RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

POSICIÓN RELATIVA DE PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10.5 * 2º BCT POSICIÓN RELATIVA DE PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Intersección planos y rectas INTERSECCIÓN DE PLANO CON RECTAS Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano π≡ 4x – 2y + 6z = 12 con los ejes de coordenadas. Puntos de intersección con los ejes: Con OX: A: 4x = 12  x = 3  A(3 , 0 , 0) Con OY: B: – 2y = 12  y = – 6  B(0 ,– 6 , 0) Con OZ: C: 6z = 12  z = 2  C(0, 0, 2) Vectores directores de ABC: AB = (0 – 3 ,– 6 – 0 , 0 – 0) = (–3 ,–6 , 0) AC = (0 – 3 , 0 – 0 , 2 – 0) = (–3 , 0 , 2) Área i j k Área = (1/2).|ABxAC| = –3 –6 0 = –3 0 2 = (1/2). |– 12i+6j-18k| = 0.5·√((-12)2 +62+(-18)2 ) = = 0.5·√(144+36+324) = 0.5·√504= 5·√5 u2 C π B A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

VECTOR NORMAL A UN PLANO Un vector normal a un plano es aquel que es perpendicular a dicho plano. Para que sea perpendicular a un plano debe serlo a los dos vectores directores del plano, a u y a v. Sabemos que el producto vectorial de vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos. Por lo tanto el vector normal a un plano será el producto vectorial de los vectores directores del plano. N = uxv i j k N = ux uy uz vx vy vz N = = (uy.vz – uz.vy)i + (uz.vx – ux.vz)j + (ux.vy – uy.vx)k N v u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. POSICIONES RELATIVAS POSICIONES DE DOS PLANOS. Sabemos por geometría elemental, que las posiciones que pueden adoptar dos planos en el espacio son:  Planos secantes. Tienen en común los puntos de una recta.  Planos paralelos. No tienen ningún punto en común.  Planos coincidentes. Tienen todos sus puntos en común. Si dos planos son coincidentes o paralelos, sus vectores normales serán iguales o proporcionales: N = k. N’ Si dos planos son secantes, los vectores normales serán linealmente independientes: N <> k.N’ Si dos planos son perpendiculares, los vectores normales también lo son, y por tanto su producto escalar será nulo. N’ v’ N u’ v u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Observaciones PLANOS PARALELOS O COINCIDENTES Sea los planos π = (A, u, v) y π’ = (B, u’, v’) Si se cumple que N = k.N’ los planos pueden ser paralelos o coincidentes. Si el punto A cumple con el plano π’ , entonces son coincidentes. (O el punto B cumple con el plano π). RECTA INTERSECCIÓN DE PLANOS Si dos planos, π y π’ , son secantes determinan una recta intersección, r. El vector director, d, de la recta r que determinan es perpendicular a los vectores normales N y N’ de los planos. El vector director de r podrá calcularse como el producto vectorial de los vectores N y N’. d = NxN’ N’ v’ N u’ v u r @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. POSICIONES RELATIVAS Cuando los planos π y π' vienen dados por su ecuación vectorial o sus ecuaciones paramétricas π(A, u, v), π'(B, u’, v’) su estudio puede realizarse tomando los vectores normales: N=u x v ; N’=u’ x v’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PLANOS SECANTES PLANOS SECANTES Consideremos los planos π y π' dados por sus ecuaciones generales: πAx+By+Cz+D=0, π'A'x+B'y+C'z+D'=0 Estudiar su posición equivale discutir el sistema formado por sus ecuaciones. Para ello consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . Si Rang A = Rang AM = 2  Sistema Compatible e Indeterminado. Las infinitas soluciones dependen de un parámetro. Los dos planos se cortan en una recta r. Es decir, los dos planos son SECANTES. Ejemplo Sean los planos π3x – y + 2z – 1 = 0, π'x + y – 5z + 4 = 0 Hallar la recta intersección si son planos secantes. 3 –1 2 3 –1 2 1 (A) = 1 1 –5 (AM) = 1 1 –5 –4  Rango (A) = Rango (AM) = 2 Los planos son secantes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Recta intersección de planos Consideremos los planos π y π' dados por sus ecuaciones generales: πAx+By+Cz+D=0, π'A'x+B'y+C'z+D'=0 El sistema formado por los dos planos secantes se dice que son las ecuaciones implícitas de la recta que determinan. Tenemos así una nueva forma de expresar una recta como intersección de dos planos secantes. El vector director de la recta en que se cortan es: d =(A, B, C)x(A’, B’, C’). Se pueden obtener puntos de la recta r dando a x, y o z un valor cualquiera y resolviendo el sistema resultante para hallar las otras dos. Conocidos un punto y el vector director de la recta, se puede escribir su ecuación en forma paramétrica o continua. … Ejemplo Sean los planos π3x – y + 2z – 1 = 0, π'x + y – 5z + 4 = 0 i j k d = 3 –1 2 = 5 i + 2j + 3k + k – 2i + 15j = 3i + 17j + 4 k 1 1 –5 Para z = 0  3x – y = 1 , x + y = – 4  4.x = – 3  x = –3/4  y = –13/4 La recta intersección pasa por P(-3/4 , -13/4, 0) y su vector director es d(3,17,4). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PLANOS PARALELOS PLANOS PARALELOS Consideremos los planos π y π' dados por sus ecuaciones generales: πAx+By+Cz+D=0, π'A'x+B'y+C'z+D'=0 Consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . Si Rang A <> Rang AM  Sistema Incompatible. Los dos planos no tienen ningún punto en común. Es decir, los dos planos son PARALELOS Y DISTINTOS. Ejemplo Sean los planos πx + y - 5z = - 4 , π' - 3x - 3y + 15z = 1 Estudiar si son planos secantes o paralelos. -3 –3 15 -3 –3 15 1 (A) = 1 1 –5 (AM) = 1 1 –5 –4  Rg(A)=1, Rg(AM) = 2 Los planos son paralelos, no coincidentes, pues D<>D’  1 <> – 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PLANOS COINCIDENTES PLANOS COINCIDENTES Consideremos los planos π y π' dados por sus ecuaciones generales: πAx+By+Cz+D=0, π'A'x+B'y+C'z+D'=0 Consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . Si Rang A = Rang AM = 1  Sistema Compatible e Indeterminado. Las infinitas soluciones dependen de dos parámetros. Las dos ecuaciones son linealmente dependientes y tienen las mismas soluciones. Los dos planos tienen todos sus puntos en común. Es decir, los dos planos son COINCIDENTES. Ejemplo Estudia la posición relativa de los planos: πx + y - 5z = - 4, π' - 3x - 3y + 15z = 12. -3 –3 15 -3 –3 15 12 (A) = 1 1 –5 (AM) = 1 1 –5 –4  Rg(A) = Rg(AM) = 1 Los planos son coincidentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.