DISEÑO DE EXPERIMENTOS Profesor: Ing. Joaquín García ESCUELA DE ESTUDIOS INDUSTRIALES Y EMPRESARIALES Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

La Estadística en la experimentación. INVESTIGACION CIENTIFICA: La estadística , y en particular el diseño de experimentos son consideradas como técnicas que deben incorporarse al desarrollo del proceso investigativo Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

La estadística y el método científico El metodo cientifico , es un proceso que da indicaciones para avanzar en la investigacion y suministra medios para evitar algunos errores . Bunge define ocho pasos en la aplicación del método científico ellos son: Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Pasos en la aplicación del método científico Enunciar preguntas bien formuladas Arbitrar conjeturas fundadas y contrastables con la experiencia para contestar a las preguntas contestadas Derivar consecuencias lógicas de las conjeturas Arbitrar técnicas para someter las conjeturas a contrastacion . Someter a, su vez ,a contrastacion esas técnicas para comprobar su relevancia . Llevar a cabo la contrastacion e interpretar los resultados Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Estimar la pretensión de verdad de las conjeturas y la fidelidad de las técnicas . Determinar los dominios en los cuales son validas las conjeturas y las técnicas , y formular problemas nuevos originados por la investigación. ´´ LA ESTADISTICA SIRVE DE PUNTUAL AL INVESTIGADOR EN EL DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS . BIEN APLICADA , CONDUCE A LA REALIZACION DE DISEÑOS MAS EFICIENTES CON EL CONSIGUIENTE AHORRO DE TIEMPO Y RECURSOS, A LA VEZ QUE SE GANA EN INFORMACION ´´ Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

QUE ES EL DISEÑO ESTADISTICO DE EXPERIMENTOS QUE ES UN EXPERIMENTO Un experimento ha sido definido , en el sentido mas general , como una ´´ determinada acción dirigida a contestar una o mas preguntas cuidadosamente formuladas QUE ES EL DISEÑO ESTADISTICO DE EXPERIMENTOS Es el proceso de planear , todos los pasos que deben darse , y el orden que debe seguirse , en la recolección y posterior análisis de la información requerida para estudiar un problema de investigación. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

CLASES DE EXPERIMENTOS CUAL ES EL PROPOSITO DEL DISEÑO EXPERIMENTAL Es la obtención del máximo de información con el mínimo costo y el máximo de eficiencia CLASES DE EXPERIMENTOS Absolutos Comparativos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EXPERIMENTOS ABSOLUTOS: Su objetivo es la determinación de propiedades absolutas de un conjunto de objetos. Por ejemplo: la determinación del numero de escarabajos en una región. EXPERIMENTOS COMPARATIVOS: Su objetivo es establecer comparaciones entre objetos que reciben tratamientos diferentes. Por ejemplo: la potencia de una droga puede establecerse comparándola con las de otras drogas , incluyendo controles. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Los estudios comparativos pueden ser: Experimentales: el investigador controla, es decir mantiene constante o varia deliberadamente , aquellos factores que parecen tener mayor influencia en los resultados del fenómeno en estudio. Observacionales: el investigador no tiene control sobre los factores que causan los cambios en los resultados , y debe limitarse a observar su forma de manifestarse para establecer relaciones entre factores y repuestas. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

VOCABULARIO DEL DISEÑO EXPERIMENTAL Variables dependientes e Independientes: El concepto de independencia en experimentación, viene de la idea matemática de relación funcional , donde el cambio de los valores de una variable - dependiente – es el resultado directo de la manipulacion de los valores de otra u otras variables – independientes - . Por ejemplo: el peso de un individuo – variable dependiente – varia según su alimentacion , edad , sexo – variable independiente - . Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Factor : Un factor es una variable independiente que se evalúa en la investigación e influye en la respuesta del experimento . Un factor puede ser cuantitativo , por ejemplo , temperatura en grados, tiempo en segundos ¨, cualitativo , por ejemplo diferentes maquinas , diferentes operarios , conectado o desconectado. Niveles de los factores: Los niveles son los valores de un factor que se están examinando en el experimento. Para factores cuantitativos , cada valor elegido es un nivel , por ejemplo: si el experimento se realiza a cuatro diferentes temperaturas, el factor temperatura tiene cuatro niveles . En el caso de valores cualitativos, conectados o desconectados son dos niveles del factor conexión. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Variable de Respuesta: Es la característica observada o medida en cada unidad experimental , también se llama variable dependiente. Tratamiento: Un tratamiento es un determinado nivel asignado a un determinado factor durante un experimento, por ejemplo temperatura a 800 grados. Una combinación de tratamientos es un conjunto de niveles para todos los factores en un experimento determinado. Por ejemplo, un experimento que utiliza una temperatura de 800 grados, el operario a , la maquina numero 3 y desconectada , constituiría una combinación de tratamientos. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Unidad experimental: Es la parte mas pequeña del material experimental a la que se le puede aplicar un tratamiento . Variable Exógena o Extrínseca: Se denominan así por su posible efecto sobre la variable dependiente Población: Desde el punto de vista del investigador , la población es el conjunto de todas las unidades experimentales que podrían recibir uno de los tratamientos. El objetivo de la investigación debe establecerse en términos de esta población. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Muestra: Una muestra es un subconjunto de la población que contiene información parcial sobre ella. Error experimental: Describe la variación entre las unidades experimentales tratadas de manera idéntica e independiente. También es definida como la porción de la variabilidad que no es explicable por factores conocidos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS La forma de medirlo es la varianza s2 del error por unidad experimental . Algunos de los distintos orígenes del error experimental son: la variación natural entre unidades experimentales La variabilidad en la medición de la respuesta La imposibilidad de reproducir las condiciones del tratamiento Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Potencia: Es una función que muestra la relación que existe entre la probabilidad de rechazar una hipótesis nula y los diferentes valores que puede asumir el parámetro dadas una hipótesis nula , una hipótesis alterna y un nivel de significancia determinado. Validez Externa: Es la capacidad de generalización que tienen los resultados de un experimento . La validez externa de los resultados depende del empleo de una aleatorización adecuada y de la repetición . Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Validez interna : Se dice que un experimento es valido internamente si arroja resultados que estén libres de sesgo. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ALGUNAS HERRAMIENTAS PARA UNA BUENA EXPERIMENTACION Aleatorización: Es la designación al azar de las unidades experimentales para los niveles de tratamiento. Esta forma de asignación incrementa las probabilidades que se compense el efecto de las variables no controladas (extrínsecas). También aumenta la validez de las estimaciones de la varianza de los errores experimentales y hace posible la aplicación de ensayos estadísticos de significancia y el establecimiento de intervalos de confianza. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Replicación : Es la repetición de una observación o medida , a fin de aumentar la precisión o para proporcionar los medios para medirla. La replicación proporciona la posibilidad de que los efectos de los factores incontrolados , o desconocidos para el investigador , se compensen y , de este modo , con la aleatorizacion , pueda actuar como herramienta para la reducción del sesgo. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Planificación por Bloques: Aparte de los factores seleccionados para un estudio , existen otras variables extrínsecas que afectan el resultado del experimento. Cuando el investigador es consciente de su existencia , se puede planificarlo de manera que : Los posibles efectos de las variables extrínsecas no afecten a la información obtenida sobre los factores de interés principal. Se pueda obtener cierta información sobre los efectos de las variables extrínsecas. La uniformidad dentro de los bloques se aprovecha para minimizar el efecto de las variables no deseadas y para acentuar el de los factores en estudio Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

PASOS IMPORTANTES EN LA ESCOGENCIA DEL DISEÑO Decidir si el diseño es unifactorial o multifactorial Reconocer si la agrupación de las observaciones tiene como finalidad una o mas causas de variación. Elegir , de acuerdo con el numero de tratamientos , un diseño de bloques completos o de bloques incompletos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

FASES DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS RECONOCIMIENTO Y FORMULACION DEL PROBLEMA El investigador debe responder breve y claramente preguntas como: Porque va ha efectuar la investigación Como la va ha llevar a cabo A que tipo de conclusiones espera llegar y que validez tendrían Lograra los propósitos establecidos con los recursos financieros , humanos y de tiempo disponibles. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS SELECCIÓN DE LOS FACTORES Y SUS NIVELES El investigador selecciona los factores o variables independientes Deberá especificar los factores cuantitativos y cualitativos , y escoger sus niveles de modo que puedan diferenciarse y combinarse. SELECCIÓN DE LAS VARIABLES DE RESPUESTA Se debe indicarse como se va a medirse esta variable y que precisión tendrán las mediciones. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS SELECCIÓN DEL DISEÑO EXPERIMENTAL Cual es el tamaño apropiado para la muestra Como asignar los tratamientos a estas unidades experimentales. REALIZACION DEL EXPERIMENTO Es el proceso de recolección de datos , incluye el control del plan trazado inicialmente y debe prestarse atención al mecanismo de aleatorización, al manejo de los instrumentos de medida , al reconocimiento de la unidades experimentales y fundamentalmente al mantenimiento en la forma mas uniforme posible de las condiciones ambientales del experimento. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS ANALISIS DE LOS DATOS: Se debe realizar siguiendo un proceso estadístico acorde al diseño utilizado. Técnicas estadísticas Computador (software) SPSS CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Después de analizar los datos se establecen las inferencias estadísticas Los hallazgos deben ir complementados con recomendaciones para estudios correspondientes Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EN CONCLUSION las primeras cuatros fases exigen un trabajo mental del experimentador y son fundamentales para el éxito del proyecto. La recolección de datos (fase cinco) no debe iniciarse antes de haber respondido satisfactoriamente las siguientes preguntas: Cual es el objetivo principal del proyecto de investigación Que tipo de datos van a obtenerse Que diferencias en los resultados promedios de los tratamientos se consideran importantes Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Que proceso de selección será usado en la escogencia de las unidades experimentales. Podrán recibir las unidades experimentales mas de un tratamiento Como se asignaran los tratamientos a las unidades experimentales Cuantas unidades experimentales serán necesarias en el proyecto Cual será la técnica estadística apropiada en el análisis de datos. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Capitulo 2 ANALISIS DE VARIANZA INTRODUCCION La inferencia estadística se utiliza para llegar a conclusiones en cuanto a las diferencias entre dos grupos basadas , ya sea en una variable cuantitativa o variable cualitativa. La técnica de análisis de varianza nos permite hacer inferencias simultaneas sobre parámetros de tres o mas poblaciones. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJERCICIO La fabrica National Computer Products (NCP) fabrica impresoras en las plantas de Atlanta , Dallas y Seattle, Estados unidos . Para evaluar los conocimientos de sus empleados acerca de la administración de calidad total se tomo una muestra aleatoria de seis empleados en cada planta y se les sometió a un examen de conciencia de la calidad. Las calificaciones de esos 18 empleados se presentan en la siguiente tabla: Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Desviación estándar de la muestra Observación Planta 1 Atlanta Planta 2 Dallas Planta 3 Seattle 1 85 71 59 2 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 6 67 Media de la muestra 79 66 Varianza de la muestra 34 20 32 Desviación estándar de la muestra 5.83 4.47 5.66 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Se desea probar la siguiente hipótesis: Ho: u1 = u2 = u3 Sean : u1: media de la calificación en el examen para la población empleados de la planta de Atlanta. u2: media de la calificación en el examen para la población empleados de la planta de Dallas. u3:media de la calificación en el examen para la población empleados de la planta de Seattle. Se desea probar la siguiente hipótesis: Ho: u1 = u2 = u3 H1: No todas las medias poblacionales son iguales Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

IDENTIFICACION DE CONCEPTOS Objetivo: determinar si la media de la calificación es igual para las tres plantas. Variable respuesta: calificación del examen Factor: Ubicación de la planta Niveles del factor o tratamientos: los tres tratamientos son Atlanta , Dallas y Seattle Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ASUNCIONES PARA EL ANALISIS DE VARIANZA PARA CADA POBLACION , LA VARIABLE DE RESPUESTA ESTA NORMALMENTE DISTRIBUIDA. LA VARIANZA DE LA VARIABLE DE RESPUESTA , REPRESENTADA POR s2 , ES LA MISMA PARA TODAS LAS POBLACIONES. LAS OBSERVACIONES DEBEN SER INDEPENDIENTES Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

PERSPECTIVA CONCEPTUAL x3 u x2 x1 Grafico 1 Si las medias de las tres poblaciones son iguales , cabe esperar que las tres medias de las muestras se aproximen entre si. Si es verdadera , la hipotesis nula , Ho: u1 = u2 = u3 , se puede utilizar la variabilidad entre las medias de la muestra para determinar un estimado de s2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Asumiendo que las tres medias (X1: 79 , X2: 74 y X3: 66) de las muestras son valores tomados al azar de la distribución muestral (Grafico 1), entonces la media y la varianza de los tres valores de x se pueden emplear para estimar la media y la varianza de la distribución muestral . En el caso de NCP el mejor estimado de la media de la distribución de x es el promedio de las tres medias de las muestras. Esto es: (79 + 74 + 66) / 3=73 Este estimado es llamado: media general de la muestra. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para estimar la varianza de la distribución de x se calcula la varianza de las tres medias de la muestra: ( 79 – 73)² + ( 74 – 73 )² + (66 – 73)² 86 Sx2 = ------------------------------------ = ---- 3 – 1 2 Como sx2 = s 2 / n, al despejar s 2 se obtiene: s 2 = n sx 2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Estimado de s 2 entre tratamientos Estimado de s 2 = n (Estimado de sx2 ) = n Sx2 = 6(43) = 258 Estimado de s 2 entre tratamientos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Suponiendo que Ho es falsa entonces todas las medias de la población son diferentes. X3 u3 u2 X2 X1 u1 Las medias de las muestras provienen de distintas distribuciones muestrales y no están tan cercanas entre si cuando Ho no es verdadera Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Cuando las medias de la población no son iguales , el estimado entre tratamientos agrandará , o sobrestimará, la varianza de población s 2 . Cuando se toma una muestra aleatoria simple de cada población , cada una de las varianzas de la muestra es un estimado insesgado de s 2 . Por consiguiente se puede combinar los estimados de s 2 en un estimado general , el cual se denomina estimado combinado dentro de tratamientos. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Cuando los tamaños de muestra son iguales , se puede obtener el estimado s 2 dentro de tratamientos calculando la media de las varianzas de las muestras individuales. Para el ejemplo de NCP obtenemos: Estimado de s 2 = 34 + 20 + 32 / 3 = 28.67 En el ejemplo de NCP , el estimado de s 2 entre tratamientos (258) es mucho mayor que aquel dentro de tratamientos de s 2 (28.67) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS La relación entre estos dos estimados es: 258 / 28.67 = 9.00 El método entre tratamientos suministra buen estimado de s 2 solo si la hipótesis nula es verdadera , si ésta es falsa el método entre tratamientos sobrestima s 2 . Si Ho es verdadera , los dos estimados tendrán magnitud semejante y su relación se aproximara a 1. Si Ho es falsa el estimado entre tratamientos será mayor que el de dentro de tratamientos , y su relación será grande. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS En resumen, la racionalidad del análisis de varianza se basa en el calculo de dos estimados independientes de la varianza poblacional s 2 común. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS ANALYSIS OF VARIANCE … .1 .2 .3 .k Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Modelo para una ANOVA de una via Yij = m + tj + eij j = 1,2, ..., k; i = 1,2, ..., r tj = m.j - m Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Modelo de efectos fijos  j ij Yij Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Modelo de efectos aleatorios ij 2 j  j ij Yij Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Modelo efectos fijos Ho: tj = 0 para todo j Sj nj tj = 0 (asumido) Modelo efectos aleatorios Ho: st2 = 0 tj distribuidos como N(0,st2) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Sj Si(yij -y..)2=SjSi rj (y.j -y..)2 + Sj Si (yij -y.j)2 EQUACION FUNDAMENTAL Sj Si(yij -y..)2=SjSi rj (y.j -y..)2 + Sj Si (yij -y.j)2 SStotal = SStratamientos + SSerror CUADRADO MEDIO MStratamientos = SStratamientos / (k-1) MSerror = SSerror/(n - k) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

FORMULAS PARA SUMA DE CUADRADOS SStratamient = Sj T.j2/rj - T..2 / n SStotal= Sj Si Yij2 - T..2 / n SSerror = SStotal - SStratamient Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS SS* = SjSiYij2 FC = T..2 / n (factor correcion ) SStotal = SS* - FC SSerror = SStotal - SStratamient Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStreatment = = Sj Si rj (y.j – ỹ.. )2 = 516 CUADRADO MEDIO DEBIDO A TRATAMIENTOS SStreatment = = Sj Si rj (y.j – ỹ.. )2 = 516 MStratamient = SStratamient/(k-1) = 516 / 2 = 258 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

CUADRADO MEDIO DEBIDO AL ERROR SSerror = Sj Si (yij -ỹ.j)2 = 430 MSerror = SSerror/(n-k) = 430 / 18 – 3 = 28.67 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

COMPARACION DE LOS ESTIMADOS DE LA VARIANZA: LA PRUEBA F Estadístico de prueba: F= MSTR/MSE Regla de rechazo al nivel de significancia : Rechazar Ho si F > Fc En donde el valor de F se basa en una distribución Fc con K- 1 grados de libertad en el numerador y n- K grados de libertad en el denominador Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

La regla de rechazo para el ejemplo es: Para el ejemplo de NCP Trabajando con un nivel de significancia de 0.05 Se obtiene el valor de Fo.o5 = 3.68 La regla de rechazo para el ejemplo es: Rechazar Ho si MSTR/ MSE > 3.68 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Como MSTR/ MSE= 9.00 es mayor que el valor critico 3,68 SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA QUE LAS MEDIAS DE LAS TRES POBLACIONES SON IGUALES. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA Fuente de variacion Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado Promedio F Tratamientos 516 2 258.00 9.00 Error 430 15 28.67 Total 946 17 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

DISENO UNIFACTORIAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADO CAPITULO 3 DISENO UNIFACTORIAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADO Yij = m + tj + eij j = 1,2, ..., k; i = 1,2, ..., r tj = m.j - m Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ANALISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS Y.j= Sj yij y.j= y.j / n j=1, 2, …..K yj.= Representa el total de las observaciones bajo el tratamiento j-ésimo. y..= Sj Si yij y..= y.. / n Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS El interés se encuentra en probar la igualdad de las K medias de los tratamientos . Las hipótesis apropiadas son: Ho : μ1= μ2=.... μK H1: μi ≠ μj para al menos un par ( i, j ) μ : se considera como una media global Sμj -------- = μ K Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Esta definición implica que: S tj = 0 Las hipótesis en términos de los efectos de los tratamientos son iguales a: Ho : t1= t2=.... tK H1: tj ≠ 0 para al menos una j Por lo tanto, se habla de probar la igualdad de las medias de los tratamientos o de probar que los efectos de los tratamientos son cero Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

rj Ecuación fundamental SStotal = SStratamient + SSerror Sj Si(yij -y..)2 = *SjSi rj (y.j -y..)2 + Sj Si (yij -y.j) SStotal = SStratamient + SSerror rj Cuadrado medio debido a tratamientos MStratamient = SStratamient/(k-1) Cuadrado medio debido al error MSerror = SSerror/(n-k) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Entre los Tratamientos Error (Dentro de los tratamientos) Tabla de análisis de varianza para el modelo con un solo factor y efectos fijos Fuente de variacion Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado Promedio F Entre los Tratamientos SjSi rj (y.j -y..)2 K-1 MStreatm MStr /MSE Error (Dentro de los tratamientos) SSe = SSt - SStreatment n - k MSerror Total Sj Si(yij -y..)2 n -1 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStratamient = 1/r Sj y.j 2 – y.. 2 / n Es posible obtener formulas para calcular las sumas anteriores simplificando las definiciones de SStotal y SStratamient de modo que : SStotal = SjSi yij 2 – y.. 2 / n SStratamient = 1/r Sj y.j 2 – y.. 2 / n Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ASUNCIONES PARA EL ANALISIS DE VARIANZA Cada conjunto observado de nj medidas es una muestra aleatoria simple independiente tomada de una población de medidas y cada población se identifica de acuerdo con la designación del tratamiento. Cada población de medidas (esto es , las yij correspondientes a cada j ) está normalmente distribuida con media μ Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

PRUEBA DE NORMALIDAD DE D´AGOSTINO Es aplicable a muestras de tamaño moderado o grande Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS Cada la población de medidas tiene la misma varianza. PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS PRUEBA DE COCHRAN Proporciona un procedimiento de cálculos más simples, pero que se restringe a situaciones en las cuales los tamaños muestrales son iguales. El estadístico que se utiliza está dado por: El mayor Sj2 G = ------------------ Sj2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS La hipótesis de igualdad de varianzas se rechaza si G > Ga , donde el valor de Ga se obtiene de tablas Ejemplo: Un ingeniero está interesado en cómo varía la absorción media de humedad en el concreto entre cinco diferentes mezclas de concreto. las mezclas varían en el porcentaje en peso de un cierto ingrediente importante. Se decide probar 6 para cada mezcla , lo que requiere la prueba de un total de 30 muestras que se muestran en la siguiente tabla. Probar por medio de la prueba de COCHRAN la igualdad de varianzas Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

TABLA DE DATOS DE ABSORCION DE HUMEDAD EN MEZCLAS 1 2 3 4 5 551 595 639 417 563 457 580 615 449 631 450 508 511 517 522 731 583 573 438 613 499 633 648 415 656 632 677 555 679 Total 3320 3416 3663 2791 3664 16.854 Media 553.33 569.33 610.50 465.17 610.67 561.80 varianza 12.134 2303 3594 3319 3455 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

El cual no excede el valor en tablas G0,05: 0,5065 S12 :12134 S22 :2303 S32 :3594 S42 :3319 S52 :3455 Por lo tanto: G= 12134/ 24805 = 0,4892 El cual no excede el valor en tablas G0,05: 0,5065 De aquí se concluye que la suposición de varianzas iguales es razonable Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJERCICIO Un ingeniero de desarrollo de productos le interesa determinar si el peso porcentual de algodón en una fibra sintética afecta la resistencia a la tensión , y ha llevado acabo un experimento completamente aleatorizado con cinco niveles del peso porcentual de algodón y cinco replicas. A continuación se presenta la tabla de datos. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Peso porcentual del algodón Resistencia a la tensión observada (lb./pulg.²) Totales Yj Promedios Y.j 1 2 3 4 5 15 7 11 9 49 9,8 20 12 17 18 77 15,4 25 14 19 88 17,6 30 22 23 108 21,6 35 10 54 10,8 y..=376 y..=15.04 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStotal = SiSj yij 2 – y.. 2 / n = (7)² + (7)² + (15)² +…. + (15)² + Hipótesis a probar: Ho: μ1= μ2= μ3= μ4= μ5 H1: Algunas medias son diferentes Las sumas de cuadrados requeridas se calculan así: SStotal = SiSj yij 2 – y.. 2 / n = (7)² + (7)² + (15)² +…. + (15)² + (11)² - (376)²/25 = 636.96 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS SStreatment = 1/n Sj y.j 2 – y.. 2 / n = 1/5 [ (49)² +…. + (54)² ] – (376)²/25 = 475.76 SSE = SSTotal – SStreatment = 636.96 – 475.76 = 161.20 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

COMPARACION DE LOS ESTIMADOS DE LA VARIANZA: LA PRUEBA F Estadístico de prueba: F= MSTR/MSE Regla de rechazo al nivel de significancia : Rechazar Ho si F> Fc En donde el valor de F se basa en una distribución Fc con K- 1 grados de libertad en el numerador y n- K grados de libertad en el denominador Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Rechazar Ho si MSTR/ MSE > 2.87 Para el ejemplo se trabaja con un nivel de significancia de 0.05 Se obtiene el valor de Fo.o5 , 4 , 20 = 2.87 La regla de rechazo es: Rechazar Ho si MSTR/ MSE > 2.87 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza de los datos de la resistencia a la tensión Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado Medio F Valor P Peso Porcentual del algodón 475.76 4 118.94 14.76 <0.01 Error 161.20 20 8.06 Total 636.96 24 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Como MSTR/ MSE= 14.76 es mayor que el valor critico 2.87 LAS MEDIAS DE LOS TRATAMIENTOS DIFIEREN, ES DECIR , EL PESO PORCENTUAL DEL ALGODÓN EN LA FIBRA AFECTA DE MANERA SIGNIFICATIVA LA RESISTENCIA A LA TENSION MEDIA Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS PRUEBAS SOBRE MEDIAS ANTES DE LA EXPERIMENTACION Método de los contrastes Ortogonales Se define un contraste como una combinación lineal de totales de los tratamientos así: donde: C = Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Dos contrastes con coeficientes (cj) y (dj) son ortogonales si: Para un diseño no balanceado si: El método de contrastes ortogonales es útil para lo que se llama comparaciones preplaneadas. Es decir , los contrastes se especifican antes de llevar acabo el experimento y de examinar los datos. La razón de esto es que , si las comparaciones se seleccionan después de examinar datos, la mayoría de los experimentadores construirían pruebas que corresponderían con las diferencias grandes observadas en las medias Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJEMPLO Consideremos el ejemplo del ingeniero de desarrollo de productos desarrollado en la unidad anterior donde hay cinco medias de los tratamientos y cuatro grados de libertad entre estos tratamientos. Suponga que antes de correr el experimento se especificó la siguiente serie de comparaciones entre las medias de los tratamientos ( y sus contrastes asociados). Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS HIPOTESIS Ho: μ4= μ5 Ho: μ1+μ3= μ4+ μ5 Ho: μ1= μ3 Ho: 4μ2= μ1 + μ3 + μ4 + μ5 CONTRASTES C1= - y4. + y5. C2= y1. + y3. - y4. - y5. C3= y1. - y3. C4= -y1. + 4y2. - y3. - y4. - y5. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS C = Sj (cj * yj.) SSC = C2 /Sj (cj2 * nj) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Peso porcentual del algodón Resistencia a la tensión observada (lb./pulg.²) Totales Yj Promedios Y.j 1 2 3 4 5 15 7 11 9 49 9,8 20 12 17 18 77 15,4 25 14 19 88 17,6 30 22 23 108 21,6 35 10 54 10,8 y..=376 y..=15.04 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Utilizando los datos de la tabla anterior , se encuentra que los valores numéricos de los contrastes y de las sumas de cuadrados son los siguientes: C1= -1(108)+1(54)= -54 SSC1= -(54)²/5(2)=291.60 C2= +1(49) +1(88) -1(108)-1(54)= -25 SSC2= (-25)²/5(4) = 31.25 C3= +1(49) -1(88) = -39 SSc3 =(-39)²/5(2) =152.10 C4= -1(49) +4(77) -1(88) -1(108)-1(54) = 9 SSc4 =(9)²/ 5(20) = 0.81 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ANALISIS DE VARIANZA DE LOS DATOS DE LA RESISTENCIA A LA TENSION Fuente de Variacion Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor P Peso porcentual del algodon 475.76 4 118.94 14.76 <0.001 Contrastes ortogonales C1: μ4= μ5 (291.60) 1 291.60 36.18 C2: μ1+μ3= μ4+ μ5 (31.25) 31.25 3.88 0.06 C3: μ1= μ3 (152.10) 152.10 18.87 C4: 4μ2= μ1 + μ3 + μ4 + μ5 (0.81) 0.81 0.10 0.76 ERROR 161.20 20 8.06 TOTAL 636.96 24 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Estas sumas de cuadrados de los contrastes hacen la partición completa de la suma de cuadrados de los tratamientos .las pruebas de estos contrastes ortogonales se incorporan por lo general en el análisis de varianza , como se nuestra en la anterior tabla. Por los valores P se concluye que hay diferencias significativas entre los niveles 4 y5 y 1 y 3 del peso porcentual del algodón , pero que el promedio de los niveles 1y3 no difiere del promedio de los niveles 4 y 5 con el nivel a = 0.05 , y que el nivel 2 no difiere del promedio de los otros cuatro niveles. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

PRUEBAS DESPUES DE LA EXPERIMENTACION Test de Duncan Se usa para detectar diferencias entre los pares de medias El procedimiento se resume en los siguientes pasos: Ordenar de mayor a menor las a medias de los k tratamientos De la tabla de ANOVA obtener el MSerror con sus grados de libertad. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Calcular el error estándar de cada media. (1) Esta ecuación supone que el experimento es balanceado Para tamaños de muestra desiguales , se sustituye n en la ecuación (1) con la media armónica nh del { nj }, donde k nh = -------------------- Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS De la tabla de Duncan de los rangos significativos se obtienen los valores ra( p,f ) para p = 2,3…..k donde a es el nivel de significacion y f es el numero de grados de libertad del error Convertir estos rangos estandarizados en un conjunto de (k-1) rangos mínimos de significación (por ejemplo Rp) para p = 2,3…k calculando: Rp = ra( p,f ) Sy.j para p=2,3......,k Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Comparar los rangos observados entre las medias comenzando con la media mayor contra la media menor ,la cual se compara con el rango mínimo de significación Rk . Después se calcula la diferencia de la mayor y la segunda menor y se compara con el rango mínimo de significación Rk-1. Estas comparaciones se continúan hasta que todas las medias se hayan comparado con la media mayor. Por ultimo, se calcula la diferencia entre la segunda media mayor y la menor y se compara con el rango mínimo de significación Rk-1. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Este proceso se continua hasta que se hayan considerado las diferencias entre todos los k(k-1)/2 pares de medias posibles. SI UNA DIFERENCIA OBSERVADA ES MAYOR QUE EL RANGO DE SIGNIFICACION MINIMA CORRESPONDIENTE , SE CONCLUYE QUE EL PAR DE MEDIAS EN CUESTION ES SIGNIFICATIVAMENTE DIFERENTE Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJEMPLO La prueba del rango multiple de Duncan puede aplicarse a los datos del ejemplo del ingeniero de desarrollo visto en las unidades anteriores. Los datos que se tienen son los siguientes: MSerror= 8.06 , N: 25 , n:5 y hay 20 grados de libertad del error. Siguiendo los enumerados se tiene: y1.= 9.8 y5.= 10.8 y2.= 15.4 y3.= 17.6 y4.= 21.6 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS El SSerror = 8.06 con 20 grados de libertad El error estándar de la media esta dado por: De la tabla de Duncan para 20 grados de libertad , a = 0.05 y p=2,3,4,5 se obtiene los siguientes valores: r0.05(2,20)= 2.95 r0.05(3,20)= 3.10 r0.05(4,20)= 3.18 r0.05(5,20)= 3.25 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Los rangos menos significantes son: R2 = r0.05(2,20)Sy.j = (2.95)(1.27)= 3.75 R3 = r0.05(3,20)Sy.j = (3.10)(1.27)= 3.94 R4 = r0.05(4,20)Sy.j = (3.18)(1.27)= 4.04 R5 = r0.05(5,20)Sy.j = (3.25)(1.27)= 4.13 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Los resultados de las comparaciones serían: 4 vs 1: 21.6 – 9.8 =11.8 > 4.13 (R5) 4 vs 5: 21.6 – 10.8 =10.8 > 4.04(R4) 4 vs 2: 21.6 – 15.4 =6.2 > 3.94 (R3) 4 vs 3: 21.6 – 17.6=4.0 > 3.75 (R2) 3 vs 1: 17.6 – 9.8 =7.8 > 4.04 (R4) 3 vs 5: 17.6 – 10.8 =6.8 > 3.95 (R3) 3 vs 2: 17.6 – 15.4 =2.2 < 3.75 (R2) 2 vs 1: 15.4 – 9.8 =5.6 > 3.94 (R3) 2 vs 5: 15.4 – 10.8 =4.6 > 3.75 (R2) 5 vs 1: 10.8 – 9.8 =1.0 < 3.75 (R2) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Por el análisis se observa que hay diferencias significativas entre todos los pares de medias con excepción de la 3 y la 2 y la 5 y la 1. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Prueba de Tukey Es utilizada para probar todas las comparaciones de las medias por pares cuando después de haberse la ANOVA se deduce que la hipótesis nula de la igualdad de medias es rechazada. El interés se encuentra en probar todos los pares de medias de los tratamientos y las hipótesis nulas que quieren probarse son: Ho : μj = μi H1 : μj ≠ μi El método de Tukey utiliza la distribución del rango studentizado para fijar el valor critico con el cual se comparan las diferencias entre las medias. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS El procedimiento de Tukey hace uso de la distribución del estadístico del rango studentizado: La tabla de puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado contiene los valores de Qa (p,f ) los puntos porcentuales a superiores de Q , donde f es el numero de grados de libertad asociados con MSe. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para tamaños de las muestras iguales , la prueba de Tukey declara que dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede: Ta = Q ( k,f ) (1) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJEMPLO La prueba de tukey puede aplicarse a los datos del ejemplo del ingeniero de desarrollo sobre el peso porcentual del algodón visto en las unidades anteriores. Con a = 0.05 y f =20 grados de libertad para el error. En la tabla de puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado se obtiene Q0.05(5,20) =4.2 Por lo tanto , por la ecuación (1) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Los cinco promedios de los tratamientos son: y1.= 9.8 y2.= 15.4 y3.= 17.6 y4.= 21.6 y5.= 10.8 Las diferencias en los promedios son: y1.- y2.= 9.8 - 15.4 = -5.6 y1.- y3.= 9.8 – 17.6 = -7.8 y1.- y4.= 9.8 – 21.6 = -11.8 y1.- y5.= 9.8 – 10.8 = -1.0 y2.- y3.= 15.4 – 17.6 = -2.2 y2.- y4.= 15.4 – 21.6 = -6.2 y2.- y5.= 15.4 – 10.8 = 4.6 y3.- y4.= 17.6 – 21.6 = -4.0 y3.- y5.= 17.6 – 10.8 = 6.8 y4.- y5.= 21.6 – 10.8 = 10.8 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Dado que cualquier par de promedios de los tratamientos que difiera en valor absoluto por más de 5.37 implica que el par correspondiente de medias son significativamente diferentes , se deduce que los pares de medias y1.- y2. , y1.- y3. , y1.- y4. , y2.- y4. , y3.- y5. y y4.- y5. son significativamente diferentes. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

MODELOS DE EFECTOS ALEATORIOS El modelo lineal estadistico es : Yij = m + tj + eij j = 1,2, ..., k; i = 1,2, ..., n tj = m.j - m VAR(Yij) = st2 + s2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStotal = SStreatment + SSerror Para probar la hipótesis en este modelo se requiere que : {eij} sean N(0, s2) y que los tj se distribuyan N(0, st2 ) y que sean estadisticamente independientes. La suma de cuadrados para el modelo es: Las hipótesis sobre homogeneidad de tratamientos son: Ho : st2 = 0 H1: st2 > 0 SStotal = SStreatment + SSerror Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Estadístico de prueba: F= MSTR/MSE (1) En donde el valor de F se basa en una distribución Fa con K- 1 grados de libertad en el numerador y n- K grados de libertad en el denominador La relación (1) es el estadístico apropiado para verificar la hipótesis Ho : st2 = 0 , puesto que las esperanzas del cuadrado son: E[MStrat]= s 2 + n st2 E[MSerror]= s 2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Regla de rechazo al nivel de significancia : Rechazar Ho si F> F a Si la hipótesis se rechaza , entonces se puede estar interesado en estimar los componentes de la varianza s 2y st2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS BLOQUES La forma tradicional de controlar la variación local en un área experimental es BLOQUEANDO el área, de tal forma que las parcelas dentro de un bloque varían menos que las que se encuentran en bloques diferentes. Hecho esto se comparan los tratamientos que se encuentran en las unidades experimentales dentro de los bloques. De esta manera se eliminan del error experimental las diferencias entre bloques , aumentando la precisión del experimento. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS En este diseño los tratamientos se distribuyen aleatoriamente en las unidades experimentales dentro de cada bloque , con una aleatorización diferente en cada uno de ellos . Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Estructura del diseño de bloques Treatments 1 2 3 k 1 2 3 n Blocks Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS m = efecto común mi. = media de bloque i m.j = media de tratamiento j bi = efecto de bloque i tj = efecto de tratamiento j eij = error Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Yij = m + tj + eij (one-way) bi +eij (two-way) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS MODELO ESTADISTICO Yij = m + bi + tj + eij bi = mi. - m tj = m.j - m eij = Yij - mi. - m.j + m i = 1,2,...,b; j = 1, 2,...,k Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS hipótesis a probar : Ho: t1 = t2 =. . . = tj = 0 H1: tj ≠ 0 para al menos un k Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ANOVA PARA EL DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ASUNCIONES Independencia Normalidad Igualdad de varianzas No interacción entre bloques y tratamientos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ecuación fundamental de la ANOVA i j (Yij - ..)2 = i j ( i. - ..)2 + i j ( .j - ..)2 + i j (Yij - i. - .j + .. )2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS SStotal = SSblock + SStreatment + SSerror MSblock = SSblock/(b-1) MStreatment = SStreatment/(k-1) MSerror = SSerror/[(b-1)(k-1)] Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStreatment = 1/b Sj y.j 2 – y.. 2 / n SStotal = SiSj yij 2 – y.. 2 / n SStreatment = 1/b Sj y.j 2 – y.. 2 / n SSblock = 1/k Sj y.j 2 – y.. 2 / n Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Si los tratamientos y los bloques son fijos , se puede demostrar que: E[MSblock] = s2 + k i bi2/(b-1) E[MStreatment] = s2 + b j tj2/(k-1) E[MSerror] = s2 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para probar la igualdad de las medias de los tratamientos se usa el estadístico de prueba Fo Fo= MSTR/MSE Que se distribuye como Fk-1,(k-1)(b-1) si Ho es verdadera Si Fo > Fa,(k-1),(k-1)(b-1), se rechaza Ho:tj = 0 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Si Fo > Fa,(b-1),(k-1)(b-1), se rechaza Ho: bi = 0 También existe interés en comparar las medias de los bloques , en caso que la diferencia entre estas medias no sea considerable , quizás no sea necesaria la formación de bloques en experimentos futuros Para probar la igualdad de las medias de los bloques se usa el estadístico de prueba Fo Fo= MSbloques/MSE Si Fo > Fa,(b-1),(k-1)(b-1), se rechaza Ho: bi = 0 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza de un diseño de bloques completos aleatorizados Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Tratamientos SSTRA K-1 SStrat / k-1 MSTra/Mse Bloques SSBloques B-1 SSbloq / b-1 Error SSe (k-1)(b-1) SSe / (k-1)(b-1) Total SSt n-1 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Ejemplo Quiere determinarse si cuatro puntas diferentes producen o no lecturas diferentes en una maquina para probar la dureza. Hay cuatro puntas y cuatro ejemplares de prueba de metal. Cada punta se prueba una vez en cada ejemplar , resultando un diseño de bloques completos aleatorizados .Recuerde que el orden en que se probaron las puntas en un ejemplar particular se determino al azar . Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Datos del experimento de la prueba de la dureza Tipo de punta Ejemplar de prueba (bloque) Y.j 1 2 3 4 -2 -1 5 -3 7 15 Yi. -4 9 18 20= y.. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Las sumas de cuadrados se obtienen de la siguiente manera: SStotal = SiSj yij 2 – y.. 2 / n = 154.00- (20)²/16 = 129.00 SStreatment = 1/b Sj y.j 2 – y.. 2 / n = 1/4[(3)²+(4)² +(-2)² +(15)²]-(20)²/16 = 38.50 SSblock = 1/k Sj y.j 2 – y.. 2 / n = 1/4[(- 4)²+(- 3)² +(9)² +(18)²]-(20)²/16 = 82.50 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza del experimento de la prueba de la dureza Fuente de variacion Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor p Tratamientos (tipo de punta) 38.50 3 12.83 14.44 0.0009 Bloques (ejemplares) 82.50 27.50 Error 8.00 9 0.89 Total 129.00 15 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS UTILIZANDO a =0.05 , EL VALOR CRITICO DE F ES F0.05,3,9 = 3.86 . PUESTO SE CONCLUYE QUE EL TIPO DE PUNTA AFECTA LA LECTURA DE LA DUREZA DE LA MEDIA. ADEMAS , AL PARECER LOS EJEMPLARES (BLOQUES) DIFIEREN DE MANERA SIGNIFICATIVA , YA QUE EL CUADRADO MEDIO DE LOS BLOQUES ES GRANDE EN RELACION CON EL ERROR. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS (BIB) El diseño de bloques incompletos se usa para disminuir la varianza del error experimental y proporcionar comparaciones mas precisas entre tratamientos de lo que es posible con el diseño de bloques completos. EL BIB es un arreglo tal que todos los tratamientos tienen igual numero de replicas y cada par de tratamientos se presenta en el mismo bloque un numero igual de veces en algún lugar del diseño . Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Si k = b , se dice que el diseño es SIMETRICO El diseño de bloque incompleto tiene r replicas de k tratamientos en b bloques de t unidades experimentales con t < k y el numero total de unidades experimentales en N= kr = bt El numero de veces que cada par de tratamientos aparece en el mismo bloque es: λ = r( t -1 ) / ( k -1 ) Si k = b , se dice que el diseño es SIMETRICO Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

MODELO ESTADISTICO DEL BIB Yij = m + bi + tj + eij la variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados totales corregida: SStotal = SiSj yij 2 – y.. 2 / N SStotal = SSblock + SStreat (ajustada) + SSerror Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStreat (corregida) = t Sj Qj² / k La suma de cuadrados de los tratamientos esta ajustada para separar los efectos de los tratamientos y de los bloques. La suma de cuadrados de los bloques es: SSblock = 1/t Si y.i 2 – y.. 2 / N La suma de cuadrados de los tratamientos ajustada es: SStreat (corregida) = t Sj Qj² / k Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Fo= MSTR(corregida)/MSE La cantidad Qj² es un total de tratamiento que se calcula como: Qj² = yj. – 1/t Si nij y.i j = 1,2,….,k (3) Con nij = 1 si el tratamiento j aparece en el bloque i y nij = 0 en caso contrario. El estadistico apropiado para probar la igualdad de los efectos de los tratamientos es: Fo= MSTR(corregida)/MSE Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza de un diseño de bloques incompletos balanceados Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Tratamientos SSTrat(corregida) K-1 SStrat(corregida) / k-1 MSTra(corregida)/ Mse Bloques SSBloques b-1 SSbloq / b-1 Error SSe(por sustracción) N-k-b+1 SSe / n-k-b+1 Total SSt N -1 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJEMPLO Suponga que un ingeniero químico piensa que el tiempo de reacción de un proceso químico es un función del tipo de catalizador utilizado. Se están investigando cuatro catalizadores . El procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima , cargar la planta piloto , aplicar cada catalizador en una corrida separada de la planta piloto y observar el tiempo de reacción. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Datos del experimento del catalizador (Tratamiento) Lote de materia prima (bloque) Y.j 1 2 3 4 73 74 - 71 218 75 67 72 214 68 216 222 Yi. 221 224 207 870= y.. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Datos del experimento: k=4 r= 3 b=4 N=12 t=3 = 2 Análisis de Datos: SStotal = SiSj yij 2 – y.. 2 / 12 = 63.156- (870)²/12 = 81.00 SSblock = 1/3 Si y.i 2 – y.. 2 / 12 = 1/3[(221)²+ (207)² + (224)² + (218)²]-(870)²/12 = 55.00 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para calcular la suma de cuadrados de los tratamientos ajustados para los bloques , primero se determina los totales de los tratamientos ajustados utilizando la ecuación (3) Q1=(218) – 1/3(221+224+218) =-9/3 Q2=(214) – 1/3(207+224+218) =-7/3 Q3=(216) – 1/3(221+207+224) =- 4/3 Q4=(222) – 1/3(221+207+218) =20/3 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS La suma de cuadrados de los tratamientos ajustados es igual a: SStreat (corregida) = t Sj Qj² / k =3[(-9/3)²+(-7/3)²+(-4/3)² + (20/3)²] / 2*4 = 22.75 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza del experimento del catalizador Fuente de variacion Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor p Tratamientos (ajustados para los bloques) 22.75 3 7.58 11.66 0.0107 Bloques (ejemplares) 55.00 - Error 3.25 5 0.65 Total 81.00 11 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS PUESTO QUE EL VALOR P ES PEQUEÑO , SECONCLUYE QUE EL CATALIZADOR EMPLEADO TIENE UN EFECTO SIGNIFICATIVO SOBRE EL TIEMPO DE REACCION. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

DISEÑO DE CUADRADO LATINO Se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad perturbadora; es decir permite hacer la formación de bloques sistemática en dos direcciones. Por lo tanto las filas y las columnas representan en realidad dos restricciones sobre la aleatorizacion Se llama cuadrado latino porque al representar los k tratamientos por letras latinas , éstas se distribuyen formando un cuadrado de k x k letras o de k² celdas, conocido como cuadrado latino de orden k Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para cuatro tratamientos A, B ,C, y D, el siguiente arreglo es un cuadrado latino de orden 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para que k letras ordenadas en una matriz k x k sean un cuadrado latino , se requiere que cada letra esté una sola vez en cada fila y una sola vez en cada columna de la matriz. La eficiencia del diseño de cuadrados latinos depende de la variación causada por los factores de control; si uno de ellos no ejerce una influencia apreciable en la variable de estudio , deberá adoptarse un diseño de bloques aleatorizados en vez de un diseño de cuadrados latinos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS fila columna tratamiento Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS l = 1 , 2 , 3 ……k J = 1 , 2 , 3 ….. k i = 1 , 2 , 3 ….. K EL MODELO ES ADITIVO ; ES DECIR NO EXISTE INTERACCIONES ENTRE FILAS Y COLUMNAS Y TAMPOCO ENTRE ÉSTAS Y LOS TRATAMIENTOS. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStotal = SSfilas + SScolumnas + SStrat+ SSerror El estadístico apropiado para probar que no hay diferencias en las medias de los tratamientos es: Fo = MSTratamientos/MSE Que se distribuye como F k-1,(k-2)(k-1) bajo Ho Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

SStotal = SiSjSl yijl 2 – y… 2 / n SStreatment = 1/k Sj y..j 2 – y… 2 / n SScolumnas = 1/k Si y..i2 – y… 2 / n SSfilas = 1/k Sl y..l2 – y… 2 / n Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza de un diseño de cuadrado latino Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Tratamientos SSTRA K-1 SStrat / k-1 MSTra/Mse filas SSfilas SSfilas / k-1 Columnas SScolumnas k-1 SScolumnas / k-1 Error SSe (k-2)(k-1) SSe / (k-2)(k-1) Total SSt k² - 1 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJEMPLO Para comparar el efecto de cinco dietas , éstas se administraron a cinco camadas , de cinco ratas cada una , mediante un diseño de cuadrado latino con camadas como filas y ratas ordenadas por peso como columnas . De esta manera se eliminaron las variaciones asignables a las diferencias en los pesos y en la herencia . La variable respuesta fue el contenido de proteína en el hígado. Los resultados se dan en la siguiente tabla. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Datos del experimento de las dietas Camadas Peso en orden creciente Y..l 1 2 3 4 5 736 (C) 587 (E) 811 (B) 724 (A) 762 (D) 3620 757 (A) 737 (C) 578 (D) 590 (E) 809 (B) 3471 573 (B) 789 (D) 577 (E) 751 (C) 822 (A) 3512 686 (E) 761 (B) 667 (A) 683 (D) 563 (C) 3360 942 (D) 802 (A) 920 (C) 635 (B) 725 (E) 4024 Yi.. 3694 3676 3553 3383 3681 18823= y… Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza del experimento de las dietas Fuente de variacion Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor p Tratamientos (dietas) 50.812 4 12703 1.01 0.44 Filas 52424 13106 columnas 14088 3522 Error 150424 12 12535 Total 267748 24 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS LA PRUEBA F INDICA QUE NO HAY DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS ENTRE LAS DIETAS . IGUALMNETE , AL OBSERVAR LAS MEDIAS CUADRATICAS PARA FILAS Y PARA COLUMNAS , SE DEDUCE QUE NO HAY SIGNIFICANCIA ESTADISTICA Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ER= MSC +(K-1)*MSE / (K)*MSE La eficiencia relativa del Diseño de cuadrado latino con respecto al diseño de bloques aleatorizados , suponiendo que las camadas son los bloques , se calcula con la siguiente formula: ER= MSC +(K-1)*MSE / (K)*MSE ER=3522 + 4(12535) / 5(12535)= 0.86 Como se observa , no hay ganancia en la eficiencia por el hecho de considerar el peso de las ratas como otra variable de control. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS La eficiencia relativa del cuadrado latino con respecto a un diseño de bloque aleatorizado , indica que ninguna de las dos variables de bloqueo influye en forma apreciable sobre la respuesta analizada , por tanto , pueden no tenerse en cuenta en estudios futuros. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS DISEÑOS FACTORIALES Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS DISEÑOS FACTORIALES Por diseño factorial se entiende que en cada ensayo o replica completa del experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores . Por ejemplo: si el factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles , cada replica contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. Los diseños factoriales producen experimentos más eficientes , pues cada observación proporciona información sobre todos los factores , y es factible ver las respuestas de un factor en diferentes niveles de otro factor en el mismo experimento. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel del factor . Con frecuencia se le llama efecto principal porque se refiere a los factores primarios de interés en el experimento. En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores . Cuando esto ocurre , existe una interacción entre los factores. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES El factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles . El experimento tiene n replicas y cada una contiene ab combinaciones de tratamiento. El modelo de los efectos es: l = 1 , 2 , 3 ……n J = 1 , 2 , 3 ….. a i = 1 , 2 , 3 ….. b Se supone que ambos efectos son fijos Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS hipótesis a probar : Igualdad de los efectos de los tratamientos de las filas Ho: t1 = t2 =. . . = ta = 0 H1: al menos una tj ≠ 0 Igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas Ho: b1 = b2 =. . . = bb = 0 H1: al menos una bi ≠ 0 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ho: (tb) ji= 0 para todas las j ,i H1: al menos una (tb) ji ≠ 0 También existe interés en determinar si los tratamientos de las filas y las columnas interactúan. Ho: (tb) ji= 0 para todas las j ,i H1: al menos una (tb) ji ≠ 0 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Análisis de varianza para el diseño factorial de dos factores Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Tratamientos A SSA a-1 SSA / a-1 MSA/Mse Tratamientos B SSB b-1 SSB / b-1 MSB/Mse Interacción SSAB (a-1)(b-1) SSAB / (a-1)(b-1) MSAB/Mse Error SSe ab(n-1) SSe / ab(n-1) Total SSt abn -1 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Ejemplo: LA VIDA MEDIA (EN HORAS DE SERVICIO ) DE UN TIPO PARTICULAR DE BATERIA, SE PIENSA QUE PUEDE SER INFLUENCIADA POR EL MATERIAL USADO EN LOS PLATOS Y POR LA TEMPERATURA A LA CUAL LA BATERÍA ES COLOCADA A FUNCIONAR. SE HACEN CUATRO REPLICAS EN EL EXPERIMENTO DE UN DISEÑO FACTORIAL, PARA TRES TIPOS DE TEMPERATURA Y TRES MATERIALES. A= 3 B= 3 n= 4 LOS RESULTADOS SON: Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

FACTOR (B) TEMPERATURA FACTOR(A) MATERIAL 1 130 74 155 180 539 34 80 40 75 229 20 82  70 58  230 998   2 150 159 188 126 623 136 106 122 115 479 25 58 70 45 198 1300   3 138 168 110 160 576 174 150 120 139 583 96 82 104 60 342 1501   1738 1291 770 3799 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

ANALISIS DE VARIANZA DEL EXPERIMENTO FUENTES DE VARIACION SUMA DE CUADRADOS GRADOS DE LIBERTAD C.MEDIO FO TIPO DE MAT. 10683.72 2 5341.86 7.91 > 3.35 TEMPERATUR 39118.72 19559.36 28.97 > 3.35 INTERACCION 9613.77 4 2403.44 3.56 > 2.73 ERROR 18230.75 27 675.21   TOTAL 77646.96 35 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

CORRELACION TIPO MATERIAL - TEMPERATURA Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Y EN CADA UNA DE LAS HIPOTESIS ACEPTAMOS H1 CONCLUSIONES: los datos reflejan evidencias suficientes que el tipo de material se afecta al voltaje de salida, considerado al nivel de significancia del 5% los datos presentan evidencias suficientes que las temperaturas usada -5 en el experimentos si afectan al voltaje de salida, considerando un nivel de significancia del 5% los datos demuestran evidencias suficientes que el tipo de material usado y las temperaturas consideradas en el experimento tienen efecto conjunto sobre el voltaje de salida considerado k un nivel de significancia del 5% Y EN CADA UNA DE LAS HIPOTESIS ACEPTAMOS H1 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Diseño Factorial 2k Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta Existen varios casos especiales del diseño factorial general que resultan importantes porque se usan ampliamente en el trabajo de investigación, y porque constituyen la base para otros diseños de gran valor práctico. El más importante de estos casos especiales ocurre cuando se tienen k factores, cada uno con dos niveles.  Estos niveles pueden ser cuantitativos como sería el caso de dos valores de temperatura presión o tiempo.  Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Diseño Factorial 2k Una réplica completa de tal diseño requiere que se recopilen 2 x 2 x .... x 2 = 2k observaciones y se conoce como diseño general 2k. El diseño 2k es particularmente útil en las primeras fases del trabajo experimental, cuando es probable que haya muchos factores por investigar. Conlleva el menor número de corridas con las cuales pueden estudiarse k factores en un diseño factorial completo.  Debido a que sólo hay dos niveles para cada factor, debe suponerse que la respuesta es aproximadamente lineal en el intervalo de los niveles elegidos de los factores. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Diseño Factorial 2k Supongamos que tenemos k (k > 2) factores. Un diseño factorial 2k (2k factorial design) requiere que dos niveles sean escogidos por cada factor, y que “n” corridas (replicas) se ejecuten por cada una de las 2k posibles combinaciones de niveles de los factores . Para 3 factores, podemos usar la Matriz de Diseño: Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial 2k Matriz de Diseño para 3 Factores Factor 1 Factor 2 Factor 3 Design Point Level Level Level Response 1 - - - O1 2 + - - O2 3 - + - O3 4 + + - O4 5 - - + O5 6 + - + O6 7 - + + O7 8 + + + O8 “+” se refiere a uno de los niveles de un factor y “-” se refiere al otro nivel . Normalmente, para factores cuantitativos , el nivel más grande y más pequeño de cada factor elegido. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial 2k : Estimación El Efecto Principal del factor 1 es el cambio en la variable respuesta como resultado del cambio en el nivel del factor, promediando los efectos de los restantes factores. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial 2k : Estimación Si el efecto de alguno de los factores depende del nivel de cualquier otro factor, se dice que estos factores interactúan El grado de interacción (two-factor interaction effect) entre dos factores i y j está definido como: Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial Completo (2k) Consideremos un modelo de un sistema de producción. Las 2 variables de decisión o factores a considerar son: Presión (P) y Temperatura (T) para el sistema de producción. Los valores máximos y mínimos admisibles para cada factor están dados por: Supongamos que la variable respuesta de salida del modelo es el rendimiento del proceso . Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial Completo (2k) Una matriz de diseño 22 con los resultados (para 10 replicas en cada punto de diseño ) está dada por: Donde un factor de nivel “-” indica el mínimo valor posible para el factor, y un factor en el nivel “+” indica el máximo valor posible ; por ejemplo, para el design point 2 se tiene P=40 and T =15. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial Completo (2k) La respuesta dada es el costo promedio de las 10 réplicas. El efecto principal es: El efecto de interacción esta dado por Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial Completo (2k) Además, el efecto medio de incrementar P de 20 a 40 es un incremento en el rendimiento de 1.2, y el efecto medio de incrementar T desde 15 a 50 es una reducción en el rendimiento de 5.3. Esto podría aconsejar seleccionar el factor T como el valor más bajo y el factor P como el más alto. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Diseño Factorial Completo (2k) También a menudo un efecto de interacción positivo, podría indicar que los efectos de los factores P y T tienen niveles opuestos. Por supuesto que esto se puede inferir de un breve análisis de las respuestas para combinaciones de diseño. Note también que la interpretación del efecto principal asume que no hay efecto de interacción. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Aleatoriedad de los Efectos Observemos que los efectos principales e interacciones calculados en el ejemplo previo son variables aleatorias. Para determinar si los efectos son realmente significativos o si su cambio se debe a fluctuaciones aleatorias deberíamos calcular los efectos principales e interacciones varias veces (10 o más) y construir un intervalo de confianza para cada efecto principal e interacción. Si el intervalo de confianza contiene al cero, entonces el efecto no es estadísticamente significativo. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Situación con muchos Factores Cuando existan muchos factores a considerar en el diseño factorial completo, se puede recurrir al diseño de experimentos factorial fraccionado (2k-p , 3k-p , etc). Otra aproximación para reducir el número de factores es considerar la técnica de factores ocultos o agrupación de factores donde un grupo de factores se consideran como si fuesen un solo factor (confundido). Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

DISEÑO FACTORIAL 2k CON UNA SOLA REPLICACION Un riesgo obvio cuando se realiza un experimento que tiene una sola corrida para cada combinación de prueba es que el modelo puede ajustarse al ruido. El uso de la estrategia de una sola replica es común en los experimentos de exploración cuando hay un numero relativamente grande de factores bajo consideración. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS EJEMPLO Un producto químico se fabrica en un envase presurizado. Se lleva a cabo un experimento factorial en la planta piloto para estudiar los factores que se piensa influyen en el índice de filtración de este producto. Los cuatro factores son la temperatura (A), la presión (B), la concentración de formaldehído (C), y la velocidad de agitación (D). Cada factor esta presente con dos niveles. las 16 corridas se hacen de forma aleatoria. Los datos se muestran en la siguiente tabla Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS N de corrida FACTOR Etiqueta de la corrida Índice de filtración A B C D 1 - (1) 45 2 + a 71 3 b 48 4 ab 65 5 c 68 6 ac 60 7 bc 80 8 abc 9 d 43 10 ad 100 11 bd 12 abd 104 13 cd 75 14 acd 86 15 bcd 70 16 abcd 96 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

CONTRIBUCION PORCENTUAL Estimaciones de los efectos de los factores y sumas cuadrados del diseño factorial 24 TERMINO DEL MODELO ESTIMACION DEL EFECTO SUMA DE CUADRADOS CONTRIBUCION PORCENTUAL A 21,625 1870,56 32,6397 B 3,125 30,0625 0,681608 C 9,875 390,062 6,806 D 14,625 855,563 14,92 AB 0,125 0,0625 0,001 AC -18,125 1314,06 22,92 AD 16,625 1105,56 19,29 BC 2,375 22,5625 0,39 BD -0,375 0,5625 0,009 CD -1,125 5,0625 0,088 ABC 1,875 14,0625 0,245 ABD 4,125 68,0625 1,187 ACD -1,625 10,5625 0,184 BCD -2,625 27,5625 0,480 ABCD 1,375 7,5625 0,1319 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Análisis de varianza del experimento del índice de filtración en A, C y D Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Valor P A 1870,56 1 83,36 ‹ 0,0001 C 390,06 17,38 D 855,56 38,13 AC 1314,06 58,56 AD 1105,56 49,27 CD 5,06 ‹1 ACD 10,56 Error 179,52 8 22,44 Total 5730,94 15 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

FACTORIAL INCOMPLETO O FRACCIONARIO Fundamento del diseño: cuando la función respuesta que se estudia es continua, pueden eliminarse puntos intermedios de experimentación sin que se afecte el ajuste.    Se eliminan del factorial completo interacciones que puedan considerarse poco probables (generalmente las de grado superior) y se sustituyen por nuevas variables o mas niveles. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS USOS Y VENTAJAS   PUEDE EMPLEARSE EN LAS ETAPAS DE DISEÑO, FORMULACION Y OPTIMIZACION. ES UTIL CUANDO SE DEBEN ANALIZAR MUCHAS VARIABLES. PERMITE ELEGIR SOLO LAS VARIABLES MAS SIGNIFICATIVAS SACRIFICANDOSE LOS EXPERIMENTOS QUE DAN INFORMACION SOBRE LAS INTERACCIONES DE MAYOR GRADO. PUEDEN EVALUARSE MAS VARIABLES CON MENOR NUMERO DE EXPERIMENTOS.   SE PUEDEN INCLUIR MAS NIVELES DE LAS MISMAS VARIABLES LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES PUEDEN AJUSTARSE A FUNCIONES DE ORDEN SUPERIOR SIN AUMENTAR EXCESIVAMENTE EL NUMERO DE EXPERIMENTOS. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ejemplo 1 : Diseño Factorial 2 k-1 (medio factorial) Ej. 5 variables en 2 niveles. El factorial completo comprendería 2^5 = 32 experimentos. En cambio con el “medio factorial” se hacen solo la mitad, 16 experimentos. En este diseño puede emplearse distinto numero de variables pero siempre en dos niveles e incluye siempre la mitad de los experimentos que se requerirían en el factorial completo   Como se “eligen” los experimentos ? Si se trata de 5 variables, se construye primero un factorial completo para 4 variables en 2 niveles (2^4 = 16 experimentos) Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Si se establece esta igualdad, entonces: 1x5 = 2x3x4 4x5= 1x2x3 Se reemplaza la columna que corresponde a la interacción de mayor grado (1x2x3x4) por la nueva variable (5). El efecto principal de la nueva variable se “confunde” con la interaccion menos probable. En cada experimento los niveles de la variable 5 estan dados por los signos + y - que coinciden con la interaccion cuadruple (menos probable): 1234= 5 Si se establece esta igualdad, entonces: 1x5 = 2x3x4 4x5= 1x2x3 2x5= 1x3x4 Es decir, si: 123 = + + - - - - + + - ...........  y 4x5 = se calcula con el mismo patrón de respuestas.    El armado del “patron de confusion” hace que se estimen : la media total, los efectos principales de las 5 variables y las 10 interacciones de dos factores para las 5 variables, a partir de usar las interacciones triples y cuadruples del diseño factorial completo de 4 variables. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Las interacciones de mayor grado se encuentran “confundidas” de acuerdo al siguiente esquema: Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Estimación de los efectos: Media general: (1...16) /16   Efecto principal de 1 = 1/8 (+1+2+3+4+5+6+7+8)- 1/8(9+10+11+12+13+14+15+16)] Interacción 4x5 = 1/16 (+1+2-3-4-4-4+7+8-9.........) Este valor debe compararse con el ERROR ESTANDAR de los experimentos replicados o con los efectos de las interacciones menos probables (si no hay replicados) o para determinar el grado de significación del efecto calculado. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Para 4 variables: 2Iv 4-1 2Iv 4-1 4 = 1x 2x 3 1 2 3 4 + - La otra mitad del factorial completo (2 ^4 = 16 experimentos) corresponden al diseño 4 = - (1x2x3)   Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS  

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS ·        EL DISEÑO ANTERIOR ESTA JUSTIFICADO SI LAS INTERACCIONES DE ORDEN SUPERIOR QUE SE REEMPLAZAN (EN ESTE CASO, TERCER Y CUARTO GRADO) SON DESPRECIABLES. eEL DISEÑO CONSTRUIDO CORRESPONDE A LA MAXIMA RESOLUCION POSIBLE AUNQUE, EN TEORIA, SERIA POSIBLE REEEMPLAZAR CUALQUIER COLUMNA POR UNA NUEVA VARIABLE . SSI UNA DE LAS VARIABLES ES INERTE EL DISEÑO 2 K-1 DEJA UN FACTORIAL COMPLETO EN LAS RESTANTES VARIABLES: ·Si la variable 4 no tiene efecto significativo, queda un factorial completo en las otras 4 variables (1,2,3,5)   Ej. Si se omite la columna 1 queda un factorial completo en las variables 2,3,4 y 5. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Otros ejemplos de medias fracciones para k=3, 2III 3-1     3 = 1 X 2 1 2 3 - + La otra mitad del factorial (completo) seria: 3 = - (1 X 2) 1 2 3 - +     Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS Ejemplo 3 : Diseño factorial 2 k-4 (k : numero de variables ; 2 niveles) Este diseño consiste en un factorial completo para (k-4) variables donde todas las interacciones se asocian con las nuevas variables que se incluyen en el diseño (están confundidos)         Para 8 variables seria 2^ 4 experimentos (16)       Para 7 variables serian 2^3 experimentos (8)   En el ejemplo se evalúan en total 7 variables en 8 experimentos. Es un diseño balanceado, saturado (ya que todos los contrastes están asociados con variables) y confundido. ·   Mediante este diseño solo se evalúan efectos principales de las variables. Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS

Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS exp 1 2 3 4+ 12 5 + 13 6 + 23 7 + 123 Respuesta + ...... - ....... 4 5 6 7 ........ 8 Ing. M.Sc. Joaquin Garcia. UIS