Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 9 * 3º ESO E.AP. GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 9.5 * 3º ESO E.AP. FÓRMULA DE HERÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Perímetro y área de triángulo Perímetro de un triángulo es la suma de la medida de sus lados. P=a+b+c ALTURA Altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice cualquiera al lado opuesto de forma perpendicular a dicho lado. ÁREA Área de un triángulo es la medida de la superficie plana que encierran sus lados. A = base x altura / 2 Al presentar como base cualquiera de sus lados presenta tres alturas y por ello tres expresiones: A = a.h / 2 A = b.h’ / 2 A = c.h” / 2 El área es única, por lo que ambas expresiones deben dar idéntico resultado. b c h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 Hallar el perímetro y el área de un triángulo de lados a=7 cm, b= 5 cm y c= 4 cm, sabiendo que la altura del lado a vale 3 cm. ¿Qué tipo de triángulo es? P = a+b+c = 7 + 5 + 4 = 16 cm A = a.ha / 2 = 7.3 / 2 = 10,50 cm2 Por los datos que nos dan, tres lados diferentes, es ESCALENO Como a2 <> b2 + c2  49 <>25+16 , NO es rectángulo. Ejemplo 2 Hallar el perímetro y el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen b=8 cm y c=6 cm. Hallar las altura relativa a la hipotenusa. La hipotenusa, lado a, valdrá: a2 = b2 + c2  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10 cm P = a+b+c = 10 + 8 + 6 = 24 cm Al ser un triángulo rectángulo un cateto es la altura correspondiente al otro. A = b.hb / 2 = b.c / 2 = 8.6 / 2 = 48 / 2 = 24 cm2 Tenemos: 24 = a.ha / 2  48 = 10.ha  ha = 48 / 10 = 4,8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FÓRMULA DE HERÓN La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FÓRMULA DE HERÓN Ejemplo Sea un triángulo de lados conocidos, siendo estos a=4 cm, b=5 cm y c=3 cm. Calcularemos su área por la fórmula de Herón. Primero calcularemos el semiperímetro (s). Ahora aplicamos la fórmula de Herón: Y se obtiene que el área del triángulo es de 6 cm2. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Triángulo inscrito en una circunferencia A partir de la fórmula de Herón tenemos otro procedimiento para hallar el área de un triángulo cualquiera. Sea un triángulo inscrito en una circunferencia de radio R. Entonces: @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Triángulo inscrito en una circunferencia Ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar su área. Datos: a= 3 cm, b= 5 cm, c= 4 cm; R= 2,5 Área: A = a.b.c / 4.R A = 3.5.4 / 4.2,5 = 6 cm2 Nota: Al ser un triángulo rectángulo, podemos hallar su área de otra manera. Verificando la fórmula de Herón: A = cateto.cateto / 2 = a.c / 2 = 3.4/2 = 12/2 = 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Triángulo inscrito en una circunferencia Otro ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar uno de sus lados conocida el área. Datos: a= 5 cm, c= 7,5 cm; R= 4 cm; A= 18 cm2 Área: A = a.b.c / 4.R 18 = 5.b.7,5 / 4.4 Despejando b: 18.16 / 5.7,5 = b b = 288 / 37,5 = 7,68 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Triángulo circunscrito en una circunferencia También, a partir de la fórmula de Herón disponemos de un procedimiento más para calcular el área de un triángulo, pero ahora a partir de la circunferencia de radio r inscrita en el triángulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Triángulo circunscrito en una circunferencia Ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio r. Hallar su área. Datos: a= 4 cm, b= 5 cm, c= 3 cm; r= 1 cm Área: A = s.r Semiperímetro: s = (a+b+c )/2 =(4+5+3)/2 = 12/2 = 6 cm A = 6.1 = 6 cm2 Nota: Al ser un triángulo rectángulo, podemos hallar su área de otra manera. Verificando la fórmula de Herón: A = cateto.cateto / 2 = a.c / 2 = 3.4/2 = 12/2 = 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Triángulo circunscrito en una circunferencia Otro ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio r. Hallar el radio de la circunferencia inscrita conocida el área del triángulo. Datos: a= 3,37, b= 4 cm, c= 2,53 cm; A= 4,40 cm2 Área: A = s.r Semiperímetro: s = (a+b+c )/2 =(3,37+4+2,53)/2 = 9,9/2 s = 4,95 cm 4,40 = 4,95.r Despejando r: 4,40 / 4,95 = r  r = 0,89 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO