CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO Julio Martín Pérez Giorgio Remeri

ÌNDICE LEY DE GAUSS CÁLCULO DEL CAMPO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS INTRODUCCION CONCEPTO DE FLUJO ENUNCIADO CUANTITATICO DE LA LEY DE GAUSS CÁLCULO DEL CAMPO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS CAMPO CREADO POR UN PLANO INFINITO CAMPO CREADO POR UNA CORTEZACILÍNDRICA CARGA Y CAMPO EN LA SUPERFICIE DE CONDUCTORES PRIMERA EXPERIENCIA SEGUNDA EXPERIENCIA CÁLCULO EN UNA HOJA INFINITA CARGADA CÁLCULO EN UN BLOQUE CONDUCTOR CÁLCULO PARA UN CONDUCTOR DE FORMA ARBITRARIA

LEY DE GAUSS INTRODUCCIÓN PARA CALCULAR EL CAMPO EN UN PUNTO DEL ESPACIO SE USA POR DEFINICIÓN LA SIGUIENTE EXPRESIÓN: PERO HAY CASOS QUE EL CAMPO SE PUEDE CALCULAR MEDIANTE LA LEY DE GAUSS; QUE PERMITE HACERLO FÁCILMENTE PARA DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS DE CARGA TALES COMO CORTEZAS ESFÉRICAS E HILOS INFINITOS.

DE LAS CARGAS POSITIVAS Y ENTRAN EN LAS CARGAS NEGATIVAS. EL CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS ESTA RELACIONADO CON LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO. ESTAS SALEN DE LAS CARGAS POSITIVAS Y ENTRAN EN LAS CARGAS NEGATIVAS. En la imagen al lado tenemos representado un dipolo eléctrico encerrado por una superficie. como podemos ver el numero de líneas que abandonan la superficie es igual al numero de líneas que entran. En la imagen al lado tenemos representado una superficie que incluye a las cargas “2q y – q” . El número de lineas de campo que terminan en – q; o bien salen de la superficie y vuelven a entrar o no pasan a través de la superficie.

PODEMOS POR LO TANTO DEFINIR UN ENUNCIADO CUALITATIVO DE LA LEY DE GAUSS: “el numero neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie.”

CONCEPTO DE FLUJO ELÉCTRICO EL FLUJO ELÉCTRICO SE DEFINE COMO EL NÚMERO DE LÍNEAS DE CAMPO QUE ATRAVIESAN UNA SUPERFICIE. LA EXPRESIÓN MATEMÁTICA QUE LO DEFINE ES LA SIGUIENTE: DONDE “E” ES EL MÓDULO DEL CAMPO Y “S” ES EL VECTOR SUPERFICIE QUE TIENE COMO MÓDULO EL ÁREA DEL OBJETO EN CONSIDERACIÓN. LAS UNIDADES DEL FLUJO SON “N m2/C”. En la imagen al lado, vemos que las líneas de campo son perpendiculares a la superficie y la expresión del flujo es la siguiente:

En esta figura podemos ver que las líneas de campo forman un Angulo con el vector superficie por lo tanto la expresión del flujo es la siguiente: s1 s2 PODEMOS CONSIDERAR QUE LAS LÍNEAS DE CAMPO QUE ATRAVISAN LA SUPERFICIE 1 ES EL MISMO QUE ATRAVIESAN LA SUPERFICE 2; Y SE CUMPLE LA SIGUIENTE RELACIÓN:

ENUNCIADO CUANTITATIVO DE LA LEY DE GAUSS SI CONSIDERAMOS UNA SUPERFICIE ESFERICA DE RARIO R Y CENTRO EN LA CARGA +q EL CAMPO EN UN PTO. CUALQUIERA ES: E=K Q/ R2. DE CONSECUENCIA EL FLUJO A TRAVÉS DE ESTA SUPERFICIE ESFÉRICA ES: SI LA SUPERFICIE ES IGUAL A ;SE OBTIENE QUE PODEMOS ENUNCIAR QUE :” EL FLUJO NETO A TRAVÉS DE CUALQUIER SUPERFICIE ES IGUAL A VECES LA CARGA NETA ENCERRADA POR LA SUPERFICIE Y ES INDEPENDIENTE DEL RADIO.”

CON ESTA NOTACIÓN LA LEY DE GAUSS QUEDA: ES COSTUMBRE ESCRIBIR LA Cte. DE COULOMB EN FUNCION DE LA Cte. DE PERMITIVIDAD DEL VACIO: CON ESTA NOTACIÓN LA LEY DE GAUSS QUEDA: SIMPLIFICANDO: PODEMOS POR LO TANTO IGUALAR LAS EXPRESIONES Y NOS QUEDA LA EXPRESION DE LA LEY DE GAUSS:

CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS PARA CALCULAR EL CAMPO MEDIANTE ESTA LEY, EN PRIMER LUGAR TENEMOS QUE DETERMINAR UNA SUPERFICIE GAUSSIANA QUE ES IMAGINARIA Y CERRADA, DE MANERA QUE EL CAMPO SEA CONSTANTE Y QUE SEA PARALELO O PERPENDICULAR AL VECTOR SUPERFICIE. HAY QUE CONSIDERAR QUE SI EL CAMPO ES PERPENDICULAR AL VECTOR SUPERFICE, ES PRODUCTO ESCALAR SERÁ CERO Y SI ES PARALELO, EL PRODUCTO ESCALAR SERÁ IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MÓDULOS YA QUE EL COSENO DE 90º ES IGUAL A CERO.

CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UN PLANO INFINITO CARGADO La figura muestra un plano in finito de carga con densidad superficial uniforme( ). Por simetría el campo eléctrico es perpendicular al plano y teniendo el mismo módulo pero sentido opuesto. Como superficie gaussiana se escoge un cilindro en cada parte se han dibujado los vectores del campo (E) y de superficie (S). El flujo en la parte curvada es cero a causa de que los vectores son perpendiculares; mientras que en las superficies laterales del plano el flujo es:

AHORA SI APLICAMOS LA LEY DE GAUSS CONSIDERANDO LO SIGUIENTE; El valor del flujo si tomamos en consideración un elemento infinitesimal de superficie dS según la definición es: AHORA SI APLICAMOS LA LEY DE GAUSS CONSIDERANDO LO SIGUIENTE; Y LUEGO IGUALAMOS LAS 2 EXPRESIONES Y SIMPLIFICAMOS QUEDA:

CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA CORTEZACILÍNDRICA La figura muestra un cilindro de longitud L cargado con densidad superficial uniforme . Como se trata de un cilindro el campo eléctrico E tiene direccion radial. La superficie gaussiana que se escoge es otro cilindro más grande y en cada parte se han dibujado los vectores del campo (E) y de superficie (S). El flujo es nulo en las superficies laterales del cilindro a causa de que el vectror superficie y el campo son perpendiculares.

SIENDO LA SUPERFICIE DEL CILINDRO. Si consideramos un elemento infinitesimal de superficie el flujo sería igual a: SIENDO LA SUPERFICIE DEL CILINDRO. AHORA SI APLICAMOS LA LEY DE GAUSS CONSIDERANDO LO SIGUIENTE; SIENDO SI SUSTITUIMOS, IGUALAMOS Y LUEGO SIMPLIFICAMOS QUEDA LA EXPRESIÓN DEL CAMPO:

A partir de la ley de Gauss podemos demostrar que en el equilibrio electroestático: Cualquier carga eléctrica neta sobre un conductor reside en la superficie del mismo. El campo eléctrico en el exterior y junto a la superficie de un conductor es perpendicular a la misma y tiene por valor: σ es la densidad de carga superficial local en dicho punto del conductor. o vectorialmente hablando: (Teorema de Coulomb). “n” es el vector unitario en la dirección de la normal al conductor en el punto considerado.

Primera experiencia: Consideremos primeramente una superficie gaussiana que esté justo en el interior de la superficie real de un conductor en equilibro electroestático. El campo eléctrico es igual a cero en todos los puntos dentro del conductor, por tanto, será también cero en todos los puntos de la superficie gaussiana que hemos seleccionado como ejemplo.

Primera experiencia: Puesto que en todos los puntos de la superficie gaussiana, el flujo neto integral a través de la superficie debe ser nulo. Según la ley de Gauss este flujo es igual a veces la carga neta en el interior de la superficie. Debido a ello no puede existir ninguna carga neta dentro de ninguna superficie que esté completamente en el interior del conductor, solamente, si existiera, solo sería posible en la superficie del mismo.

Segunda experiencia: Ahora calcularemos el campo eléctrico justo en la parte exterior de la superficie de un conductor, considerando una porción de superficie del mismo, tan pequeña que se pueda considerar plana. De la misma manera llamaremos a su densidad σ, con una variación despreciable en la parte seleccionada. La forma que le daremos será la de cilindro con una cara situada justamente en el exterior, paralela a su superficie, y la otra justo en el interior del conductor.

Segunda experiencia: En la superficie del conductor en equilibrio, el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie: si existiese una componente tangencial de E, la carga libre sobre el conductor debe moverse hasta que la componente se considere nula. En la superficie del conductor en equilibrio, el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie: si existiese una componente tangencial de E, la carga libre sobre el conductor debe moverse hasta que la componente se considere nula. Dado que una de las caras de la caja esta justamente en el exterior del conductor, podemos tomar E de modo que sea perpendicular a dicha cara. La otra cara de la caja está en el interior del conductor en donde E = 0.

Segunda experiencia: A través de la superficie cilíndrica de la caja no existe ningún flujo dado que E es tangente a esta superficie. Debido a lo anterior obtenemos que el flujo que sale de la caja es: es el campo justo en el exterior del conductor. A es el área de la cara de la caja. La carga neta en el interior de la superficie gaussiana es σA. La ley de Gauss nos da: o lo que es lo mismo:

Cálculo en una hoja infinita cargada: En este caso podemos ver que las líneas de flujo son perpendiculares a la hoja y su sentido es alejarse de ella por ambos lados. Creamos una superficie gaussiana en forma de caja con una cara situada a la derecha de la hoja y otra a la izquierda de la misma, el flujo neto a través de esta superficie es , Siendo A el área de cada cara. Haciendo que este flujo neto sea igual a veces la carga neta del interior de la caja σA, obtenemos la siguiente ecuación para el campo eléctrico en una hoja infinita:

Cálculo en un bloque conductor: La siguiente figura muestra una lámina o bloque conductor grande: Si situamos una carga neta sobre el conductor, esta se distribuirá por igual en ambas caras. Una lámina conductora es equivalente a dos hojas conductoras, o sea, el campo eléctrico debido a cada una de estas hojas es:

Cálculo en un bloque conductor: Entre las hojas el campo neto vale cero, puesto que los campos tienen sentidos opuestos y se contrarrestan. A cualquier lado de ambas hojas los dos campos se suman, dando un valor de para el campo eléctrico neto. Las líneas de flujo que salen del bloque conductor son el doble de densas que las correspondientes a una simple hoja cargada si las densidades de carga son iguales. * Nota: Para producir densidades de carga iguales en un bloque conductor grande y en una hoja plana grande, se necesita el doble de carga en el bloque.

Cálculo para un conductor de forma arbitraria: Consideremos el punto P justo en el exterior de la superficie de un conductor. Podemos considerar la carga situada en la superficie de un conductor como compuestas por dos partes, una seria la carga en la vecindad inmediata del punto P y la otra todo el resto de la carga. Puesto que el punto P está muy cercano a la superficie, la carga de la vecindad inmediata se asemeja a la de un plano infinito. Produce un campo de magnitud en P, y un campo de igual valor justo en el interior de la superficie conductora y señalando en el sentido que le aleja de la superficie. El resto de la carga sobre el conductor (o en los puntos donde se encuentre la carga) debe producir un campo dentro del conductor señalando hacia la superficie de modo que el campo neto en el interior del conductor sea cero.

Cálculo para un conductor de forma arbitraria: Mientras que el campo debido a esta segunda parte de la carga se equilibra con el campo en el interior del conductor, se suma al producido en el exterior del conductor por la carga vecina, dando lugar al siguiente campo neto en el exterior del conductor: *Nota: La parte de campo debida a las cargas lejanas tiene el mismo valor y dirección en los puntos que están muy juntos al interior o al exterior de la superficie.