usa cálculos numéricos sino propiedades de las figuras geométricas.

Solución de la segunda parte

Act. 1: Enunciado y comprobación del teorema de Pitágoras Tercera parte: Comprobación aritmética Piensa qué cálculos tienes que hacer para comprobar numéricamente el teorema… Toma las medidas que necesites para calcular las áreas de los cuadrados. Comprueba si se cumple la relación que aparece en el enunciado. Recordar que: Una comprobación aritmética es aquella que usa números y cálculos para demostrar algo.

Act. 1: Enunciado y comprobación del teorema de Pitágoras Solución de la tercera parte: Comprobación aritmética Toma las medidas que necesites para calcular las áreas de los cuadrados. Para calcular el área necesitamos los lados. Miden: 6 cm, 8 cm y 10 cm. 2. Comprueba si se cumple la relación que aparece en el enunciado. Área del cuadrado pequeño: 6 x 6 = 36 cm2 Área del cuadrado mediano: 8 x 8 = 64 cm2 Área del cuadrado grande: 10 x 10 = 100 cm2 Efectivamente, 36 + 64 = 100 Recordar que: Una comprobación aritmética es aquella que usa números y cálculos para demostrar algo.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Por parejas escoger uno de los trabajos o en grupos de 4 los dos. Cuidado de no hacer todos el mismo matemático Plazo límite: una semana. Trabajo 1: Investiga sobre alguno de los principales matemáticos de la antigua grecia: Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides, Arquímedes, Eratóstenes, Pappus de Alejandría, Hipatia. Elabora un póster y prepara una presentación oral. Trabajo 2: Investiga otras formas de demostrar el teorema. En este enlace tienes variashttp://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm. Escoge una de ellas. Hazla con tijeras y papel. Elabora un póster y prepara una presentación oral.

Teorema de Pitágoras c2 a2 b2 Si llamamos a la longitud de los lados del triángulo rectángulo a, b y c, siendo c la hipotenusa, entonces: El área del cuadrado grande es c × c or c2. c2 Las áreas de los cuadrados pequeños son a2 y b2. c a2 a Podemos escribir el Teorema de Pitágoras como: This slide shows how Pythagoras’ Theorem can be written as a relationship between the side lengths of a triangle with sides a, b and c, where c is the hypotenuse. Ask pupils to tell you what a2 is equal to. (c2 – b2). Ask pupils to tell you what b2 is equal to. (c2 – a2). b b2 c2 = a2 + b2

Una prueba del Teorema There many proofs of Pythagoras’s Theorem. Pupils could be asked to research these on the internet and make posters to show them. In this proof we can see that the area of the two large squares is the same: (a + b)2 Both of these squares contain four identical triangles with side lengths a, b and c. In each of the large squares the four triangles are arranged differently to show visually that the area of the square with side length c is equal to the sum of the areas of the squares with side lengths a and b. This can be shown more formally considering the first arrangement. The area the red square with side length c is equal to the area of the large square with side length (a + b) minus the area of the four green right-angled triangles. The area of the four green right-angled triangles is 4 × ½ab = 2ab. c2 = (a + b)2 – 2ab Expanding, c2 = a2 + 2ab + b2 – 2ab c2 = a2 + b2

El teorema de Pitágoras El teorema establece una relación entre la hipotenusa de longitud c y los catetos a yb: c a c2 = a2 + b2 b Podemos usar este teorema para: Reconocer si un triángulo es rectángulo. Stress that Pythagoras’ Theorem is only true for right-angled triangles. If we are given the lengths of all three sides of a triangle, therefore, we can use Pythagoras’ Theorem to check whether of not the triangle is a right-angled triangle by squaring the length of the two shorter sides, adding the squares together and checking whether or not this is equal to the hypotenuse squared. If we are given the lengths of two of the sides in a right-angled triangle, we can also use Pythagoras’ Theorem to find the lengths of the unknown side. This is demonstrated in S2.4 Finding unknown lengths. Para encontrar uno de los lados del triángulo rectángulo si conocemos los otros dos.