Unidad 3 Capítulo VI Caída de cuerpos

U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (con fricción) El movimiento rectilíneo de cuerpos rígidos es descrito por la segunda ley de Newton expresada en forma escalar como F = ma = mv’ = mx’’. En donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m su masa, a su aceleración, v su velocidad y x su posición. Un cuerpo que cae en la atmósfera sufre el efecto de dos fuerzas (actuando en forma opuesta), que son gravedad o peso del cuerpo y resistencia del aire, que es función de la velocidad. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es la diferencia entre ambas. Para velocidades bajas, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad con que se mueve el cuerpo.

En estos casos, la segunda ley de Newton puede enunciarse en la forma: U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (con fricción) En estos casos, la segunda ley de Newton puede enunciarse en la forma: x m v donde k es una constante que se estima en forma experimental y g es la aceleración de la gravedad, 9.8 m/s2 a nivel del mar, que se considera constante para alturas pequeñas respecto al radio de la tierra.

El modelo de este fenómeno es entonces: U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (con fricción) Ejemplo: Considere un cuerpo de masa m que se deja caer desde el reposo en t = 0. El cuerpo cae bajo por efecto de la gravedad y el aire ofrece una resistencia proporcional a la velocidad. Obtenga las expresiones apropiadas para la velocidad y la posición del cuerpo en función del tiempo t. Solución: Sea x la distancia vertical, su dirección se define positiva hacia abajo (origen: posición inicial del cuerpo). El modelo de este fenómeno es entonces: solución general:

Observe que cuando t  , v  mg/k = constante. U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (con fricción) solución particular: Observe que cuando t  , v  mg/k = constante. La distancia que cae el cuerpo se obtiene de la definición de velocidad v = dx/dt y la condición x(0) = 0. Integrando: Así:

Esta fuerza equivale al peso del fluido desplazado por la esfera. U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (en un medio denso) Una variante del fenómeno de caída con fricción consiste en el descenso de un cuerpo en un medio cuya densidad es un factor adicional a considerar, por ejemplo, líquidos. b = wfd En estos casos, además del peso y la fricción viscosa, existe otra fuerza que se opone al movimiento: la fuerza de flotación. w = mg f = kv Esta fuerza equivale al peso del fluido desplazado por la esfera.

U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (en un medio denso) Ejemplo: Una esfera de masa 100 k se sumerge en agua y desciende, desde el reposo, por efecto de la gravedad. Si la fuerza de flotación es 0.025 veces el peso del objeto y la resistencia es proporcional a su velocidad (k = 10 Ns/m), determine la ecuación de movimiento del objeto y estime el tiempo necesario para que la velocidad sea de 70 m/s. Solución: El modelo de este fenómeno es análogo al del problema anterior, excepto porque incluye a la flotación como una fuerza adicional que se opone al movimiento.

Su solución general es: U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (en un medio denso) Como la fuerza de flotación es 0.025 veces el peso del objeto, el modelo se puede reescribir en la forma: Su solución general es: Como el objeto parte del reposo, se establece la siguiente condición inicial: cuando t = 0, v = 0, entonces

U-3. Cap. VI. Caída de cuerpos (en un medio denso) con lo que, la ecuación que representa el movimiento del objeto es la solución particular del modelo planteado: El tiempo t requerido para que v (t) = 70 m/s se obtiene de la expresión anterior y resulta: