DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Tema 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

PARÁMETROS BIDIMENSIONALES Tema 12.3 * 1º BCS Tema 12.4 * 1º BCS Tema 12.5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Parámetros En una distribución bidimensional existen los siguientes parámetros a calcular, siendo n el número de observaciones o pares de valores (x,y). MEDIA MARGINAL de xi: Es la media respecto de xi. x = ∑ xi / n MEDIA MARGINAL de yi: Es la media respecto de yi. y = ∑ yi / n Al punto (x, y) se le llama centro de gravedad de la distribución. DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de xi: sx = √ [ ( ∑ xi 2 / n ) – x 2 ] DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de yi: sy = √ [ ( ∑ yi 2 / n ) – y 2 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I COVARIANZA Es un parámetro estadístico conjunto. Es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Presenta dos maneras diferentes para su cálculo. ∑ (xi – x).(yi – y) ∑ xi.yi Vxy = ----------------------- = ------------- – x.y xy n n Del valor y el signo que presente se pueden deducir ciertas características: Si la covarianza es mayor que cero, la correlación es directa. Si la covarianza es menor que cero, la correlación es inversa Si la covarianza es nula, igual a cero, no existe correlación. Si el valor de la covarianza es grande, la correlación puede ser fuerte. Si el valor de la covarianza es pequeño, la correlación puede ser débil. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Producto de desviaciones típicas de xi e yi sx . sy Variación de r COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL Si la nube de puntos se condensa en torno a una recta existe una correlación lineal entre las variables. El coeficiente de correlación lineal es el parámetro utilizado para medir la relación lineal entre las dos variables. Covarianza Vxy r = ---------------------------------------------------------------- = ------------- Producto de desviaciones típicas de xi e yi sx . sy Variación de r r = 0 0<r<0,2 0,2<r<0,4 0,4<r<0,7 0,7<r<0,9 0,9<r<1 r = 1 Nula Muy débil Débil Moderada Fuerte Muy fuerte Dependencia funcional Dependencia aleatoria directa (r > 0) Dependencia aleatoria inversa (r < 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1: TABULACIÓN xi yi xi2 yi2 xi.yi 1 1,5 2 2,25 4 3 9 6 2,5 6,25 7,5 16 12 36 24 4,5 5 20,25 25 22,5 81 54 7 8 49 64 56 33,5 43 147,75 249 190 xi=Horas de estudio semanal de una asignatura. yi=Calificaciones en los exámenes correspondientes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 33,5 /10 = 3,35 y = 43 / 10 = 4,3 Varianzas Vx = 147,75 / 10 – 3,352 = 3,55 ; Vy = 249 / 10 – 4,32 = 6,61 D. Típicas sx = 1,88 sy = 2,57 Covarianza Vxy = (190 / 10) – 3,35.4,3 = 4,595 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = 4,595 / 1,88*2,57 = 0,951 Determinación r2=0,90 El 90 % de los resultados se debe a las horas de estudio. El resto a otras causas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2: TABULACIÓN xi yi xi – x yi – y (xi-x).(yi-y) xi2 yi2 xi.yi 1 7 - 1,5 2 -3 49 6 -1,5 36 - 0,5 -0,5 4 12 3 0,5 9 18 5 25 15 -1 16 -2 1,5 20 40 - 9 58 216 91 xi=Precio de un producto (en €). yi=Miles de unidades vendidas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias x = 20 / 8 = 2,5 y = 40 / 8 = 5 Varianzas Vx = 58 / 8 – 2,52 = = 7,25 – 6,25 = 1 Vy = 216 / 8 – 52 = = 27 – 25 = 2 D. Típicas sx = √1 = 1 sy = √2 = 1,41 Covarianza Vxy = (91 / 8) – 2,5.5 = 11,375 – 12,5 = – 1,125 También: Vxy = Σ(xi-x).(yi-y) / n = – 9 / 8 = – 1,125 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = – 1,125 / 1.1,41 = – 0,7979 La correlación es inversa y fuerte. Determinación r2=0,6366 El 63,67% de las ventas se deben al precio @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 3: TABULACIÓN xi yi xi2 yi2 xi.yi 15 37 225 1379 555 41 1681 615 16 39 256 1521 624 43 1849 688 17 289 629 18 324 702 774 115 279 1899 11179 4587 xi=Edad de un joven (años). yi=Nº de calzado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 115 / 7 = 16,43 y = 279 / 7 = 39,857 Varianzas Vx = 1899 / 7 – 16,432 = = 271,28 – 269,94 = 1,24 Vy = 11179 / 7 – 39,8752 = = 1597 – 1590 = 7 D. Típicas sx = √1,24 = 1,1135 sy = √7 = 2,6457 Covarianza Vxy = (4587 / 7) – 16,43.39,857 = 655,2857 – 654,8505 = 0,43 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = 0,43 / 1,1135.2,6457 = 0,15 La correlación es directa y muy débil. Determinación r2=0,0225 El 2,25% del nº calzado se deben a la edad @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I