El modelo simple de regresión y = β0 + β1x + ε Esta función se conoce con el nombre de ecuación de la población de Y. La intención es estimar los parámetros del modelo que dependerá de los supuestos y las características de la información

Distintos supuestos e información pueden dar distintas estimaciones.

Y = β1+ xi,2β2 + xi,3β3 + … + xi,KβK + ei Supuestos Linealidad entre la relación de “y” con los parámetros Y = β1+ xi,2β2 + xi,3β3 + … + xi,KβK + ei No hay ninguna relación lineal entre las variables independientes. Es decir ninguna variable xK puede ser una función lineal de otra variable del modelo

Exogeneidad de las variables independientes es decir el valor esperado de ei dada la muestra no es función de las variables independientes, no contienen información del valor esperado del vector de los errores Homoscedasticidad y no autocorrelación Cada ei tiene la misma varianza (σ2) y no está correlacionada con ninguna otra ej con i diferente a j

Normalidad Los errores e tienen una distribución normal con media cero y varianza constante

Términos En el modelo simple de regresión lineal donde y = β0 + β1x + ε nos referimos a “Y” como Variable dependiente Variable de lado izquierdo Variable explicada Variable endógena

Nos referimos a “X” como La variable independiente La variable del lado derecho La variable que explica Regresor

E(y|x) es una función lineal de x, por tanto para cada observación de x la distribución de y está centrada en E(y|x) y f(y) . E(y|x) = β0 + β1x . x1 x2

UN EJEMPLO

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN DE LOS DATOS

MÉTODO DE LA ESTIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS El problema es localizar la posición intermedia de la línea. Para ello es necesario contar con un método. El método consiste en seleccionar una línea tal que la distancia de cada punto a la línea sea lo menor posible. Los puntos de la nube real por encima de la recta señalan que el verdadero valor del consumo está por encima y viceversa

Mínimos cuadrados ordinarios La idea básica es estimar los parámetros de una población basado en una muestra Sea {(xi,yi): i=1, …,n} una muestra aleatoria de tamaño n de una población Para cada observación de esta muestra tiene que ser el caso que y = b0 + b1x + e (se refiere a la muestra)

. . . . Línea de regresión, puntos de la muestra y los términos de error y E(y|x) = b0 + b1x . y4 u4 { . y3 u3 } . y2 u2 { u1 . y1 } x1 x2 x3 x4 x

De manera intuitiva el método consiste en estimar una línea que pase por los puntos muestrales de tal forma que la sumatoria de los errores al cuadrado sea la mínima posible. El residuo e es una estimación del término de error ε, y es la diferencia entre la línea estimada y los puntos muestrales

Por lo tanto se debe minimizar la función

Que se puede escribir como  

S --- = 2Nb0 - 2Yi + 2b1  xi  b0   --- = 2 x2i b1 - 2 xi Yi + 2 b0xi b1

Igualando a cero  2(Yi - N b0 - xi b1 ) = 0  2( xiYi -  xi b0 -  x2 b1) = 0  arreglando   N b0 +  xi b1 = Yi    xi b0 +  x2 b1 =  xiYi Para despejar b0 y b1 Multiplicando la primera por xi  Nxi b0 + ( xi )2 b1 = Yi  xi y la segunda por N  N xi b0 + N x2 b1 = N xiYi

Restando dos de uno:  (Nx2 - ( xi)2 b1 = N xi Yi - Yi  xi   N xi Yi - Yi  xi b1 = ---------------------- (Nx2 - ( xi)2    de N b0 +  xi b1 = Yi Dividir entre N

Supongamos que queremos estimar los parámetros de la función de consumo keynesiana Y = β0 + β1xi + εi Donde Y= Gasto x= Ingreso Para ello se dispone de una muestra de n datos de gasto y de ingreso

b0 =  23.59-(0.2323)(69.8)=7.3832 Por lo tanto la estimación para la relación entre el consumo y el ingreso es   Yi = 7.38 + 0.23xi 0.23 representa el aumento en el consumo cuando aumenta $1 el ingreso. Es decir si el ingreso aumenta $100 el consumo aumenta en $23 (pero hay que tener en cuenta el intercepto).

Si se quiere estimar los cambios porcentuales del aumento en el gasto como consecuencia del aumento en el ingreso es necesario calcular la elasticidad   elasticidad = b1 x/Y = 0.23 x/Y si se toman las medias de x y Y el resultado es 0.68   Es decir si aumenta en 1% el ingreso el consumo o gasto aumentara en 0.7%

b0 o intercepto representa el consumo cuando el ingreso es cero Sin embargo esta interpretación debe tomarse con cuidado. Si no tenemos datos relacionados con el consumo cuando el ingreso es igual a cero, es peligroso tomar este dato como general.   Es posible utilizar el modelo para hacer predicciones por ejemplo pensar en cuanto aumentaría el consumo si el ingreso de los consumidores fuera de 100 La predicción es C = 7.38 + 0.23(100)= 30.61 Es decir esperamos que si el ingreso es de 100 el gasto en consumo sea de 30.61

Tarea Estimar la relación entre el salario de los ejecutivos de una casa de cambios (salary) y el rendimiento de las acciones (roe). Interpretar el resultado Hacer la gráfica de dispersión Calcular la esasticidad media La base salarios.xlx