MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA 1 Prof.: FERNANDO GERFAUO. TECNÓLOGO EN INFORMÁTICA. Sede: PAYSANDÚ. AÑO 2017.-

Álgebra de Boole Dispositivos con dos estados. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Dispositivos con dos estados. Un interruptor eléctrico puede encenderse o apagarse. En un transistor la corriente pasa o no pasa. Los circuitos de los ordenadores reciben datos de entrada, cada uno de los cuales es un 0 o un 1, y producen como salida también ceros o unos. Álgebra de Boole. En 1854, el matemático inglés George Boole estableció en su obra “Las leyes del pensamiento” un sistema de lógica matemática que desarrolló en términos de lo que hoy se conoce con el nombre de Álgebra de Boole. Esta estructura matemática proporciona las operaciones y las leyes para analizar dispositivos con dos estados, trabajando en el conjunto B={0, 1}. Operaciones booleanas: suma, producto y complemento. Álgebra de Boole Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Álgebra de Boole Funciones booleanas. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Funciones booleanas. Sea B={0, 1}. Entonces Bn = { (x1, x2, . . . , xn): xi ∈ B, 1≤ i ≤ n } es el conjunto de todas las posibles n-uplas de ceros y unos. Una variable x que solo toma valores en el conjunto B, esto es, sus únicos valores posibles son 0 y 1, se denomina variable booleana. Una función f: Bn → B se llama función booleana de n variables. Igualdad de funciones. Dos funciones boolenas f: Bn → B y g: Bn → B son iguales, si y sólo si, f(x1, x2, . . . , xn) = g(x1, x2, . . . , xn) para cualesquiera x1, x2, . . . , xn de B. Suma y producto de funciones. Dadas f: Bn → B y g: Bn → B se define la suma y el producto de f y g como: (f + g)(x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn) + g(x1, x2, . . . , xn) (f · g)(x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn) · g(x1, x2, . . . , xn) Complemento de f. Álgebra de Boole Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Álgebra de Boole Leyes (ver tablas) Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Leyes (ver tablas) Dualidad. Las leyes aparecen por parejas, salvo la ley del doble complemento y las leyes de los inversos para 0 y 1. Para explicar la relación que existe entre las dos leyes de cada pareja, se utiliza el concepto de dual. El dual de una expresión booleana se obtiene intercambiando entre sí la suma y el producto booleanos, así como los ceros y unos. El dual de una función booleana representada por una expresión booleana es la función representada por el dual de dicha expresión. Principio de dualidad. Una igualdad entre funciones booleanas sigue siendo válida cuando se toman las expresiones duales en ambos miembros de la igualdad. Álgebra de Boole Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Funciones booleanas Forma normal disyuntiva Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Forma normal disyuntiva Sea f: Bn → B una función booleana con n variables x1, x2, . . . , xn. Un literal es xi o ẋi , para 1≤ i ≤ n. Un término de la forma y1y2. . .yn, donde cada yi = xi o yi = ẋi , para 1≤ i ≤ n, se denomina conjunción fundamental. c) Una representación de f como suma de conjunciones fundamentales se llama forma normal disyuntiva de f. Observaciones: Cualquier función f: Bn → B, f ≠ 0, tiene una única representación como forma normal disyuntiva, excepto por el orden de las conjunciones fundamentales. Para expresar de manera más compacta la forma normal disyuntiva de una función booleana no nula se utiliza la notación sigma ∑. Forma normal conjuntiva. Funciones booleanas Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. El álgebra de Boole se utiliza para modelar los circuitos de dispositivos electrónicos. Cada entrada y salida de estos dispositivos se puede ver como un elemento del conjunto B={0, 1}. Los circuitos se pueden diseñar mediante las leyes del álgebra de Boole ya tratadas. Sus elementos básicos reciben el nombre de puertas lógicas. Cada tipo de puerta lógica implementa una operación booleana. Observaciones: Las entradas de cada una de las puertas aparecen a la izquierda de ellas, mientras que la salida, aparece a la derecha. Se admitirán entradas múltiples para las puertas AND y OR. Puertas lógicas Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Circuitos combinacionales Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Los circuitos que producen una salida que depende únicamente de la entrada (y no del estado actual del circuito), reciben el nombre de circuitos combinacionales. Estos se pueden construir utilizando una combinación de los tres tipos de puertas lógicas: NOT, AND y OR. Al diseñarlos puede suceder que varias puertas tengan entradas comunes, lo que da lugar a dos formas de representación de los circuitos. Una representación consiste en emplear ramificaciones para indicar todas la puertas que comparten la misma entrada; la otra consiste en indicar por separado las entradas para cada puerta. Ejemplo: Un comité integrado por tres personas es el encargado de tomar las decisiones en una organización. Para ello cada individuo vota sí o no a cada propuesta formulada. Una propuesta prospera si recibe al menos dos de los tres votos. Diseña un circuito que determine cuando prospera una propuesta. Circuitos combinacionales Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Optimización de circuitos Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. La eficiencia de un circuito combinacional depende del número de puertas que tenga y de la disposición de estas. Para obtener un conjunto de puertas lógicas que implemente un circuito se puede utilizar la forma normal disyuntiva de la función booleana que implementa la salida del circuito. Pero la forma normal disyuntiva puede tener muchos más sumandos de los necesarios. La idea entonces es simplificar la forma normal disyuntiva de esta función booleana, de manera de obtener sumas de productos que contengan el menor número posible de sumandos, y tal que estos sumandos sean productos con la menor cantidad posible de literales. Al proceso de obtener tal suma de productos se le llama minimización de la función booleana. Minimizar una función booleana permite diseñar un circuito óptimo, esto es un circuito que tenga la menor cantidad posible de puertas y el menor número posible de entradas a las puertas lógicas AND y OR. Optimización de circuitos Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Diagramas de Karnaugh Un Diagrama de Karnaugh o un Mapa de Karnaugh Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Un Diagrama de Karnaugh o un Mapa de Karnaugh es un método gráfico que permite minimizar la forma normal disyuntiva de una función booleana de hasta seis variables. Dicho método fue introducido en 1953 por Maurice Karnaugh, físico y matemático, nacido en Nueva York, EEUU. Diagrama de Karnaugh de tres variables. Diagrama de Karnaugh de cuatro variables. Diagramas de Karnaugh Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Bibliografía consultada: Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Bibliografía consultada: Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-