PROGRAMACION LINEAL UNIVERSIDAD LIBRE 2016 METODO SIMPLEX DUAL PROGRAMACION LINEAL UNIVERSIDAD LIBRE 2016 INTEGRANTES: DANIELA NARANJO EVELIN ARAMBULA DEBORA SANCHEZ SEBASTIAN MENDEZ CAMILO DEL CASTILLO FREDY CORONEL

Método Simplex - Dual QUE ES: Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones ). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.  

CONDICION DE OPTIMIDAD CONDICION DE FACTIBILIDAD La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son No negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible). CONDICION DE OPTIMIDAD La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale.   Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización(rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución factible.

Método Simplex - Dual PARA QUE SE UTILIZA: Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). La base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex.

EN QUE CASOS SE UTILIZA: Método Simplex - Dual EN QUE CASOS SE UTILIZA: Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad

EN QUE CASOS SE UTILIZA: Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables. Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea infactible. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima finita entonces su respectivo dual o primal tendrán solución óptima finita. Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato estándar.

EN QUE CASOS SE UTILIZA: Si el modelo primal o dual tiene solución óptima no acotada, entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución, será un modelo infactible. Si el modelo primal o dual no tiene solución entonces su respectivo dual o primal no          tendrán solución. Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial.

QUE IMPLICA RESOLVERLO CON OTRO METODO: Método Simplex - Dual QUE IMPLICA RESOLVERLO CON OTRO METODO: Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones ). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema. Una de las ventajas de la existencia del programa dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional  al resolver ciertos modelos de programación lineal. Permite resolver problemas de programación lineal de forma más rápida y sencilla. Es otra vía para resolver un problema de programación lineal. Facilita profundizar en el contenido económico del problema original (primal). Puede ser utilizada para resolver el caso en que se debe considerar la introducción de una nueva variable en el primal una vez que ha de sido obtenida la solución óptima, sin tener que resolver completamente el problema. Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.

Método Simplex - Dual FUNCIÓN OPTIMA: MIN Z=4X1 + 12X2 + 18X3 EJEMPLOS: FUNCIÓN OPTIMA: MIN Z=4X1 + 12X2 + 18X3 SUJETA A : X1 + 18X3 >= 3 2X2 + 2X3 >= 5 X1 X2 X3 >= 0

La restricciones se multiplican por -1 -2X2 - 2X3 <= 5 Método Simplex - Dual EJEMPLOS: Paso 1: Convertir el problema de minimización en uno de maximización . La función objetico se multiplica por -1 F.O. MIN Z= -4X1 - 12X2 - 18X3 La restricciones se multiplican por -1 S.A. -X1 - 18X3 <= -3 -2X2 - 2X3 <= 5 X1 X2 X3 >= 0 Paso 2: Se convierten las inecuaciones en ecuaciones F.O. Z + -4X1 - 12X2 - 18X3 = 0 S.A. -X1 - 18X3 + S1 >= -3 -2X2 - 2X3 + S2 >= 5

Paso 3: Se determinan las variables básicas y no básicas. Método Simplex - Dual EJEMPLOS: Paso 3: Se determinan las variables básicas y no básicas. Básicas: S1 y S2 No Básicas: X1 X2 X3 Paso 4: Se elabora la tabla inicial de simplex Paso 5: Determinar la variable que sale (fila pivote) El número mas negativo de la solución de las restricciones = fila de S2

Razón mayor = columna X2 (-12/2) Método Simplex - Dual EJEMPLOS: Paso 6: Determinar la variable que entra (columna pivoite). Razón mayor = columna X2 (-12/2) Paso 7: Elaborar la nueva tabla de simplex Nueva fila pivote = fila pivote / elemento pivote

Método Simplex - Dual EJEMPLOS: b) Nuevas filas Fila anterior - coeficiente de la columna pivote * nueva fila pivote

El valor mínimo se alcanza para un X2 = 3/2 Y X3 = 1, para un Z=36 Método Simplex - Dual Nueva tabla simplex Se realizan nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como solución final: Nota: No hay más iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes negativos El valor mínimo se alcanza para un X2 = 3/2 Y X3 = 1, para un Z=36 EJEMPLOS:

Conclusiones El método Dual Simplex sirve y se aplica para resolver problemas que empiezan con factibilidad dual, es decir, óptimos pero infactibles (No se puede realizar).  Comúnmente aquellos problemas de difícil solución son los de minimización. El método simplex y el dual simplex se encuentran muy ligados, permitiendo que la restricción de uno sean las variables del otro. Las características básicas de una minimización para desarrollar el método dual simplex es que tengan restricciones del mayor o igual que y donde las variables sean mayores o iguales a cero

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