MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO Dinámica Estructural

Oscilaciones amortiguadas En muchos sistemas reales las fuerzas no conservativas como la fricción retardan el movimiento. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento esta amortiguado. La energía mecánica perdida se transforma en energía interna en el objeto y el medio retardador. Ejemplo: En la imagen el oscilador amortiguado es un objeto rigido unido a un resorte y sumergido en un liquido viscoso, como se puede observar la viscosidad del liquido hace que la velocidad en la masa disminuya hasta hacer que el movimiento se detenga por completo.

Movimiento criticamente amortiguado. Cuando se habla de movimiento con oscilaciones amortiguadas se puede clasificar en tres casos diferentes, los cuales dependen de la relación que existe entre el objeto oscilador y el medio en el que oscila y estos son: Movimiento sobreamortiguado 𝒃 𝟐𝒎 > 𝝎 𝟎 Movimiento subamortiguado 𝒃 𝟐𝒎 < 𝝎 𝟎 Movimiento críticamente amortiguado 𝒃 𝟐𝒎 = 𝝎 𝟎 Grafica comparativa de los diferentes tipos de movimiento con oscilaciones amortiguadas: Movimiento sobreamortiguado Movimiento subamortiguado Movimiento criticamente amortiguado.

En la grafica se puede observar la posición como función de tiempo para un objeto que oscila en presencia de una fuerza restauradora: Cuando la fuerza retardadora es pequeña el carácter oscilatorio del sistema se conserva, pero la amplitud disminuye en el tiempo, con el resultado de que al final el movimiento cesa.

MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO Para un movimiento con una constante de resorte y masa de objeto determinadas las oscilaciones se amortiguan mas rápidamente para valores mas grandes de la fuerza retardadora. Cuando la magnitud de la fuerza retardadora es pequeña, tal que 𝑏 2𝑚 < 𝜔 0 se dice que el sistema esta subamortiguado. Si estudiamos el sistema mostrado en la figura y el valor de la Constante de amortiguamiento es pequeño comparado a la Constante del resorte entonces el sistema esta subamortiguado Y sus raices son complejas.

AMORTIGUAMIENTO DEBIL Cuando la fuerza disipativa es pequeña en comparación con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se conserva pero la amplitud de la vibración disminuye con el tiempo y, finalmente el movimiento cesará. Este sistema se conoce como oscilador subamortiguado. En el movimiento con una constante de resorte y una partícula masiva dadas, las oscilaciones se amortiguan con más rapidez a medida que el valor máximo de la fuerza disipativa tiende al valor máximo de la fuerza de restitución.

Raíces de la ecuación diferencial para el movimiento subamortiguado: 𝒂+𝟐𝜷𝒗+ 𝝎 𝟐 𝒙=𝟎 Raíces de la ecuación diferencial para el movimiento subamortiguado: 𝒎 𝟏 =−𝜷± (𝝎 𝟐 − 𝜷 𝟐 )𝐢 Solución general de la ecuación: 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝜷𝒕 ( 𝒄 𝟏 𝐜𝐨𝐬⁡( ( 𝝎 𝟐 − 𝜷 𝟐 )t) + 𝒄 𝟐 𝒔𝒆𝒏( ( 𝝎 𝟐 − 𝜷 𝟐 )t)) 𝒎𝒂+𝒌𝒙+𝒄𝒗=𝑭 𝒕 Si F(t) = 0 Entonces: 𝒎𝒂+𝒌𝒙+𝒄𝒗 = 0 𝒂+ 𝒌 𝒎 𝒙+ 𝟐𝒄 𝟐𝒎 𝒗=𝟎 𝒂+ 𝝎 𝟐 𝒙+𝟐𝜷𝒗=𝟎 Donde: 𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎 , 𝜷= 𝒄 𝟐𝒎

Caracteristicas: Es un movimiento oscilatorio. A causa del coeficiente 𝒆 −𝜷𝒕 , las amplitudes de vibración tienden a cero cuando 𝒕→∞. A pesar de ser un movimiento oscilatorio no es un movimiento periódico (la amplitud de vibración del movimiento decrece). Las oscilaciones ocurren a intervalos iguales de tiempo, a este intervalo de tiempo se le conoce como “periodo amortiguado” En el movimiento con una constante de resorte y una partícula masiva dada, las oscilaciones se amortiguan con más rapidez a medida que el valor máximo de la fuerza disipativa tiende al valor máximo de la fuerza de restitución.

Ejemplo Un objeto que pesa 16 lb se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.

𝐹=𝑘𝑥 fuerza del resorte 𝑘= 𝐹 𝑥 = 16𝑙𝑏 3𝑓𝑡 = 5𝑙𝑏 𝑓𝑡 𝛽= 𝑐 2𝑚 = 0.5 2 =1 𝜔 2 = 𝑘 𝑚 = 5 𝑙𝑏 𝑓𝑡 0.5𝑠𝑙𝑢𝑔 =10 𝑠 −2 𝑥 𝑡 = 𝑒 −1𝑡 𝑐 1 cos 3𝑡 + 𝑐 2 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 Por ultimo sustituyendo en las condiciones iniciales 𝑥 0 =−2 y 𝑣 0 =0 determinan los valores de las constantes 𝑐 1 =2, y 𝑐 2 = 2 3 . De esta forma la ecuación del movimiento es : 𝒙 𝒕 = 𝒆 −𝟏𝒕 (𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟐 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕 )

Forma alternativa de x(t) 𝐴= 𝑐 1 2 + 𝑐 2 2 𝑐 1 ∅ Se puede escribir la ecuación de movimiento x(t) de la siguiente manera: 𝑥 𝑡 =𝐴 𝑒 −𝛽𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝜔 2 − 𝛽 2 )𝑡 +∅ Donde 𝐴 𝑒 −𝛽𝑡 se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones. 𝑐 2 A partir del triangulo podemos definir entonces que: 𝑠𝑒𝑛∅= 𝑐 1 𝐴 𝑐𝑜𝑠∅= 𝑐 2 𝐴 𝑡𝑎𝑛∅= 𝑐 1 𝑐 2