Relatividad Prof. Luis Torres.

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1 Relatividad Prof. Luis Torres

2 Objetivo terminal: Al finalizar la discusión:
Ampliarán sus conocimientos físicos sobre la importancia de la relatividad en la investigación científica. Demostrarán su dominio en la resolución de problemas relacionados con fórmulas dentro del proceso de relatividad.

3 La Relatividad TEORIA QUE DESARROLLO ALBERT EINSTEIN PARA TRATAR EVENTOS FISICOS QUE LA FISICA CLASICA NO PUEDE EXPLICAR

4 Introducción: Hacia el final del siglo XIX los ciéntificos estaban convencidos de que habían aprendido la mayor parte de lo que se necesitaba conocer acerca de la física, las leyes de movimiento de Newton y su Teoría de la Gravitación Universal. El trabajo de Maxwell en la unificación de la electricidad y el magnetismo, así como las leyes de la termodinámica y la teoría cinética tuvieron un gran éxito en la explicación de una amplia variedad de fenómenos.

5 Al comenzar el Siglo XX la ciencia se impacto por una nueva revolución del pensamiento científico.
En 1900 Planck brindó las ideas básicas que llevaron a formular la Teoría Cuántica. En 1905 Albert Einstein formuló la Teoría de la Relatividad. Las dos teorías tuvieron un profundo efecto en nuestra comprensión de la naturaleza. Pero la historia no termina aún. Los descubrimientos continúan surgiendo y la teoría se amplifica haciendo mucho más profunda nuestra comprensión del mundo natural.

6 La mayor parte de nuestras experiencias y observaciones cotidianas se relacionan con objetos que se mueven a velocidades mucho menos que la velocidad de la luz. Las primeras ideas sobre el espacio, el tiempo y la mecánica Newtoniana se formularon para describir el movimiento de dichos objetos. La mecánica newtoniana fracasa cuando se aplica a partículas cuyas velocidades se acercan a la velocidad de la luz.

7 Es posible acelerar un electrón a una velocidad de 0
Es posible acelerar un electrón a una velocidad de 0.99c empleando una diferencia de potencial de varios millones de voltios. De acuerdo con la mecánica Newtoniana, si la diferencia en potencial se incrementa por un factor de cuatro, la velocidad del electrón debe ser 1.98C. Pero la velocidad del electrón al igual que las velocidades de otras partículas en el universo, siempre permanece menor que la velocidad de la luz independientemente del voltaje de aceleración.

8 La mecánica Newtoniana es contraria a los resultados experimentales modernos debido a que no impone un límite superior a la velocidad de la luz. La teoría de la relatividad surge de la necesidad de resolver contradicciones serias y profundas en la vieja teoría de las cuales parece no haber salida. La teoría Newtoniana sólo es un caso especial de la teoría de la relatividad.

9 El Principio de la Relatividad
Newtoniana

10 Marco Inercial: Un marco inercial es aquel en el cual la primera Ley de Newton es válida.

11 No hay un marco inercial privilegiado:
Esto significa que los resultados de un experimento efectuado en un auto que se mueve con velocidad constante son iguales a los resultados de un experimento que se lleve a cabo en un auto en reposo. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD NEWTONIANA Las leyes de la mecánica deben ser las mismas en todos los marcos inerciales

12 Considere dos marcos inerciales S y S1
v z z1 P{evento} vt x1 x x1 x 01 y y1 Figura 1

13 El sistema S1 se mueve con una velocidad constante v a lo largo de los ejes xx1,
donde v se mide en relación con S. Suponga que un evento ocurre en el punto P y que los orígenes de S y S1 coinciden en t = 0, un observador en S describe el evento con unas coordenadas espacio tiempo, (x, y, z, t) en tanto que un observador en S1 emplea las coordenadas espacio tiempo (x1, y1, z1, t1) para describir el mismo evento.

14 Transformación de coordenadas galileana
Deseamos poder transformar estas coordenadas de un marco inercial a otro. De la figura 1 estas coordenadas se relacionan por medio de las ecuaciones. x = x1 + vt y = y1 z = z1 t = t1 Es lo mismo que: x1 = x - vt y 1 = y z 1 = z t1 = t Transformación de coordenadas galileana

15 Dentro de el marco de la mecánica clásica, todos los relojes funcionan al mismo tiempo sin que la velocidad entre los marcos inerciales importe; de modo que el tiempo durante el cual ocurre un evento para un observador en (S) es el mismo tiempo para el mismo evento en (S1). Como consecuencia el intérvalo de tiempo entre dos acontecimientos sucesivos debe ser el mimo para ambos observadores.

16 Ésta suposición se vuelve incorrecta cuando tratamos situaciones en las cuales (v) es comparable a la velocidad de la luz. El punto de tiempos iguales representa una de las profundas diferencias entre los conceptos de la teoría newtoniana y los conceptos de la teoría de la relatividad.

17 Suponga que dos eventos están separados a una distancia (dx) y un intérvalo de tiempo (dt) de acuerdo como lo mide un observado en (S). Se deduce de la ecuación x1 = x – vt que la distancia recorrida (dx1) medida por un observador en S1 es: dx1 = dx – vdt donde dx es la distancia entre los dos eventos medida por un obsevador en S.

18 Puesto que dt = dt1 dx1 = dx – vdt dt dt dt dx1 = dx – v dt dt u1x = ux - v Donde u1 y u son las velocidades instantáneas del evento en relación S1 y S, respectivamente, v es la velocidad el marco inercial S1 desde el punto de vista del observador en S. LEY GALILEANA DE ADICIÓN DE VELOCIDADES (transformación galileana de velocidades

19 Velocidad de la Luz

20 Albert Michelson (1852-1931) Edward W. Morley (1838-1923)
Idearon un experimento que accidentalmente eliminó de un plumazo la teoría del éter como marco inercial absoluto, y con esto la posibilidad de que la luz tuviera diferentes velocidades en diferentes marcos inerciales.

21 Olaf Roemer ( ) Astrónomo danés midió la velocidad de la luz, observando el eclipse de una de las lunas de Júpiter. Concluyó que la velocidad de la luz es 3 x 108 m/s en el sistema S I.

22 1-Raymond A. Serway/ IV Edición / Págs. 1159-1161
Albert Michelson Se le debe la primera medición exacta de la velocidad de la luz calculada en la tierra. Utilizó un rayo de luz y un espejo rotativo de 8 caras (f = 625 rev/s). Desde luego la velocidad de la luz fue de 3.0 x 108 m/s.1 Ref. Pag 1-Raymond A. Serway/ IV Edición / Págs

23 Principio de relatividad de
Einstein

24 Albert Einstein propuso la teoría de la relatividad especial que elimina esta dificultad y al mismo tiempo alteró por completo la noción del tiempo. Éste fundamentó su teoría en dos postulados.

25 Postulado #1: Todas las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales.

26 Postulado #2 La velocidad de la luz es c en todos los marcos inerciales. (c = 3 x 108 m/s en el SI)

27 Simultaneidad y relatividad del tiempo
Una premisa básica de la mecánica newtoniana es que existe una escala de tiempo universal que es la misma para todos los observadores. La mecánica relativista propone, que una medida del intérvalo de tiempo depende del marco de referencia en el cual se efectúa medida.

28 Figura 2 a) b) v v 01 01 B1 A1 B1 A1 A B A B Un vagón se mueve con velocidad uniforme y dos rayos inciden sobre sus extremos, el observador estacionario dice que los rayos inciden a la misma vez mientras que el observador en el vagón dice que el rayo incide en B1 primero que en A1

29 Dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia no son en general simultáneos en un segundo marco de referencia que se mueve en relación con el primero. La simultaneidad no es un concepto absoluto si no que depende del marco de referencia del observador. Ambos observadores tienen razón cuando explican el evento desde sus respectivos marcos de referencias.

30 Principio de la Relatividad?
¿Qué dice el Principio de la Relatividad?

31 El principio de la relatividad dice que no hay un marco inercial privilegiado, o sea, las leyes de la física son las mismas en cualquier marco inercial y la simultaneidad no es absoluta.

32 Figura 3 Dilatación del Tiempo

33 Un observador dispara un rayo hacia un espejo desde su marco de referencia que se mueve con velocidad uniforme respecto a éste. El tiempo que se tarda el rayo en ir al espejo y regresar ∆t1= 2d/c.

34 De acuerdo con el observador estacionario el láser se mueve a la derecha con una velocidad v y la distancia total es: dt = dh + d⊥ (½ c ∆t )2 = (½ v ∆t ) d2 (½ c ∆t )2 - (½ v ∆t )2 = d2 (c ∆t )2 - ( v ∆t )2 = d2 4 (c ∆t )2 - ( v ∆t )2 = 4d2 ∆t ( c - v 2 ) = 4d2 ∆t = √4d 2 c2 - v 2 ∆t = d √ c2 - v 2 ∆t = 2d c √1- v2 c 2

35 Como ∆t1 = 2d sustituyendo c

36 Este resultado nos dice que el intérvalo de tiempo ∆t medido por un observador que se mueve respecto del reloj es más largo que el intérvalo de tiempo ∆t1 medido por el observador en reposo respecto del reloj debido a que  es siempre más grande que la unidad. Esto es ∆t > ∆t1. Este efecto se conoce como la dilatación del tiempo.

37 La dilatación del tiempo es un fenómeno verificable.
Por ejemplo los muones son partículas elementales inestables que tienen una carga igual a la del electrón y 207 veces su masa. Éstos se producen por el choque de radiación cósmica con átomos a gran altura en la atmósfera. Tienen una vida media de 2.2 μs cuando se mide en un marco de referencia en reposo relativo a ellos. Si la vida media de un muón es 2.2 μs y suponemos que su velocidad es cercana a la de la luz encontramos que estas partículas sólo pueden recorrer una distancia de aproximadamente 600m antes de su decaimiento. Entonces éstos no pueden alcanzar la tierra desde la altura en la atmósfera donde se producen (4,800m).

38 El fenómeno de dilatación del tiempo explica este evento.
En relación con un observador en tierra los muones tienen un tiempo de vida t donde t = 2.2 μs es el tiempo de vida media en un marco de referencia que viaja con los muones. Por ejemplo si, v = 0.999c,  = 7.1 y t = 16s. Entonces la distancia recorrida es tv = 4,800m.

39 En el 1976 se inyectaron muones en el (CERN) laboratorio del Consejo Europeo para la Investigación Nuclear en Ginebra Suiza. Éstos alcanzaron velocidades de aproximadamente C. Los electrones producidos por los muones en decaimiento fueron detectados mediante contadores alrededor del anillo, lo que permitió a los científicos medir la taza de decaimiento y por consiguiente el tiempo de vida del muón.

40 El tiempo de vida de muones en movimiento se midió y se encontró que era 30 veces mayor que el de un muón estacionario. Esto concuerda con la predicción de la teoría de la relatividad dentro de dos partes en mil.

41 Contracción de la longitud
La distancia medida entre dos puntos, depende del marco de referencia. La longitud propia (Lp) de un objeto se define como la longitud del objeto medida por alguien que esta en reposo respecto del objeto. La longitud de un objeto medida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del objeto, siempre es menor que la longitud propia.

42 Figura 4

43 Considere una nave espacial que viaja con velocidad v de una estrella a otra.
Hay dos observadores uno en la tierra y otro en la nave espacial. El observador en reposo en la tierra (que se supone que esté en reposo respecto a las dos estrellas mide la distancia entre las estrellas Lp). De acuerdo con este observador el tiempo que tarda la nave en completar el viaje es Lp/v

44 ¿Qué distancia entre las estrellas mide el observador en la nave espacial?
Debido a la dilatación del tiempo, el viajero espacial mide un tiempo de viaje más pequeño ∆t1 = ∆t /  . El viajero espacial afirma que está en reposo y que ve la estrella de destino moviéndose hacia la nave espacial con velocidad v. Debido a que el viajero espacial alcanza la estrella en un tiempo ∆t1 concluye que la distancia L es más corta que Lp.

45 Esta distancia L medida por el viajero espacial es:

46 Esta ecuación significa, que si un objeto tiene una longitud Lp cuando está en reposo, entonces al moverse con velocidad v en una dirección paralela a su

47 Ecuaciones de Transformación de
Lorentz.

48 Las transformaciones galileanas no son válidas cuando v se aproxima a la velocidad de la luz (c).
Estableceremos las ecuaciones de transformación correctas que son válidas para todas las velocidades en el intervalo o ≤ v < c

49 Figura 5.

50 Suponga que un evento que ocurre en algún punto P se informa por dos observadores uno en descanso en el marco S y otro en el marco S1 que se mueve hacia la derecha con velocidad v (figura 5). El observador en S, informa sobre el evento con coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, t). Mientras el observador en S1 informa sobre el mismo evento empleando las coordenadas (x1, y1, z1, t1). Deseamos encontrar una relación para estas coordenadas que sea válida para todas las velocidades.

51 Las ecuaciones que son válidas para o ≤ v < c y que nos permiten transformar las coordenadas de S a S1 están dadas por las ecuaciones de transformación de Lorentz.

52 Las coordenadas y y z no son afectadas por el movimiento a lo largo de la dirección x. Aunque el movimiento a lo largo de x no cambia las coordenadas y y z, si cambia los componentes de velocidad a lo largo de y y z.

53 Estas ecuaciones las desarrolló Hendrick A. Lorenz (1853-1928) pero fue
Einstein quien reconoció su significado físico y dió el audaz paso de interpretarlas dentro del marco conceptual de la teoría de la relatividad.

54 Vemos que el valor de t1 asignado a un evento por un observador en O1 depende tanto del tiempo t como de la coordenada x según los mide un observador en O. Esto es consistente con la noción de que un evento está caracterizado por cuatro coordenadas espacio tiempo (x, y, z, t). En otras palabras en la relatividad el espacio y el tiempo no son conceptos separados sino que están estrechamente vinculados uno con el otro.

55 Si deseamos transformar las coordenadas del marco S1 en coordenadas del marco S, simplemente sustituimos v por – v e intercambiamos las coordenadas prima y no prima en la ecuación.

56 Ecuación

57 x1 = x - vt y1 = y z1 = z t1 = t

58 En muchas situaciones deseamos conocer la diferencia en coordenadas entre dos eventos en el intérvalo de tiempo entre dos eventos de acuerdo a como lo ven los observadores O y O1. A partir de las ecuaciones de Lorentz podemos expresar la diferencia entre los cuatro variables ( x, x1, y, y1 ) de la forma:

59 Donde ∆x1 = x12 - x11 y ∆t1 = t12 - t11, son las diferencias medidas por el observador en O1 , mientras que ∆x = x2 - x1 y ∆t = t2 - t1 son las diferencias medidas por el observador en O. NOTA: No se incluye las expresiones para relacionar las coordenadas y y z debido a que no son afectadas por el movimiento a lo largo de la dirección x.

60 Transformación de velocidades
de Lorentz

61 La transformación de velocidades de Lorentz es la contraparte relativista de la transformación de velocidades galileana. En este caso S es el marco de referencia estacionario y S1 es el marco de referencia que se mueve a una velocidad v relativa a S. Suponga que se observa un objeto en el marco S1 con una velocidad

62 Dada las ecuaciones:

63 y sustituyendo estos valores en u1x = dx1/ dt1 obtenemos

64 por lo que esta última expresión se convierte en:
De manera similar, si el objeto tiene componentes de velocidad a lo largo de y é z la componente en s son:

65 En el caso de que ux y v sean mucho más pequeñas que c (caso no relativista) el denominador de la ecuación A, se aproxima a la unidad y u1x = ux – v que es la ecuación para la transformación de velocidades galileanas. En el otro extremo cuando ux = c la ecuación u1x = . ux – v se transforma en (1 – v ux ) c2

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67 A partir de este resultado, vemos que un objeto que se mueve con una velocidad c relativa a un observador en S tiene también una velocidad c relativa a un observador S1 independientemente del movimiento relativo de S y S1. Esta conclusión es consistente con el segundo postulado de Einstein que dice que la velocidad de la luz es c en todos los marcos inerciales y que la velocidad de la luz es la velocidad límite.

68 Momento relativista y forma relativista de las
Leyes de Newton

69 Para describir propiamente el movimiento de partículas dentro del esquema de la relatividad especial, las transformaciones galileanas deben de sustituirse por las transformaciones de Lorentz. Debido a que las leyes de la física deben permanecer invariables bajo las transformaciones de Lorentz, debemos, generalizar las Leyes de Newton y las definiciones de momento y energía para ajustarlas a la transformación de Lorentz y al principio de la relatividad. Estas definiciones generalizadas deben poder reducirse a las definiciones clásicas (para v << c).

70 Se define el momento de una partícula en S como p = mu donde es la masa de la partícula en Kg. U es la velocidad << c expresada en m s

71 NOTA: Las unidades de p son Nos
En un sistema relativista donde u ~ c se modifica el momento clásico p = mu por el momento relativista.

72 La transformación del momento relativista de la partícula es a partir del marco del observador que se mueve a velocidad u respecto de la partícula.  La fuerza relativista F sobre una partícula cuyo momento es p se define como:

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74 Energía relativista Hemos visto que la definición de momento y las leyes de momento de acuerdo a la mecánica clásica requieren de una generalización para hacerlas compatibles con el principio de la relatividad. Esto significa que la definición de energía cinética debe de modificarse.

75 Cuando una fuerza hace trabajo sobre una partícula aumenta su energía cinética y también causa que su masa aumente por una cantidad igual al aumento en energía dividido por c2. Para una partícula de masa m acelerando a lo largo de una línea recta bajo la acción de una fuerza constante F, el trabajo sobre la partícula es igual al cambio en energía cinética.

76 Trabajo hecho = fuerza - distancia

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82 KE expresa la energía cinética relativista y se confirma rutinariamente mediante experimentos que emplean aceleradores de partículas de alta energía.

83 Podemos verificar esto empleando la expansión del binomio
( 1 – x2 ) -½ ≈ 1 + ½ x para x << 1 donde las potencias de orden mas alto de x se desprecian en la expansión.

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85 En la ecuación KE = m0 c2 - m0 c2 , el termino m0 c2 es independiente de la velocidad y se llama energía en reposo de la partícula libre. Despejando para γ m0 c2 en la ecuac. KE = m0 c2 - m0 c2 obtenemos: m0 c2 = KE m0 c2 Se define m0c2 como la energía total Eт Eт = KE + m0 c2 pero,

86 m = m entonces, E = m c2 En muchas situaciones el momento o la energía de una partícula se mide en lugar de su velocidad por consiguiente es útil tener una expresión que relacione la energía total E con el momento relativista p. E2 = ( m0 c2 ) p2 c2

87 Esta ecuación se deriva de la siguiente forma:

88 Nota: La forma clásica para la energía que se relaciona con el momento de la partícula es: E = p2

89 Para el caso de partículas que tienen masa cero la ecuación: E2 = ( m0 c2 ) p2 c2 se convierte en: E2 = p2 c2 E = pc Esta ecuación es una expresión exacta que relaciona la energía y el momento para neutrinos y fotones que viajan siempre a la velocidad de la luz. 

90 La masa mo de una partícula es independiente de su movimiento, mo debe de tener el mismo valor en todos los marcos de referencia por lo tanto mo se le llama masa invariante. Por otra parte la energía y el momento totales de una partícula dependen del marco de referencia en el cual se miden, ya que ambos dependen de la velocidad.

91 De acuerdo a la ecuación E2 = m0 2c4 + p2 c2, la cantidad E2 - p2 c2 = m0 2c4 debe tener el mismo valor en todos los marcos de referencia, ya que depende de la masa en reposo y la velocidad de la luz, ambas cantidades invariantes en cualquier marco de referencia. Entonces E2 - p2 c2 es invariante bajo una transformación de Lorentz.

92 Cuando trabajamos con partículas subatómicas es conveniente expresar su energía en electrón voltios (eV) debido a que las partículas ganan energía mediante aceleración producida por una diferencia de potencial. 1eV = 1.60 x J

93 Al convertir esta energía a eV lo hacemos de la siguiente manera:
Ejemplo: La masa de un electrón es 9.11 v10-31 Kg., entonces la energía en reposo del electrón es: moc2 = (9.11 v10-31) (3 x 108) Kg. m2/s2 = 8.20 x J Al convertir esta energía a eV lo hacemos de la siguiente manera: 8.20 x J eV_____ = MeV 1.60 x J

94 Equivalencia de la Masa y la Energía

95 Para entender la equivalencia de la masa y la energía, considere el siguiente experimento pensado, propuesto por Einstein al desarrollar su ecuación: E = mc2

96 Imagine una caja de masa M y longitud L como en la figura a
Imagine una caja de masa M y longitud L como en la figura a. Suponga que un pulso de la luz se emite desde el lado izquierdo de la caja (figura B) de la

97 Suponiendo que la caja es muy masiva, la velocidad de retroceso v es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz y la conservación del momento produce. Momento de la caja = momento del pulso de luz

98 El tiempo que tarda la luz en recorrer la longitud de la caja es

99 Sustituyendo v = E/Mc ∆ x = v ∆t ∆t = L/c ∆x = EL/Mc2

100 La luz incide después en el extremo derecho de la caja y le transfiere su momento haciendo que ésta se detenga. Con la caja en su nueva posición, en apariencia su centro de masa se movió hacia la izquierda. Sin embargo, su centro de masa no puede moverse debido a que la caja es un sistema aislado Einstein resolvió esta situación suponiendo que además de energía y momento la luz también conduce masa. Si m es la masa equivalente que conduce el pulso de luz y el centro de masa se mantiene fijo entonces:

101

102 Despejando para E obtenemos E = mc2
De este modo llegó a la conclusión de que si un cuerpo brinda su energía E en forma de radiación su masa disminuye en E/c2 , por lo tanto la masa de un cuerpo es la medida de su contenido energético.

103 Se concluye que la masa varía con la velocidad relativa al observador.
Debemos distinguir entre la masa en reposo mo, que es la masa medida por un observador en reposo relativo a la partícula (y en la misma posición) y la masa medida en experimentos reales.

104 Para una partícula libre m = γ m0 nos brinda la masa de una partícula experimentalmente.
En el caso de un gran objeto, cuyo centro de masa esta en reposo respecto del observador m = E ∑ im0. En cualquier caso la masa real es proporcionada por la energía total E dividida entre c2.

105 La ecuación E = γ m0 c2 sugiere que cuando una partícula esta en reposo (γ= 1) este sigue poseyendo una gran energía ( m0 c2 ). Prueba de esto esta en las reacciones nucleares y colisiones de partículas elementales donde se liberan grandes cantidades de energía acompañadas por la liberación de masa.

106 E = mc pero m = γm0

107 Problemas