MODELADO DE LA MAQUINA SINCRONA PARA ESTUDIOS DE ESTABILIDAD Parte 2 Aplicación al régimen estacionario balanceado Aplicación al régimen transitorio y subtransitorio balanceado Métodos fasoriales y circuitos equivalentes Parámetros operacionales

Ecuaciones de Park vd =-Ld did /dt +Lafd .difd /dt +Lakd .dikd /dt –rs .id +w.Lq .iq -w.Lakq .ikq vq =-Lq diq /dt +Lakq .dikq /dt –rs .iq -w.Ld .id + w.Lafd .ifd +w. Lakd .ikd v0 =-L0 .di0 /dt- rs .i0 vfd =-3/2.Lafd did /dt +Lfdfd .difd /dt +Lfdkd .dikd /dt +rfd .ifd 0 =-3/2.Lakd did /dt +Lfdkd .difd /dt +Lkdkd .dikd /dt +rkd .ikd 0 =-3/2.Lakq diq /dt +Lkqkq .dikq /dt +rkq .ikq

Régimen estacionario balanceado A)En vacío is = isp = [0] vfd = Vfd = constante Ecuaciones del rotor: Vfd = rfd .ifd ikd = ikq = 0 Ecuaciones del estator : vq = w.Lafd .ifd = w.Lafd .Vfd /rfd vd = v0 = 0 Aplicando transformada inversa de Park: vs = tp-1 .vsp  va = -sen.w.Lafd .Vfd /rfd vb = -sen(-120).w.Lafd .Vfd /rfd vc = -sen(+120).w.Lafd .Vfd /rfd

Respecto a una máquina común de referencia girando a velocidad nominal:  = w0.t+-90 = w.t+-90 ( w = w0 en régimen )

va = 2.EI .cos(w.t+) vb = 2.EI .cos(w.t+-120) vc = 2.EI .cos(w.t++120) (Terna de tensiones balanceadas de secuencia positiva) EI = 1/2.w.Lafd .ifd (Tensión proporcional a la corriente de campo)

B) En carga Si Φ es el ángulo de fase de la corriente respecto al eje “q”: ia = 2.I1.cos(wt++Φ) ib = 2.I1 .cos(wt+-120+Φ) ic = 2.I1 .cos(wt++120+Φ) I = I1 .exp( j (+Φ)) (fasor corriente eficaz de la fase “a”) Vfd = rfd .ifd ikd = ikq = 0 Aplicando transformada de Park: id = -2.I1 .sen Φ iq = 2.I1 .cos Φ i0 =0

Las ecuaciones de Park quedan: vd = -rs .id +xq .iq vq = -rs .iq –xd .id + w.Lafd .ifd =-rs .iq –xd .id +2.EI v0 = 0 xd = w.Ld (reactancia sincrónica de eje directo) xq = w.Lq (reactancia sincrónica de eje en cuadratura) Aplicando transformada inversa de Park, se verifica que las tensiones forman un sistema balanceado de secuencia positiva va = vd .cos  - vq .sen vb = vd .cos (-120) - vq .sen(-120) vc = vc .cos (+120) - vq .sen(+120) y, por lo tanto, pueden representarse en forma fasorial: V = V1 .exp( j (+)) (fasor voltaje eficaz de la fase “a”)

Métodos fasoriales  = wt+-90 Se definen los siguientes fasores adicionales: a) Proyecciones del fasor I sobre los ejes d y q: Id = id /2.exp( j (-90)) Iq = iq /2. exp( j ) Iq +Id = I b) Fem de la máquina: Fasor EI = EI .exp( j ) (“Voltaje proporcional a la corriente de campo”,fasor sobre el eje "q") Con estas definiciones resulta: EI = V + rs.I + j.xd .Id + j.xq .Iq

EI = V + rs .I + j.xd .Id + j.xq .Iq  EI = V + rs.I + j.xq .I + j.(xd –xq ).Id  EI - j.(xd –xq ).Id = V + rs .I + j.xq .I Se define: Eq = EI - j.(xd –xq ).Id (Tensión atrás de la reactancia transitoria de eje en cuadratura, fasor sobre el eje "q")  Eq = V + rs .I + j.xq .I

Máquina de rotor liso xd = xq  Modelo fasorial: V = EI - (rs + j.xd ).I

Régimen transitorio balanceado aproximado Hipótesis simplificatorias: -No se consideran los arrollamientos amortiguadores -A los efectos de cálculo de reactancias se considera w=constante Se asume dd /dt  0 dq /dt  0 Las ecuaciones de Park quedan: vd = -w.q –rs .id vq = w.d –rs .iq vfd = dfd /dt+rfd .ifd d = -Ld .id +Lafd .ifd q = -Lq .iq fd = -3/2.Lafd .id +Lfdfd .ifd Eliminando ifd entre la última y antepenúltima ecuación: d = -L‘d id + Lafd /Lfdfd .fd, con L‘d = Ld -3/2.Lafd2 /Lfdfd ("inductancia transitoria de eje directo")

Se definen: E‘q = w.Lafd /Lfdfd .fd /2 ("voltaje proporcional a los enlaces de flujo de campo") x‘d = w.L‘d ("reactancia transitoria de eje directo") Resulta: vd = -rs .id +xq .iq vq = 2.E‘q -x‘d .id –rs .iq (Formalmente similares a las de régimen,cambiando xd por x‘d y EI por E‘q) T‘d0 = Lfdfd /rfd ("Constante de tiempo transitoria de eje directo,a circuito abierto") Efd = (w.Lafd )/(rfd . 2). Vfd ("Voltaje proporcional al voltaje de campo") Resulta: dE‘q /dt = (Efd –EI )/T‘d0

Síntesis: vd = -rs .id +xq .iq vq = 2.E‘q -x‘d .id – rs .iq dE‘q /dt = (Efd-EI )/T‘d0 (Caso particular:en régimen Efd = EI ,y E‘q es constante) Comentario: La única ecuación diferencial que “sobrevive” permite: -establecer fácilmente condiciones de continuidad durante perturbaciones (continuidad de fd a través de E’ q) -introducir el efecto del regulador de tensión ( a través de Efd)

Métodos fasoriales Con un desarrollo análogo al de régimen: E‘q = V+rs .I + j.x‘d .Id +j.xq .Iq -Al igual que en el caso de régimen, el ángulo de fase de E‘q respecto al eje sincrónico de referencia es también el ángulo "" del eje "q" de la máquina respecto a ese eje -Los fasores van cambiando a lo largo del tiempo Para cálculos simplificados, en la literatura también aparece: E‘ = E‘q -j.(xq -x‘d ) Iq ("Voltaje atrás de la reactancia transitoria de eje directo")  E‘ = V+rs .I + j.x‘d .I -El ángulo de fase de E' respecto al eje de referencia es sólo aproximadamente ""

Régimen sub transitorio balanceado aproximado Hipótesis simplificatorias: -A los efectos de cálculo de reactancias se considera w=constante Se asume dd /dt0 dq /dt0 - Ahora sí se consideran los arrollamientos amortiguadores Se hace un desarrollo análogo al del régimen transitorio: a)Se manipulan las ecuaciones flujo-corriente de eje “d”, eliminando ifd , ikd , y obteniendo una expresión del tipo: d = -L‘’d id + K1.fd + K2.Kd b)Se manipulan las ecuaciones diferenciales del rotor de eje “d”, haciendo aparecer “fem” convenientes (proporcionales a fd y Kd ) y constantes de tiempo asociadas a los devanados del eje “d”. c)Se hacen desarrollos análogos en el eje “q”

Aparece así : -Un nuevo juego de reactancias de Park : reactancias subtransitorias x’’d y x’’q -Un nuevo juego de constantes de tiempo a circuito abierto, asociadas a la dinámica de los devanados amortiguadores: T’’d0 y T’’q0. Comentario: En las tablas de datos de los generadores síncronos se incluyen habitualmente también las constantes de tiempo en cortocircuito T’d , T’’d, T’’q , que verifican: L’d = Ld. T’d / T’d0 L’’d = Ld. T’d .T’’d / (T’d0 .T’’d0 ) L’’q = Lq . T’’q / T’’q0 (Ver detalles en los apuntes)

Máquina de rotor liso en régimen transitorio Si la máquina es de rotor liso, es habitual modelarla con dos devanados amortiguadores (reales o ficticios) en el eje en cuadratura, con constantes de tiempo bastante distintas entre sí. Aparece así : -un segundo juego de constantes de tiempo transitorias T’q , T’q0 - una inductancia transitoria L’q asociada al devanado amortiguador de constantes de tiempo más grandes.

Parámetros operacionales de la máquina síncrona Se pretende obtener una expresión general en el dominio de Laplace que “incluya” a todas las inductancias de la máquina definidas para los diversos regímenes estudiados. A)Parámetros operacionales de eje directo Las ecuaciones de eje directo del rotor en el dominio de Laplace (en forma incremental respecto a las condiciones de régimen en t=0) son: vfd (s)=s. fd (s) +rfd . ifd (s) 0= s. kd (s) +rkd . ikd (s) siendo: d (s)=-Ld . id (s)+Lafd . ifd (s)+Lakd . ikd (s) fd (s)=-3/2.Lafd . id (s)+Lfdfd . ifd (s)+Lfdkd . ikd (s) kd (s)=-3/2.Lakd . id (s)+Lfdkd . ifd (s)+Lkdkd . ikd (s) (en estas expresiones para cada variable “m” se define: m(t)=m(t)-m(0))

Manipulando las ecuaciones (Ver apuntes): d (s)=G(s) vfd (s ) - Ld (s). id (s) siendo Ld (s) la “inductancia operacional de eje directo” Realizando explícitamente las operaciones,se obtiene que Ld (s) es de la forma: Ld (s)=Ld .(1+s.T’d )/(1+s.T’d0 ).(1+s.T’’d )/(1+s.T’’d0 ) T’d0 ,T’’d0 :Constantes de tiempo de eje directo a circuito abierto (transitoria y subtransitoria) (T’d0 coincide con la ya definida anteriormente al estudiar el régimen transitorio balanceado) T’d ,T’’d :Constantes de tiempo de eje directo en cortocircuito (transitoria y subtransitoria)

Se puede verificar que: Ld (jw=0) =Ld Ld (jw=) =L’’d= Ld T’d.T’’d/(T’d0 .T’’d0) Ld (jw=) =L’d = LdT’d/T’d0 si la máquina no tuviese devanados amortiguadores. (L’d coincide con la ya definida anteriormente al estudiar el régimen transitorio balanceado)

B)Parámetros operacionales de eje en cuadratura Con un desarrollo análogo: q (s)=- Lq (s). iq (s),siendo Lq (s) la “inductancia operacional de eje en cuadratura”. Lq (s)=Lq .(1+s.T’’q )/(1+s.T’’q0 ) Se puede verificar que: Lq (jw=0) =Lq Lq (jw=) =L’’q Lq (jw=) =Lq si la máquina no tuviese devanados amortiguadores. Observación Si la máquina es de rotor liso,es habitual modelarla con 2 devanados amortiguadores (reales o ficticios) en el eje en cuadratura,con constantes de tiempo bastante distintas entre sí.En tal caso.la inductancia operacional de eje en cuadratura pasa a ser formalmente similar a la de eje directo : Aparece un segundo juego de constantes de tiempo T’q ,T’q0 y una inductancia transitoria L’q asociada al devanado amortiguador de constantes de tiempo más grandes.

Interpretación habitual de las reactancias de Park: Si se aplica un cortocircuito trifásico en bornes de una máquina síncrona, y se observa el andamiento de la corriente: -la componente subtransitoria se amortigua en 3 o 4 ciclos -la componente de continua decae en 8 a 10 ciclos -la componente transitoria se amortigua con constante de tiempo 1 a 3 seg -el valor de régimen se alcanza a los 8 a 10 seg.