RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

HAZ DE PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10.7 * 2º BCT HAZ DE PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. HAZ PLANOS PARALELOS HAZ DE PLANOS PARALELOS (Plantas de un edificio en construcción - etc.) Haz de planos paralelos. Es el conjunto de planos paralelos a uno dado. Dado el plano πAx+By+Cz+D=0, los planos paralelos a π tienen todos ellos el mismo vector normal (A,B,C) y son de la forma: πAx+By+Cz+D’=0 EJEMPLO 1 Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,1) y es paralelo al plano 3x – 5y + z – 5 = 0. π  3x – 5y + z + d = 0 Por pasar por el A(1,1,1)  π  3.1 – 5.1 + 1 + D = 0 3 – 5 + 1 + D = 0  D = 1 π 3x – 5y + z + 1 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. HAZ DE PLANOS HAZ DE PLANOS SECANTES (Hojas de un libro abierto - Puertas giratorias - etc.) Haz de planos secantes. Es el conjunto de planos que pasan por una recta llamada arista del haz. Si los planos πAx+By+Cz+D=0 y π'A'x+B'y+C'z+D'=0 son secantes en una recta, cualquier plano del haz es combinación lineal de π y π'. Luego: π(Ax+By+Cz+D).s + (A'x+B'y+C'z+D‘).t = 0 Para s=0 se obtienen el primer plano y para t=0 se obtiene el segundo. EJEMPLO 1 Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto O(0,0,0) y contiene a la recta {x+y+z=1, x-y=2}. π (x+y+z – 1).s + (x-y – 2).t = 0   – 1.s – 2.t = 0  s = – 2.t π (x + y + z – 1).(– 2.t) + (x – y – 2).t = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Problema 1 Halla la ecuación del plano π que pasa por P(0,0,1) y contiene a la recta de ecuación: r{5x‑3y+­2z=0, 2x-y-z‑1=0}. Solución Si contiene a r es un plano del haz de planos cuya recta en común es r. π (5x – 3y + 2z).s + (2x – y – z – 1).t = 0 Por pasar por el P(0,0,1): 2s – 2t = 0 s = t π (5x – 3y + 2z).t + (2x – y – z – 1).t = 0 π (7x – 4y + z – 1).t = 0 π 7x – 4y + z – 1 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Problema 2 Sean las rectas r(x,y,z)=(3,1,3)+(‑5,2,0)t y s{3x-y+z=0, x+2y-z‑2=0} Halla la ecuación de un plano que pasa por A(‑1,‑1,0) y es paralelo a las dos rectas. Halla la intersección de dicho plano con los ejes coordenados. Solución. 14x+35y+22z+49=0. X(,0,0), Y(0,,0), Z(0,0,).   Solución Vector director de r: u = (–5, 2, 0) Vector director de s: i j k v = 3 –1 1 = i – 2i + j + 3j + 6k + k = – i + 4j + 7k  v = (–1, 4 , 7) 1 2 –1 Ecuación del plano: de vectores directores u y v: π (x, y , z) = (-1, -1, 0) + λ. (–5, 2, 0) + μ. (–1, 4 , 7) En paramétricas: x = –1 – 5.λ – μ , y = –1 + 2.λ + 4.μ , z = 7.μ @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. …Problema 2 Halla la intersección de dicho plano con los ejes coordenados. … Solución … En paramétricas: x = –1 – 5.λ – μ , y = –1 + 2.λ + 4.μ , z = 7.μ  μ = z/7 Operando: μ = –x – 5.λ – 1  y = –1 + 2.λ + 4.(–x – 5.λ – 1) y = –1 + 2.λ – 4.x – 20.λ – 4  18.λ = – 5 – 4.x – y  λ = (–5 –4.x –y)/18 Sustituyendo: x = –1 – 5.[(–5 –4.x –y)/18] – z/7 x = [–18.7 – 5.7[(–5 –4.x –y)] – 18.z ] / 7.18 126.x = – 126 + 175 + 140.x + 35.y – 18.z π≡14.x + 35.y – 18.z + 49 = 0 Intersección con ejes: Con OX: y=0, z=0  x = - 49/14  OX (– 7/2, 0 , 0) Con OY: x=0, z=0  y = - 49/35  OX (0, – 7/5 , 0) Con OZ: x=0, y=0  z = 49/18  OX (0 , 0 , 49/18) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

POSICIONES DE TRES PLANOS Consideremos los tres planos π, π' y π'' dados por sus ecuaciones generales: πAx+By+Cz+D=0 π’A’x+B’y+C’z+D’=0 π”A”x+B”y+C”z+D”=0 Estudiar su posición equivale discutir el sistema formado por sus ecuaciones. Para ello consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada . A B C A B C D A A’ B’ C’ A/B A’ B’ C’ D’ A” B” C” A” B” C” D” Pueden presentarse los siguientes casos, según los rangos de ambas matrices: ... @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Casos a considerar 1. Rango A = Rango A/B = 3  S.C.D. Solución única. Los tres planos se cortan en un punto formando un triedro. Las coordenadas del punto se obtienen resolviendo el sistema. 2. Rango A <> Rango A/B  S.I. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Las dos posibles posiciones son:  Los planos forman una superficie prismática.  Dos planos son paralelos y el otro los corta. 3. Rango A = Rango A/B = 2  S.C.I. Las infinitas soluciones dependen de un parámetro. Los tres planos tienen una recta en común. Las dos posibles posiciones son:  Los planos son distintos y se cortan en una recta.  Dos planos son coincidentes y el otro los corta. 4. Rango A = 1; Rango A/B = 2  S.I. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Las dos posibles posiciones son:  Los planos son paralelos y distintos.  Dos planos son coincidentes y el otro paralelo a ellos y distinto. 5. Rango A = Rango A/B = 1  S.C.I. El sistema se reduce a una sola ecuación. Es decir, los planos son coincidentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.