I. E. Manuel González Prada 2015 CURSO: Matemática TEMA: Análisis Combinatorio 2011 Profesor: Paz López Ramírez

Análisis Combinatorio Matemática Es parte de la Análisis Combinatorio Se encarga del estudio de Objetos Letras Números Etc. Grupos o conjuntos De modo que cada Grupo se diferencia de otro Por el Número de elementos

Análisis Combinatorio Principio de Multiplicación Si el suceso A Puede realizarse de “m” maneras y El suceso B Puede realizarse de “n” maneras Entonces los sucesos Se pueden realizar en forma conjunta de A B m x n maneras y Siempre que se efectué uno después del otro

Análisis Combinatorio NOTA: Este principio se puede generalizar para más de 2 sucesos Ejemplo 1: Un alumno tiene dos libros de física y una alumna tiene tres libros de química. ¿De cuántas maneras podría presentarse un libro? Q1 F1 Por el principio de Multiplicación Q2 F2 Nº de Maneras = 2 x 3 = 6 Q3 2 Maneras de prestar los 2 libros 3 Maneras de prestar los 3 libros

Análisis Combinatorio Ejemplo 2: De una ciudad “A” a otra “B” hay 4 caminos diferentes y de la ciudad “B” a la ciudad “C” hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de A a C? A B C Hay 4 maneras de ir de A a B Hay 3 maneras de ir de B a C Luego, el número de maneras de ir de “A” a “C” son: Nº de maneras = 4 x 3 = 12

Análisis Combinatorio Principio de Adición Si el suceso A Puede realizarse de “m” maneras y El suceso B Puede realizarse de “n” maneras Entonces los sucesos A B Se pueden realizar de m + n maneras o

Análisis Combinatorio NOTA: Para que se cumpla el principio de adición, se debe verificar que no sea posible que los sucesos A y B ocurran juntos.

Análisis Combinatorio Ejemplo: Proyectamos un viaje y decidimos ir en el metropolitano o en microbús, si hay 3 rutas para el metropolitano y 4 para el microbús. ¿De cuántas maneras tenemos que decidir nuestro viaje? a. En el Metropolitano Para el Metro_ politano hay 3 maneras de llegar Para el Micro_ bús hay 4 maneras de llegar b. En el Microbús N° de maneras = 3 + 4 = 7

Análisis Combinatorio Variación o Arreglo Variación es cada una de las ordenaciones que puedan formarse con varios elementos Tomemos de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres Ejemplo: Dado: A = (a,b,c) 3 elementos Si tomamos de 2 en 2, las variaciones serían: (ab, ac, bc, ba, ca, cb) Sí nos interesa el orden, ya que no es lo mismo ab que ba

Análisis Combinatorio Si tomamos de 3 en 3, las variaciones serían: (abc, acb, bac, bca, cab, cba) Luego, el número de variaciones está dado por la siguiente formula: m V = m (m-1) (m-2)… (m-n+1) (m > n > 0) n De otra forma: m = m! (m - n)! V n Donde : m= # total de elementos de los “m” elementos tomados de “n” en “n” Ejemplo 5 5! 5! 3! x 4 x 5 20 (5 - 2)! 3! 3! V = = = = 2

Análisis Combinatorio NOTA: Para las variaciones el orden de sus elementos sí interesa, ya que no es lo mismo decir 23 que 32, como se observará, estos dos números están compuestos por las mismas cifras, pero en su valor son diferentes.

Análisis Combinatorio Ejemplo: 3 alumnos llegan a matricularse a una academia pre-universitaria que dispone de 5 aulas. ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que Siempre ocupen aulas diferentes? Sean las 5 aulas, las que se muestran en la figura: A1 A2 A3 A4 A5 3° alumno 3 posibilidades 2° alumno 4 posibilidades 1° alumno 5 posibilidades Luego: # de maneras = 5 x 4 x 3 = 60

Análisis Combinatorio Por formula obtenemos: m = m! (m - n)! V n m = 5 (total de elementos = 5) n = 3 (# de alumnos) Donde: 5 5! 5! 2!x 3 x 4 x 5 60 (5 - 3)! 2! 2! V = = = = 3

Análisis Combinatorio Ejemplo: ¿Cuántos números diferentes de 2 cifras pueden formarse con dígitos: 1, 2, 3, 4? De los dígitos dados: 1, 2, 3, 4, tomamos de 2 en 2 obteniendo 12; 21; 23; 32 13; 31; 24; 42 14; 41; 34; 43 Se forman 12 números de 2 cifras cada uno Donde: m = 4 ; n = 2 4 4! 4! 2!x 3 x 4 12 (4 - 2)! 2! 2! V = = = = 2 Los números de 2 cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 son 12

FIN