Instituto Tecnológico de Pachuca Lógica proposicional Asignatura: Matemáticas Discretas I

Conceptos básicos Argumento Proposición Premisa Símbolos de la lógica proposicional Variables proposicionales Conectores lógicos Simbolización de proposiciones lógicas Tautología, contradicción e indeterminación Reglas de inferencia La forma estándar de reglas de inferencia Implicaciones tautológicas modus ponens modus Tollens Silogismo disyuntivo Razonamiento Transitivo Formalización de argumentos

Argumento Es un razonamiento que quiere probar una proposición o afirmación. Un argumento puede definir como un conjunto de premisa seguidas por una conclusión. Debe estar fundamentado, pero sólo será correcto cuando esa fundamentación sea adecuada.

Argumento Si está soleado, entonces es de día. Está soleado. Por lo tanto, es de día.

Proposición Intuitivamente una proposición expresa un contenido semántico a la que bajo cierto procedimiento acordado o prescrito es posible asignarle un valor de verdad (usualmente "verdadero" o "falso", aunque en lógica formal se admiten otros valores de verdad diferentes)

Premisa Es una proposición que se dice con anticipación a algo. En un argumento valido las premisas implican la conclusión, pero esto no es necesario para que una proposición sea una premisaen el ejemplo anterior las premisas son: Si está soleado, entonces es de día. Está soleado.

Símbolos de la lógica proposicional Variables proposicionales En la Lógica Proposicional, para simbolizar las proposiciones simples se recurre a las letras minúsculas del alfabeto, comenzando por la letra “p” y después siguiendo el orden alfabético. los valores de verdad de una proposición, pueden ser “falso” o “verdadero”.

Conectores lógicos Conector Simbolo Tipo de enunciado Y ˄ Conjunción O ˅ Disyunción no ~ Negación p implica q → Condicional Si y solo si ↔ Bicondicional

Simbolización de proposiciones lógicas 1. Las computadoras trabajan más rápido que los hombres. 𝑝 2. Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja. p: Marcela estudia en Quito q: Pablo en Loja. 𝑝⋀𝑞

Ejercicios. Simbolización de proposiciones lógicas 1. No tengo un auto azul. 2. Bailamos o tomamos café. 3. Si cantamos entonces necesitamos viajar. 4. Leeré este libro si solo si tiene pocas hojas. 5. No es cierto que si no tomamos café implica que no es de día.

Ejercicios 6. La tierra gira alrededor del sol ó no se da que la luna es un planeta. 7. Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no perdería el vuelo. 8. Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi familia en Cuenca. 9. No iremos al partido a menos que salga el sol. 10. Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la vez.

Tautología, contradicción e indeterminación. Una tautología es una fórmula que es siempre verdadera sean cuales sean los valores de verdad de sus componentes. Las tautologías se denominan también leyes lógicas. Una contradicción es una fórmula que es siempre falsa sean cuales sean los valores de verdad de sus componentes. Una indeterminación es una fórmula que en unos casos es verdadera y en otros falsa, en función de los valores de verdad de sus componentes

Indeterminación 𝑝⋁𝑞 ⋀∼𝑞→∼𝑝

Contradicción ∼ 𝑝∨𝑞 →∼ ∼𝑝∧∼𝑞

Tautología ∼ 𝑝∨𝑞 →∼𝑝∧∼𝑞

Reglas de inferencia En lógica, una regla de inferencia, o regla de transformación es una forma lógica que consiste en una función que toma premisas, analiza su sintaxis, y devuelve una conclusión (o conclusiones). Por lo general, una regla de inferencia conserva la verdad (implicación tautológica), una propiedad semántica. En muchos valores lógicos, esta conserva una designación general. Pero la acción de la regla de inferencia es puramente sintáctica

La forma estándar de reglas de inferencia En lógica formal (y muchas áreas relacionadas), las reglas de inferencia suelen darse generalmente en la siguiente forma estándar: 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 ########1 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 ########2 ⋮ 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 ########𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛

Implicaciones tautológicas *modus ponens Eliminación de la implicación o regla de separación 𝑝→𝑞 ∧𝑝 →𝑞 En palabras: Si p implica q, y si p es verdadera, entonces q debe ser verdadera. Ejemplo Si p: “Amo las matemáticas” y q: “pasare este curso,” entonces. Si mi amor por las matemáticas implica que pasaré este curso, y si de hecho amo matemáticas, entonces pasaré este curso.

Implicaciones tautológicas *modus ponens Este argumento se puede configurar de la siguiente forma: Si amo las matemáticas, entonces pasare este curso. Amo las matemáticas. Por lo tanto, pasaré este curso

Implicaciones tautológicas *modus ponens O en símbolos: 𝑝→𝑞 𝑞 ∴𝑞

Implicaciones tautológicas *modus Tollens También conocido como razonamiento indirecto 𝑝→𝑞 ∧∼𝑞 →~𝑝 En palabras, si p implica q, y q es falsa, entonces p es falsa también. Ejemplo Si tenemos una vez más p: " Amo matemáticas " y q: " Pasaré este curso," obtenemos. Si amo matemáticas entonces pasaré este curso; pero sé que no lo pasaré. Por lo tanto, no amo matemáticas.

Implicaciones tautológicas *modus Tollens Este argumento se puede configurar de la siguiente forma: Si amo matemáticas, entonces pasaré este curso. No voy a pasar el curso. Por lo tanto, no amo las matemáticas

Implicaciones tautológicas *modus Tollens O en símbolos: 𝑝→𝑞 ~𝑞 ∴~𝑝

Implicaciones tautológicas *Silogismo disyuntivo En este caso se suele expresar como el o uno o el otro 𝑝∨𝑞 ∧ ∼𝑝 →𝑞 𝑝∨𝑞 ∧ ∼𝑞 →𝑝 En palabras, si P o Q es verdadero y P es falso, entonces Q es verdadero. Ejemplo Si el cocinero o el mayordomo lo hicieron, pero sabemos que el cocinero no lo hizo, entonces el mayordomo debió haberlo hecho.

Implicaciones tautológicas *Silogismo disyuntivo Su configuración es la siguiente P: El cocinero Q: El mayordomo El cocinero o el mayordomo lo hicieron. El cocinero no lo hizo. Por lo tanto, el mayordomo lo hizo.

Implicaciones tautológicas *Silogismo disyuntivo En su forma simbólica 𝑝∨𝑞 ∼𝑝 ∴𝑞

Implicaciones tautológicas *Razonamiento Transitivo Compuesta de dos implicaciones las cuales una esta precedida de le otra 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑟 → 𝑝→𝑟 En palabras se expresa como: si p implica q y si q implica r, entonces p implica r. Ejemplo Cuando llueve en la tierra se hace lodo y cuando la tierra es lodosa mis zapatos se ensucian. Así, cuando llueve mis zapatos se ensucian.

Implicaciones tautológicas *Razonamiento Transitivo Su configuración es la siguiente Cuando llueve en la tierra se hace lodo. Cuando la tierra es lodosa mis zapatos se ensucian. Por lo tanto, cuando llueve mis zapatos se ensucian.

Implicaciones tautológicas *Razonamiento Transitivo Y en su forma simbólica 𝑝→𝑞 𝑞→𝑟 ∴𝑝→𝑟

Formalización de argumentos Ejemplo “Si apruebo 1º de Bachillerato será que los profesores son muy generosos o que mi madre ha hecho una novena a los santos. No es el caso que mi madre haga novenas a los santos, por lo tanto los profesores son muy generosos”

Formalización de argumentos p: Apruebo el 1° de bachillerato q: Los profesores son muy generosos r: Mi madre ha hecho una novena a los santos 𝑝→ 𝑞∨𝑟 ∼𝑟 𝑞

Bibliografía Miller C., Heeren. Matemática razonamiento y aplicaciones, Ed. Pearson. Seymour, Lipschutz. Matemáticas para computación, Ed. Mc Graw Hill. Ralph P., Grimaldi. Matemáticas Discreta y Combinatoria (introducción y aplicaciones) Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware, E.U.A. 1989, Richard, Johnsonbaugh. Matemáticas Discretas, Grupo Editorial Iberoamérica, México D.F. 1988. Seymour, Lipschutz. Matemática Discreta (teoría y problemas resueltos). Ed. McGraw Hill, Madrid, España. 1990. Kenneth H., Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones, McGraw Hill.