INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Según el Diccionario de la Real Academia Española(DRAE) Inducción: f.Acción y efecto de inducir. Inducir:Fil.Extraer,a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares,el principio general implícito en ellas. Inferir:Deducir algo o sacarlo como conclusión de otra cosa.

¿ INDUCCIÓN MATEMÁTICA ? El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: A partir de un cierto conjunto de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas . Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática . Esta dependencia de los números naturales significa: Se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta, ¿ dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restantes ?. ¿ INDUCCIÓN MATEMÁTICA ?

Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática . Esta dependencia de los números naturales significa: Se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta, ¿ dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restantes?.

Inducción Matemática Una función proposicional P(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones : Paso 1.- Función proposicional: P(n) es verdadera para n = 1 o bien, P(1) es verdadera. Paso 2.- Hipótesis de inducción : Se supone que P(h) es verdadera , donde h es un número natural cualquiera. Paso 3.- Tésis de inducción: Se demuestra que P(h + 1) será verdadera si P(h) es verdadera , entonces P(h + 1) también lo será.

Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto Dominó”. Si imaginamos una infinita hilera de fichas de dominó dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una y otra , entonces la caída de la primera ficha provoca la caída de la segunda ficha y así, por el principio de Inducción Matemática la hilera completa caerá.

La técnica de Inducción Matemática consiste en realizar los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición P(n) para todos los valores naturales n, entonces es necesario y suficiente que se cumplan los pasos 1, 2 y 3

DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN Ejemplo : Sea la proposición siguiente: 1+2+3+...+n = n(n+1),  n perteneciente a los números naturales 2 1= 1(1+1). Por lo tanto para n=1 satisface la proposición (paso 1). Supongamos válida la proposición para h perteneciente a los números naturales (paso 2), es decir supongamos que: 1+2+3+...+h = h(h+1). (Hipótesis de inducción). Demostremos que (h + 1) también satisface la proposición (paso 3) es decir, demostremos que: 1+2+3+...+h+(h+1) = (h+1)(h+2). Demostración: (1+2+3+...+h)+(h+1) = h(h+1) + (h+1) = h(h+1)+2(h+1) = (h+1)(h+2) Luego la proposición es verdadera n perteneciente a los números naturales.