Capítulo # 4:Probabilidad Estadísticas Prof. Lernisse V. Collazo, MA

Concepto clásico de Probabilidad Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A).

Probabilidad de un evento La frecuencia relativa con la que puede esperarse la ocurrencia de dicho evento. Son tres: Empírico ( experimental) Teórica Subjetiva

Probabilidad empiríca(observada) Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables,  y m de ellas poseen una característica A    P(A) = m = número de casos favorables a A  N  número de casos posibles   Ejemplo 1: P(de que salgan dos caras al tirar 2 monedas) P(A)= 1 4                                   

Probabilidad empírica Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los negocios. Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría. Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n1, n2 ….

Serie de frecuencia relativas Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las ni sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo. Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante.

Para establecer una descripción matemática sencilla de la conducta de las frecuencias relativas para grandes valores de n, vamos a postular la existencia de un # p que es el # al cuál tiende fr, es decir, la frecuencia relativa del suceso en estudio. Este número se llamará probabilidad del suceso A en relación con el experimento aleatorio E.

Estos ejemplos ¿ a qué definición de probabilidad corresponden? E: Tirar un dado A = que salga el n° 3 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) = 1/6

Ejemplos Ejemplo 2 E: Retirar una carta de un mazo A= que salga oro P(A) = 10/40

La frecuencia relativa fr se considerará entonces como una medida experimental de la probabilidad y diremos: “De acuerdo con el concepto empírico de la estabilidad de las razones frecuenciales cabe esperar que, para grandes valores de n, la razón frecuencial  observada sea aproximadamente igual a p que se llamará probabilidad del suceso en estudio”. Estaremos entonces “estimando” el valor de una probabilidad desconocida por medio de un estudio de la conducta de las frecuencias relativas del hecho o suceso correspondiente.

La aplicación de esta definición está relacionada con un experimento aleatorio que puede ser repetido varias veces en condiciones uniformes. Naturalmente, la repetición real será en ocasiones difícil o incluso imposible de realizar, por ejemplo, debido a los costos prohibitivos de experimentación, pero bastará con que sea concebible una repetición en condiciones uniformes.

Probabilidad teórica (esperada) P(A) En palabras: Probabilidad teórica de A = # de veces que ocurre A en el espacio muestral # de elementos en el espacio muestral En algébra: P(A) = n(A), cuando los elementos de S son igualmente n(S) probables

Ejemplo de probabilidad teórica Bolas de Golf En una exposición de golf, conforme cada visitante ingresa, se le permite llegar a un gran barril y seleccionar, sin mirar, una bola de golf como premio de entrada. El barril contiene una mezcla de 3 marcas, Titleist, Callaway y Bridgestone, en la razón de 2 a 1 a 1. Espacio muestral para este experimento simple de probabilidad es S= {Titleist, Callaway y Bridgestone}. Sin embargo, el espacio muestral expresado de esta forma no esta constituido con elementos igualmentete probable y por lo tanto no es util para asignar probabilidades a los 3 eventos de la bola selecionada como Titleist (T), Callaway (C) y Bridgestone(B).

Con la finalidad de usar el espacio muestral para asignar probabilidades, debe modificarse para tener puntos muestrales igualmente probables. Esto se logra fácilamente al mencionar algunos de los elementos repetidamente, según sea necesario, para establecer la razón correcta de elementos. Dado que existen dos Titleist por una Callaway y una Bridgestone, el espacio muestral puede considerarse como aquel donde los elementos ahora son igualmente probable. S= { T1, T2, C, B}

La probabilidad de que la bola seleccionada sea Titleist, Callaway y Bridgestone ahora puede encontarse usando el espacio muestral y la fórmula: P(T) = 2/4 = ½ = 0.5 P(C)= ¼ = 0.25 P(B) = ¼ = 0.25

Probabilidad subjetiva Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir. ¿ Cuál es la probabilidad de que haya vida en Marte? ¡Analiza esta probabilidad!

Uso de Diagramas de Venn Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

Uso de diagrama de árbol Ejemplos Una universidad está formada por tres facultades: La 1ª con el 50% de estudiantes. La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad? P(alumna) de la Primera facultad) = 0,5 . 0,6 = 0, 3

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón? P(alumno varón) = 0,5 .0, 4 + 0,25. 0, 4 + 0, 25 . 0, 4 = 0, 4 Pero también podría ser lo contrario.

Uso de Diagrama de Venn A menudo es útil usar un diagrama de Venn para visualizar las probabilidades de múltiples eventos: En el Ejemplo A exploramos el uso de un diagrama de Venn para determinar las probabilidades de eventos individuales, la intersección de eventos y el complemento de un evento. En el Ejemplo C, continuaremos explorando el concepto de probabilidad condicional y cómo usar un diagrama de Venn para resolver estos problemas. También exploraremos la fórmula para la probabilidad condicional que aprendimos en la sección "Cálculo de Probabilidades de Eventos Combinados".

Usa el diagrama de Venn para encontrar las probabilidades. P(A) * P(B) * P(A∩B) * P(A∪B) P(A′∩B′)

Solución: Básicamente, haremos lo mismo que en la sección anterior, pero con probabilidades en vez de números enteros. Observa que la suma de todos los valores en el diagrama es 0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1 Este diagrama representa el espacio muestral completo de dos eventos, A y B. Para encontrar el P(A), sumaremos la probabiliad de que solamente A ocurra a la probabiliad de que A y B ocurran para obtener 0.4+0.3 = 0.7. Por tanto P(A) = 0.7 De forma similar, P(B)= 0.2 + 0.3 = 0.5

P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.7+0.5−0.3=0.9 Ahora, P(A∩B) es el valor en la región superpuesta 0, 3. P(A∪B)=0.4+0.3+0.2=0.9. También se puede encontrar utilizando la formula. P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.7+0.5−0.3=0.9 Se necesita determinar P(A′∩B′) encontrando en qué lugar del diagrama todo lo que está fuera de A se superpone con todo lo que está fuera e B. Esa sería la región fuera de ambos círculos y la probabiliad es 0,1. Otra forma de abordar esto P(A∪B)’, o 1−P(A∪B).