Universidad Católica de Valencia Lección Inaugural: Curso 2009-2010 San Vicente Mártir Lección Inaugural: Curso 2009-2010 Cálculo del área de un polígono simple. Una demostración personal. Francisco Javier Arteaga Moreno Francisco Javier Arteaga Moreno

El problema del cálculo del área de un polígono Calcular el área de un polígono simple a partir de sus vértices especificados en sentido antihorario.

Estructura de la lección Problema inicial: posición relativa entre un punto y un polígono 1ª solución: recorriendo el perímetro. 2ª solución: lanzando un rayo. 3ª solución: mirando alrededor. Aproximación estocástica al área del polígono Área de un polígono estrellado Extensión a polígonos no estrellados Un caso especial: la fórmula de Pick Ejemplo: deducción del área de un círculo

Posición relativa entre un punto y un polígono

Utilidad de disponer de un sistema de coordenadas Polígono P1 8 P2 5 P3 6 P4 4 P5 3 P6 P7 P8 2 Punto A 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

El problema de la posición relativa Polígono P1 8 P2 5 P3 6 P4 4 P5 3 P6 P7 P8 2 Punto A Dado el polígono P, definido por el conjunto de sus vértices, especificados en el orden que resulta de recorrer el contorno en el sentido contrario al de las agujas del reloj: {P1, P2, …, P8} queremos saber si un punto A es interior o exterior al polígono P.

1ª Solución: recorriendo el perímetro Si la 1ª distancia es mayor que la 2ª distancia el punto es exterior, en caso contrario el punto es interior.

2ª Solución: lanzando un rayo Si el punto es exterior, al lanzar el rayo caben dos posibilidades: El rayo no corta al polígono. El rayo corta al polígono un nº par de veces (sale del polígono tantas veces como entra). Si el punto es interior, al lanzar el rayo, este cortará al polígono un nº impar de veces (empieza dentro del polígono y acaba fuera de él). Conclusión: Si el rayo corta al polígono un número impar de veces el punto es interior, en caso contrario el punto es exterior.

3ª Solución: mirando alrededor P3 P2 P3 P2 P1 P4 P4 P1 P5 P5 Si el punto es interior, al recorrer los vértices con la visual, damos una vuelta completa, es decir, 360º. Si el punto es exterior la suma acumulada de los ángulos supone andar y desandar un mismo recorrido, es decir, 0º.

3ª Solución aplicada al ejemplo El punto: El polígono: Cálculo del primer ángulo (desde P1 hasta P2) Realizamos el mismo cálculo para los 8 ángulos: Sumando los 8 ángulos obtenemos un ángulo total acumulado de 360º. Conclusión: el punto A es interior al polígono P. Disponemos de un método analítico (sin necesidad de ver la representación gráfica) para determinar la posición relativa de un punto A en relación a un polígono P.

Aproximación estocástica al área de un polígono Construimos un cuadrado que contiene al polígono, con lo que el área del cuadrado, S, es una cota superior del área del polígono, S(P). Si colocamos un punto al azar dentro del cuadrado, la probabilidad de que dicho punto sea interior al polígono es: Si disparamos una gran cantidad de puntos al azar sobre el cuadrado, digamos N, y n es el número de dichos puntos que caen dentro del polígono, podemos aproximar S(P) mediante:

Aproximación estocástica al área de un polígono Para el ejemplo anterior del polígono con 8 vértices, lanzamos 20.000 puntos al azar sobre un cuadrado de área 100 que contiene al polígono. De los 20.000 puntos, 5.687 puntos son interiores al polígono, es decir, el 28,435% de los puntos. Estimamos el área del polígono como el 28,435% del área del cuadrado. Área estimada: S(P)  28,44 u2

Polígono estrellado Un polígono es estrellado si contiene al menos un punto tal que los segmentos que lo unen con todos los vértices del polígono son interiores. Polígono estrellado: Polígono no estrellado: P5 P3 P4 T4 T5 T3 Para calcular el área de un polígono estrellado de n vértices hay que sumar el área de n triángulos. T1, T2, …, Tn T2 P6 A P2 T1 T6 T7 P1 P7

Área del polígono estrellado Operando convenientemente obtenemos: !!! No depende de A !!!

Q y R con menos de n vértices Área de un polígono no estrellado Hipótesis de inducción: supongamos que para todo polígono de n o menos vértices la fórmula anterior es válida. Polígono P con n + 1 vértices Q y R con menos de n vértices Q R Operando convenientemente se comprueba que la suma de las áreas resulta: ¡¡ La misma expresión que habíamos obtenido para polígonos estrellados !!

Área de un polígono no estrellado Recapitulando Hemos probado que, si la fórmula es válida para los polígonos con n o menos vértices, también lo es para los polígonos con n + 1 vértices. Como todo polígono de 3 ó 4 vértices es estrellado, la fórmula es válida para los polígonos de 3 ó 4 vértices. Entonces la fórmula es válida para todo polígono de 5 vértices, sea o no estrellado. Del mismo modo, la fórmula es válida para todo polígono de 6 vértices, sea o no estrellado. ··· Hemos probado, por inducción, que la fórmula es válida para todos los polígonos simples, sean o no estrellados. c.q.d.

Uso práctico de la fórmula Al igual que en el caso de los triángulos, la fórmula encontrada: Puede expresarse en forma mnemotécnica de la siguiente manera: De manera que para calcular S(P) se suman los productos obtenidos mediante diagonales recorridas en el sentido  y se restan los productos obtenidos mediante diagonales en el sentido  , dividiendo el resultado por 2.

Ejemplo 1 2 3 4 5 6 7 8 0 + 40 + 24 + 32 + 9 + 0 + 0 + 16 = 121 40 24 32 9 16 40 30 64 12 32 40 + 30 + 64 + 12 + 32 + 0 + 0 + 0 = 178 1 2 3 4 5 6 7 8 Si recordamos que la aproximación estocástica era: S(P)  28,44 u2. El error relativo es del 0,21%.

Un caso especial: la Fórmula de Pick I: nº puntos interiores I = 23 B: nº puntos en perímetro B = 13

Área de un círculo de radio r Consideramos la familia de los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, …) inscritos en un círculo de radio r. n = 8 n = 10 n = 9 n = 7 n = 3 n = 6 n = 4 n = 5 Se observa que, cuanto máyor es el número de lados, más se parece el polígono regular a la circunferencia, siendo la aproximación perfecta en el límite (cuando el número de lados del polígono tiende a infinito)

Área de un círculo de radio r Sea Pn el polígono regular de n lados inscrito en un círculo de radio r. Podemos dividir Pn en n triángulos, centrados en el origen, formando un ángulo central de 2/n radianes:

Universidad Católica de Valencia Lección Inaugural: Curso 2009-2010 San Vicente Mártir Lección Inaugural: Curso 2009-2010 Cálculo del área de un polígono simple. Una demostración personal. Muchas Gracias Francisco Javier Arteaga Moreno Francisco Javier Arteaga Moreno

Algunos ejemplos de la geometría elemental Rectángulo de lados a y b (0, b) (a, b) (0, 0) (a, 0) Triángulo de base b y altura h (x, h) (0, 0) (b, 0)