Curso de Electricidad y Magnetismo Presentación 8 Ecuaciones de Maxwell

El Electromagnetismo Clásico, cumple un conjunto de ecuaciones que caracterizan los fenómenos electromagnéticos más conocidos. A esas ecuaciones se les denomina ECUACIONES DE MAXWELL.

La primera de esas ecuaciones es la que describe la relación entre las cargas eléctricas puntuales ( o mas bien distribuciones de ellas), con los campos eléctricos que ellas generan. Todo campo eléctrico creado por cargas puntuales cumple la Ley de Gauss cuando la distribución de cargas se encuentra en el vacío.

Cuando el medio no es el vacío, se cumple que el vector de desplazamiento eléctrico es el que está relacionado con las cargas reales en el medio: donde q es la carga real que genera el campo. Para medios materiales se cumple la relación vectorial entre los tres vectores de campo eléctrico siguiente:

La verdadera Ley de Maxwell que se cumple en medios dieléctricos es: En el caso de medios no polares, isótropos y homogéneos, el vector de Polarización eléctrica está, relacionado al vector de intensidad de campo eléctrico inductor por la expresión:

En consecuencia la expresión cambia a: Donde se ha aplicado la relación: la última ecuación de Gauss se cumple tanto para el vacío como en medios materiales dieléctricos. Se le denomina también a esta ecuación PRIMERA LEY DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL

"los polos magnéticos son inseparables" significa que las líneas de inducción son cerradas y forzosamente cualquier superficie Gaussiana alrededor o fuera de las fuentes de campo magnético tiene un Flujo del vector de Inducción Magnética nulo, esto significa que la integral de Flujo del Vector de Inducción Magnética es nula:

Esta ecuación se reconoce como la segunda de las Leyes de Maxwell en forma integral y ella representa el hecho Físico de que los polos magnéticos son inseparables, por lo tanto su integral de flujo es nula, esta ecuación y la primera ecuación de Maxwell (que habla del Flujo del campo eléctrico generado por cargas eléctricas) son análogas.

Aplicando el Teorema Ostrogradsky-Gauss a los miembros izquierdos de las dos primeras ecuaciones de Maxwell ya expuestas, es decir aplicando: Se tiene: y

como la carga en realidad es una distribución volumétrica de carga en lo general, podemos escribir que la carga "q" real puede darse por la integral sobre el volumen "V" siguiente: de tal manera que podemos escribir la igualdad:

Como esas integrales son iguales, los integrandos también lo son: Que en términos del desplazamiento eléctrico puede escribirse como: Que son las formas diferenciales de la ley de Gauss en medios materiales dieléctricos

La segunda Ley de Maxwell puede cambiarse por medio del Teorema de Ostrogradsky-Gauss, conduciendo a la identidad: Llegando a la expresión:

Introduciendo la ecuación material de medios magnéticos tenemos: De donde se tiene la ecuación Estas dos ultimas ecuaciones son las representaciones diferenciales de la segunda Ley de Maxwell

Podemos escribir dos pares de estas ecuaciones: Uno en términos de los vectores inductores de dipolo magnético y eléctrico: y Otro en términos de los vectores de respuesta de parte de los medios El uso depende del área de aplicación

Por ejemplo, para las aplicaciones de Ingeniería en comunicaciones, es costumbre utilizar a E y H En el caso de materiales anisotrópicos, la óptica suele usar D y B

Ley de Ampère Particularizada Los campos magnéticos pueden generarse por corrientes eléctricas estacionarias , y esos campos magnéticos así generados cumplen: Esta Ley es cierta siempre y cuando las corrientes y el campo magnético generado, estén en el vacío.

Aplicando además la propiedad: Si aplicamos el “Teorema de Stokes” Aplicando además la propiedad: La corriente eléctrica atravesando una superficie “S” es dada en función de la densidad de corriente presente en el espacio por medio de la identidad

Ecuación que se conoce como La Ley de Ampère se puede escribir como: ecuación que se puede reducir a: identificando los integrandos : Ecuación que se conoce como FORMA DIFERENCIAL DE LA LEY DE AMPERE EN EL VACIO BAJO REGIMEN ESTACIONARIO.

Ley de Inducción de Faraday La creación de campos eléctricos por medio de campos magnéticos variables ( Ley de Inducción de Faraday): Aplicando el Teorema de Stokes Finalmente desarrollando el segundo miembro

identificando los integrandos: Introduciendo la ecuación material tenemos: que da la ecuación en terminos de E y H

Ley General de Ampère Para corrientes no estacionarias hemos deducido que la Ley de Ampère se generaliza a: El segundo término en el miembro derecho de esa ecuación tiene unidades de densidad de corriente: La ecuación material define el “desplazamiento” el término que analizamos puede denominarse “DENSIDAD DE CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO”.

Esa cantidad habla de una corriente que se generaría en un dieléctrico si el campo eléctrico en ese dieléctrico fuera variable. Un campo eléctrico variable en el tiempo dentro de un dieléctrico genera una densidad de corriente denominada DENSIDAD DE CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO, la cual también contribuye a la creación de campos magnéticos en el espacio.

En consecuencia, un campo magnético puede generarse por la presencia de corrientes de conducción También puede generarse por la presencia de campos variables en el tiempo influenciando un dieléctrico Este fenómeno genera una “densidad de corriente” nueva denominada “densidad de corriente de desplazamiento”.

La densidad de corriente de conducción puede escribirse en términos del campo eléctrico presente en el espacio, usando la Ley de Ohm microscópica: sustituyendo este valor en la Ley de Ampère Generalizada, tenemos: la ecuación material en medios magnéticos: Permite escribir que será la forma mejor aceptada por nosotros de la Ley Generalizada de Ampère en forma diferencial.

ECUACIONES DE MAXWELL