CAMPO GRAVITATORIO Física 2º Bachillerato

LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL UNIVERSO Y EL MODELO ARISTOTÉLICO  La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en términos matemáticos Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.C.  El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno, origen de los números  A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas  El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta  Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año respectivamente  El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo  El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números)  Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que llamaron Antitierra

EL MODELO DE ARISTÓTELES  El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas  La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra  Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia  Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos  El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas

Paralaje anual de las estrellas fijas EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO  Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad Paralaje anual de las estrellas fijas Estrella lejana Sol Tierra  ’  Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron: - La falta de cálculos y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas - Si la Tierra no fuese el centro del universo, a lo largo de su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este fenómeno se denomina paralaje de las estrellas fijas  Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y prediciendo eclipses de Sol y de Luna

 Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una única esfera hueca  El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente Tierra  Ptolomeo introdujo la excentricidad de las trayectorias, es decir, un desplazamiento del centro de la órbita (Ex) respecto al centro de la Tierra Luna t  La velocidad angular de las trayectorias debía se constante respecto de un punto fuera del centro de la trayectoria, punto que denominó ecuante (Ec) Ec Ex  Estos ajustes explican las diferencias de brillo y tamaño que se observan en el Sol y la Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo largo de su trayectoria

 Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste  Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos rotaciones  El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra  La órbita alrededor de la Tierra se denomina eclíptica y la del planeta epiciclo  Un modelo sencillo de epiciclos no daba respuesta a las caprichosas órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos

COPÉRNICO.  Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol I H G C D F E B A  Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos

Galileo nació en Pisa en 1564  Galileo consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano Galileo nació en Pisa en 1564  Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa  En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo  En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo  Un año después fue procesado por la Inquisición

LAS LEYES DE KEPLER.  Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico Sol Foco  Perihelio  Afelio  Eje menor  Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas b Eje mayor  Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario  La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio a  La posición más cercana, es el perihelio Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos

siendo dA/dt la velocidad areolar  Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita 1 de enero Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales 30 de enero 30 de julio 1 de julio Sol A  El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman. Para un triángulo: Como en el sistema solo actuan fuerzas centrales, entonces y por tanto . A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es: siendo dA/dt la velocidad areolar

 Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas  Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe  Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los planetas  Como el sistema solar es un sistema de fuerzas centrales,  = 0, por tanto se conserva el momento angular = cte  La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas  La conservación del módulo justifica la ley de las áreas

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO  Un campo de fuerzas es central cuando, en cualquier punto de él, la fuerza ejercida sobre un cuerpo está en la misma recta que une el cuerpo con el origen del campo y su valor solo depende de la distancia entre ambos: m’  La fuerza es de la forma:  Si el campo es gravitatorio:  Si el campo es central, los vectores y tienen la misma dirección y su momento de fuerzas es nulo:  m La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido

 Si el vector se conserva en dirección, sentido y módulo  Por conservar la dirección: El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano  Por conservar el sentido Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas  Por conservar el módulo: Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial S S t m 2 L r D = x ® Sol Tierra Como , la velocidad areolar también 2º LEY DE KEPLER

NEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL  La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro  Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton: m h R r La fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les separa  A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como: - Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación - El origen de las mareas - Las trayectorias de los planetas - La variación de la gravedad con la altura - El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

 H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton  En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta (1)  Despejando v resulta: Que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M (2)  Como v es aproximadamente constante:  Igualando (1) y (2):  Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites  Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler  Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así  Velocidad angular del planeta:  Sol Tierra  Su aceleración centrípeta: a = 2 R R  Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3):  La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Ley de la gravitación universal  Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM  La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia

EL CAMPO GRAVITATORIO  La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas: x y z m m’  Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas  La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’  La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa situada en dicho punto cuyo módulo es: y se expresa en N/kg o también m/s2 en el S.I.  La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es:

 Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h P A h  El módulo del campo gravitatorio creado es: r = RT+h RT  En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:  La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será:

Características de las líneas de campo  Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo  En el campo gravitatorio, las líneas de campo como es un campo atractivo se dirigen hacia las fuentes del campo m M Características de las líneas de campo  Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas de campo se trata de un campo más intenso  Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto  El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

Principio de superposición  La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y sumando los resultados parciales m1 m2 m3 P siendo  También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza

CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS  Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas  m A B  Por cada desplazamiento que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo:  Para desplazamientos infinitesimales:  El camino total desde un punto A a otro B es la suma de todos los  Si en cada se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los realizados en cada intervalo infinitesimal: Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido

 En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final  A B C1 C2  Si el campo de fuerzas es conservativo,  Si se invierte el segundo camino, Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo

EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO  Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m  Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos radiales m A B   El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento  El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B m’  Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea  Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula  Para el campo de fuerzas gravitatorio:

ENERGÍA POTENCIAL  Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial  Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo  Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo  Conocido el valor de la fuerza:  Considerando incrementos diferenciales:  Integrando:  Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial

 Para calcular su valor, basta con resolver: EP r  El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:  La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0  La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es: Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferencia entre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellos En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí sale la expresión Ep=m.g.h

POTENCIAL GRAVITATORIO Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable frente a ella: No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior. POTENCIAL GRAVITATORIO  Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo  Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:

 La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es: Ep r RT  Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial  Para un punto P situado a una altura h de la superficie:  En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será: Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo  Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta: U0 = - g0 R = - 6,2 . 107 J/kg

Forma de las trayectorias  Dado que dentro de de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva Sol  Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola  Si es la mitad de la Ep CIRCUNFERENCIA  Si es mayor que la anterior pero menor que cero ELIPSE  Si ET = 0  Ec = Ep PARÁBOLA  Si ET > 0  Ec > Ep HIPÉRBOLA

SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA DE SATELIZACIÓN Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita Cálculo de las energías cinética y potencial Cálculo de la energía total del satélite en órbita Cálculo de la energía de satelización por el Principio de conservación de la energía E0 = Ef  Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f 

Velocidad de lanzamiento de un satélite  A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es: Velocidad de escape de un satélite  Para que el satélite escape de la atracción terrestre, supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y la energía de escape será:  La velocidad de escape será: 