ÁLGEBRA BÁSICA PRIMER SEMESTRE
TEORÍA DE CONJUNTOS LE. SARA INÉS DE LA LLATA UNIDAD I TEORÍA DE CONJUNTOS LE. SARA INÉS DE LA LLATA
1.1 Notación y Representación de Conjuntos Cuando el hombre primitivo se agrupa en sociedades, necesita distinguir entre lo que le pertenece y lo que no es suyo y surge entonces un elemento matemático : COLECCIÓN O CONJUNTO DE OBJETOS
HISTORIA La Teoría de Conjuntos fue estudiada por el Matemático Alemán George Ferdinand Cantor (1845 – 1918) Otro matemático que contribuyó a la Teoría fue el Inglés John Venn (1834 – 1923) a quien se deben los diagramas que llevan su nombre.
HISTORIA La representación de los conjuntos de forma geométrica fue ampliada por Augustus de Morgan. En tanto que George Boole, introduce las operaciones de Unión, Intersección y Complemento de Conjuntos.
1.1.1 DEFINICIÓN Conjunto: Colección de objetos bien definida que se entiende se presentan juntos. Estos objetos se llaman miembros o elementos. Colección de objetos, que tienen al menos una propiedad común, por la cual se dice que pertenecen a dicho conjunto específico.
Ejemplos A) El conjunto de los 12 meses del año; B) Números pares menores que 10; C) Números de tres dígitos, no repetidos, que se pueden formar con los números 2, 6 y 7; D) Las letras del abecedario, E) Los alumnos del primer semestre de Bachillerato de UPAEP, F) Las partes del auto que forman un Bora. Nótese que en algunos casos el conjunto consiste en objetos físicos reales, en otros los elementos son abstractos, es decir existen sólo como ideas.
1.1.2 NOTACIÓN: Expresión y Representación de Conjuntos Usaremos letras mayúsculas A, C, X, Z. Incluiremos sus elementos dentro de llaves { } separados por comas. El símbolo significa “es elemento de”. El símbolo significa “no es elemento de” A = {2,4,6,8} o A = {2,8,6,4} “Forma extensiva o enumerativa” A = {x x es un número par menor que 10} “Forma comprensiva” A “Diagrama de Venn ” 2 6 4 8
A = {xx es un número par menor que 10} ¿CÓMO SE LEE LA FORMA COMPRENSIVA QUE DESCRIBE LA ENUMERATIVA, TAMBIÉN LLAMADA TABULAR? A = {xx es un número par menor que 10} “A es el conjunto formado por elementos x, tal que x es un número par menor que 10” B = {xx son números de tres dígitos diferentes, que pueden formarse con 2, 6 y 7} “B es el conjunto formado por elementos x, tal que x, son números de tres dígitos diferentes que pueden formarse con los números 2, 6 y 7”
PERMUTACIONES El Conjunto B esta formado por Permutaciones del número 267, es decir por aquellos números que usan los tres dígitos en diferente posición, por tanto también puede escribirse: B = {xx son permutaciones del número 267} “B es el conjunto formado por elementos x, tal que x, son todas las permutaciones del número 267”
EJERCICIO DE COMPRENSIÓN K = {xx son permutaciones del número 1357} Escribirlo de forma enumerativa y cómo se lee. Calculamos el número de elementos mediante el factorial de los dígitos, es decir 4 y se escribe como: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 K = {1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753, 3157, 3175, 3517, 3571, 3715, 3751, 5137, 5173, 5317, 5371, 5713, 5731, 7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531}
Pertenencia Cuando un elemento forma parte de un conjunto, éste se identifica mediante el símbolo . Ejemplo: A = {2,4,6,8} Por lo tanto 4 A Se lee 4 es elemento de A Si un elemento no pertenece a un conjunto, éste se identifica mediante el símbolo . Ejemplo: A = {2,4,6,8} Por lo tanto 1 A 1 no es elemento de A
USANDO LA PERTENENCIA TAMBIÉN PODEMOS LEER CONJUNTOS DE DIFERENTE MANERA Existen conjuntos de números que son múltiplos de otro, por ejemplo el conjunto de números múltiplos de 2 o pares, se denota de la siguiente manera: 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …} Sabiendo esto podemos reescribir el conjunto: A = {x x es un número par menor que 10} como: A = {x 2 x < 10} “A es el conjunto de elementos x que pertenecen a los múltiplos de 2, tal que x es menor que 10”
EJERCICIO DE COMPRENSIÓN a) M = {xx son permutaciones de la palabra amor} Escribirlo de forma enumerativa y cómo se lee. b) 3 = { } c) 5 = { } Dibujar el Diagrama de Venn. d) “R es el conjunto de elementos x que pertenecen a los múltiplos de 3, tal que x es menor que 360” Escribirlo de forma enumerativa y comprensiva.