TEMA 12 COMBINATORIA 4º ESO – CURSO 16-17

Introducción. Factorial de un Nº 1! = 1 2! = 2·1 3! = 3·2·1 4! = 4·3·2·1 5! = 5·4·3·2·1 … n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1 Cuidado  0! = 1 El número n·(n−1)·(n−2)·…·3·2·1 se llama factorial de n, y se representa por n!, donde n es un número natural.

Introducción. Factorial de un Nº Ahora toca practicar… OPERACIONES CON FACTORIALES 3! + 2! = 4! – 2! = 3! · 0! = 5! 3! 8! 3! · 4! = 8 22 6 20 280

Introducción. Números combinatorios Dados dos números naturales m y n tales que m ≥ n, se define el número combinatorio , que se lee m sobre n, como: Veamos un ejemplo:

Introducción. Números combinatorios Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS 7 3 = 35 = 126 = 15 9 4 6 4

Aplicaciones. Triángulo de Pascal El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico.

Aplicaciones. Binomio de Newton Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Pero… ¿Cómo calcularías: (a + b)3 ? La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton. Los coeficientes son los números combinatorios que corresponden a la fila “n” del triángulo de Pascal.

Principios fundamentales de conteo ADICIÓN MULTIPLICACIÓN A B 3 aviones 2 trenes 5 buses Número de maneras de llegar desde A hasta B avión O tren O bus No suceden simultáneamente 3 + 2 + 5 = 10 Número de maneras de llegar desde A hasta C AB y BC Sí suceden simultáneamente 3 x 2 = 6 A B C

Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación ¿Qué me pongo? Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy cuenta que tengo: 2 pantalones: 4 camisas: 2 pares de zapatos: ¿De cuantas formas me podría vestir hoy?

Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación 16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama Diagrama de árbol. Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2 opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm

Esquema m = número de elementos n = de cuánto en cuánto se toman = =

Esquema NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos COMBINACIONES VARIACIONES Sin repetición o con repetición PERMUTACIONES NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos - SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos - Intervienen todos los elementos m = n En el caso de que se repitan los elementos, siempre se repiten las mismas veces NOTA: Hay casos en los que m = n y es una Combinación o una Variación

COMBINACIÓN Con una baraja española que consta de 40 cartas, ¿de cuántas maneras diferentes podemos repartir 4 cartas? ¿Influye el orden de colocación? NO ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? NO = = COMBINACIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 40 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 C40,4= = = = 91390 40·39·38·37 4·3·2·1 40! 4! (40-4)! 4! 36!

Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 ¿Cuántos números distintos de 4 cifras puedo formar sin repetir? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? NO VARIACIÓN SIN REPETICIÓN 1 2 3 4 ¿Cuántos elementos tengo? m = 6 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 6 ! 2! V 6, 4 = = 360

¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden rellenar? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? SI Las variaciones con repetición, únicamente difieren de las anteriores en que ahora sí se pueden repetir elementos. VARIACIÓN CON REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 3 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 15 Se trata de variar 3 elementos que se repiten (1,X,2) tomados de 15 en 15: VR3,15 = 315 = 14.348.907

¿Cuántas saldrían con la palabra LOVE? Con la palabra AMOR ¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? NO AMOR MAOR OAMR RAMO AMRO MARO OARM RAOM AOMR MOAR OMAR RMAO AORM MORA OMRA RMOA ARMO MRAO ORAM ROMA AROM MROA ORMA ROAM PERMUTACIÓN SIN REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 4 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 P4 = 4!= 4·3·2·1 = 24 ¿Cuántas saldrían con la palabra LOVE?

PERMUTACIÓN ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, puedo formar con las letras de la palabra ARMELAR? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? SI Las permutaciones con repetición de n elementos son en las que un primer elemento se repite n1 veces, un segundo elemento n2 veces, y así hasta el último, que se repite nk veces, con n1+n2+…+nk = n. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 7 ¿Qué elementos se repiten a, b, c….? a=2 Son 7 letras, repitiéndose la “A” y la “R”, por tanto:

fin 4º ESO – CURSO 16-17