Cinemática Relativista

FORMULACIÓN DEL ELECTROMAGNETISMO: Galileo, s. XVI-XVII ANTECEDENTES: Mecánica clásica. Más de dos siglos. Excelente aproximación. Invariancia frente a transformaciones de Galileo. No existe Sistema Inercial de Referencia (SIR) absoluto. Isaac Newton, s. XVII-XVIII FORMULACIÓN DEL ELECTROMAGNETISMO: James Clerk Maxwell, a mediados siglo XIX, unifica los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos. La luz es una onda electromagnética. ¿Son las ecuaciones del electromagnetismo invariantes frente a las transformaciones de Galileo? ¿Donde se propaga la luz? ETER. Medio material que llena el universo. Similar a un fluido, rígido, invisible y difícil de detectar. James Clerk Maxwell, 1831-1879

Las ecuaciones de Maxwell en espacio vacío sin fuentes son: 2 Usando transformaciones de Galileo y aplicando la regla de la cadena para derivar: X=X’ +vt V=V’+v NO ES INVARIANTE BAJO TRANSFORMACIONES DE GALILEO

Son incorrectas las ecuaciones de maxwell ¡¡ LOS FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS NO SON INVARIANTES BAJO TRANSFORMACIONES DE GALILEO !! El Principio de relatividad es válido sólo para mecánica pero no para el electromagnetismo Son incorrectas las ecuaciones de maxwell Mediante experimentos deberían encontrarse desviaciones de la teoría maxweliana. Existe un solo principio de relatividad y las ecuaciones de Maxwell son correctas, pero algo falla en la mecánica clásica (ecuciones de Newton y transformaciones de Galileo) Mediante experimentos deberían encontrarse desviaciones de la teoría newtoniana y se debe reformular.

¿Qué se espera en el interferómetro? BUSQUEMOS EL ETER 1887- Michelson- Morley (Nobel 1907) Fuente Espejo Separador Interferómetro ¿Qué se espera en el interferómetro?

Si los dos rayos llegan al tiempo al interferómetro: patrón de interferencia constructiva. Si los dos rayos NO llegan al tiempo al interferómetro: corrimiento de las franjas que depende de la velocidad v del interferómetro respecto del éter

Tiempo para recorrer 2L en dirección paralela: Tiempo para recorrer 2L en dirección perpendicular: Y se espera ver un corrimiento de las franjas que depende de v (velocidad relativa entre éter e interferómetro).

Características del Experimento Michelson-Morley 1-Loza de piedra flotando en Hg 2-Sensibilidad: 1/100 franja 3-Observaciones: día y noche interferómetro girado 90º diferentes épocas del año diferentes alturas sobre el mar 4-Corrimiento esperado 1/25 franja 5-Corrimiento obtenido: 0 NO EXISTE EL ETER!!!! C es igual en cualquier SIR

Intentos por preservar el éter: Fitzgerald:1892- contracción de longitudes en dirección del movimiento. Problema: teoría artificiosa con otras predicciones que no se comprobaron experimentalmente. Arrastre del éter: el éter está pegado a los cuerpos y se desplaza con ellos. Por eso no se puede medir velocidad relativa. Problema: no explica aberración estelar.

Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad: La situación después del experimento de Michelson-Morley: - No existe el éter - ¿Qué ocurre con las ecuaciones de transformación de Galileo y las ecuaciones de Maxwell? - Nueva Teoría: Albert Einstein (1905) “Sobre la electrodinámica de los medios en movimiento” Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad: Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los SIR La velocidad de la luz es la misma medida desde cualquier SIR

Consecuencias de los Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad: Un observador pensará que el reloj de otro observador que se mueve respecto a él avanza más lentamente (dilatación del tiempo) Longitudes a lo largo del movimiento se contraen (contracción de Lorentz - Fitzgerald) El concepto de simultaneidad no es universal La velocidad está limitada por la velocidad de la luz Las longitudes en direcciones perpendiculares al movimiento se mantienen.

Dilatación del tiempo (c t)2 = (c t´) 2 + (v t)2 (c2-v2 ) t 2 = c t´ 2 t = t´/ (1-v2 /c2 )1/2

Contracción de longitudes paralela al movimiento t´= 2L´/c En S´ L´ c ti= L + v ti L En S c tr= L - v tr t = ti + tr = 2Lc/ (c2- v2) t =  t’ L = L’/ 

Demostración:

Dos eventos 1 y 2, que ocurren en X1 y X2 son simultáneos EN UN SISTEMA S si una señal luminosa emitida en el punto medio entre X1 y X1, llega a X1 en t1 y a X2 en t2 siendo t1 = t2 X1 X2 t1 t2 t1 = t2

En S´ estos dos eventos NO son simultáneos. C1 O C2 Durante el tiempo t que la luz va de C1 a O, el sistema S’ se desplaza una distancia vt O’ C’2 C’1 vt O’ recibe primero el destello que viene de C2 ya que O´ se acerca al punto de donde salió el destello. En S´ estos dos eventos NO son simultáneos.

Desintegración de los mesones µ Dilatación del tiempo y contracción de longitudes Desintegración de los mesones µ Se producen en la alta atmósfera (8-10 Km) y se detectan al nivel del mar. Se desintegran en 2× 10-6 s y tienen una velocidad media de 2.994× 108 m/s, Por que se pueden observar si en t = 2× 10-6 s y teniendo una v= 2.994× 108 m/s, sólo recorren h = v . t = 600 m ?

Distancia que alcanza a recorrer Tiempo propio = Tµ= 2× 10-6 s Longitud propia = Lµ =600 m ¿Desde el sistema fijo al mesón µ, a que distancia se ve la tierra? Para el mesón, la tierra se ‘acerca’ con v = 2.994× 108 m/s, así que para el, la distancia entre la alta atmosfera y el nivel del mar se verá contraída (longitud propia). L = Lt /   = 15.87 L = 9500/15.87  590 m Distancia que alcanza a recorrer en su tiempo de vida

¿Desde el sistema fijo a la tierra: Cuanto tiempo vive el mesón? Desde la tierra, el mesón se ‘acerca’ con v = 2.994× 108 m/s, así que el tiempo de vida del mesón se dilatará: (tiempo propio) Tt =  T  = 15.87 Tt = 15.87*2× 10-6 s  31.74* 10 -6 s m En este tiempo y con v= 2.994× 108 m/s, alcanza a recorrer 9500 m y se explica que se detecte al nivel del mar.

Ambas interpretaciones conducen a una interpretación correcta desde el punto de vista experimental, pero que son radicalmente diferentes en cuanto al razonamiento empleado: El mesón tiene una percepción de su tiempo propio de vida, y si logra llegar a la Tierra sólo puede interpretarlo diciendo que la distancia a recorrer se ha acortado. El observador terrestre tiene una percepción de la distancia a recorrer, y si ve llegar al mesón al suelo sólo puede interpretarlo diciendo que éste ha alargado su tiempo de vida.

Busquemos nuevas Transformaciones Características: Para  1 deben aproximarse a las de Galileo Deben ser consecuentes con los postulados de la TER A partir de ellas deben deducirse la contracción de longitudes y la dilatación del tiempo.

Tomemos una onda esférica de luz (cuando O=O’ t = t’ =0) Para ser consecuentes con TER proponemos nuevas transformaciones: Se demuestran la transformación de Lorentz:

Ejercicio: A partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz, obtener las expresiones para la contracción de longitudes y dilatación del tiempo.

Suma relativista de velocidades

Velocidad máxima v(Km/s)  ¿Qué sucede si v ≥ c? c=Velocidad máxima

C + C = 2 C ? En un sistema S´ que se mueve con v = C, se envía un haz de luz (Vx´= C). Con que velocidad Vx se vé el haz en un sistema S?

Con sólo 0.882C, N2 aventaja a N1 en 0.6c Una nave N1 se mueve a una velocidad V1= 0.6C. Otra nave N2, la quiere adelantar con una velocidad relativa entre ellas v= 0.6C. Que velocidad V2 debe adquirir N2? Clásicamente: V2 = V1 + v = 0.6C + 0.6C = 1.2C En T.E.R Con sólo 0.882C, N2 aventaja a N1 en 0.6c

Cinemática Clásica Vs. Cinemática Relativista Ecuaciones de Transformación Galileo Lorentz Espacio – Tiempo Absolutos velocidad relativa Longitudes (v) Iguales Se contraen Intervalos de tiempo (t) Se dilatan Velocidad límite Ninguna C Aplicabilidad V pequeñas V grandes

La paradoja de los gemelos