Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática Fundamentos de Informática 1 Cálculo Proposicional Dr. Gonzalo Hernández Oliva USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: La Lógica resulta esencial para construir, diseñar, implementar y probar correctitud en algoritmos y programas. Es necesario estudiar las Leyes Fundamentales de las Derivaciones Lógicas para estudiar la validez de las afirmaciones realizadas Las Proposiciones forman las Derivaciones y sus Operaciones es el Cálculo Proposicional USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Argumentos y Proposiciones Lógicas Argumentos (Afirmaciones,Conclusiones, Demostraciones) Válidos o No Lógicamente: V ó F Proposiciones forman los Argumentos Proposiciones Atómicas son aquellas proposiciones que no pueden subdividirse y se mantienen unidas por conexiones lógicas Veamos algunos ejemplos ... USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Argumentos y Proposiciones Lógicas Si la demanda crece entonces las compañias se expanden. Si las compañias se expanden entonces contratan trabajadores. Si la demanda crece, las compañias contratan trabajadores. Una universidad es de prestigio si los académicos que la forman realizan docencia e investigación de gran calidad. USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Argumentos y Proposiciones Lógicas De manera formal: Una proposición es una afirmación que es o bien verdadera o bien falsa. Elementos de una proposición: Variables Proposicionales: Asignación de Valor Lógico Binario: V ó F Constantes Proposicionales: V , F Conectivos o Conexiones: Operaciones USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Argumentos y Proposiciones Lógicas Proposición Atómica: Una proposición atómica es una proposición que tiene una única variable o constante proposicionas. Las proposiciones no atómicas se denominan Compuestas. Todas las proposiciones compuestas tienen al menos una conexión lógica USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Proposiciones y Tablas de Verdad Dada una proposición es posible estudiar su validez asignando valores de verdad a sus proposiciones atómicas y de esta forma calcular ordenadamente los valores de verdad de las proposiciones compuestas que la forman en base a las definiciones de los conectivos lógicos, hasta obtener el valor global. Todas las posibilidades de cálculo lógico se resumen en lo que se llama un Tabla de Verdad USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Conexiones Lógicas Las conexiones lógicas son operadores entre proposiciones que nos permiten contruir proposiciones complejas en base a proposiciones más simples o atómicas. Las más utizadas son las siguientes: Negación:  P Conjunción: P  Q Disyunción: P  Q Condicional: P  Q Bicondicional o Equivalencia: P  Q USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Conexiones Lógicas Las conexiones lógicas se definen a través de su tabla de verdad: Para su operación se ha definido un orden en base a su prioridad: Alta ()  ()  ()  ()  () Baja USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Estudio Proposiciones Para proposiciones lógicas o expresiones más complejas se tienen 2 herramientas fundamentales: Tablas de Verdad : Obtenido en base a las expresiones más simples y proposiciones átómicas que las forman Arbol de Análisis Sintáctico: Descomposición de la expresión en base a sus proposiciones atómicas. Veamos algunos Ejemplos: P  (Q  R)  ( P  R) Si Micaela gana en las Olimpiadas, todos la admirarán y ella será rica, pero si no gana, todo su esfuerzo fue en vano USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Estudio Proposiciones Ejercicios: Analice las siguientes proposiciones La extracción de minerales es provechosa si la concentración de mineral es alta pero sólo si la distancia al mercado es corta Podemos o bien tratar de obtener la aprobación de la amortización y comprar la casa o bien esperar a ver si llegamos a un acuerdo mejor (P (Q (R   P ))) (Q  R) (P  Q) ( P  Q ) (P   Q ) ( P   Q ) USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Estudio Proposiciones Una Expresión Lógica es una Tautología si es Verdadera para todas las asignaciones posibles. En este caso se antepondrá el simbolo Una Expresión Lógica es una Contradicción si es Falsa para todas las asignaciones posibles. Una Expresión Lógica es que no es una Tautología ni una contradicción es una Contingencia (Causalidad/Eventualidad). |= USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Tautologías Ley del Medio Excluido: |= P  P Teo: Sea A una expresión tautológica y sean P1 ...Pn las variables proposicionales de A. Suponga que B1 ...Bn son expresiones arbitrarias. La expresión obtenida al reemplazar Pi por Bi es una esquema y toda particularización es una tautología. Diremos que un argumento lógico es válido si la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. Si todas las premisas son verdaderas entonces también lo es la conclusión USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Tautologías Luego, si A es la conjunción de todas las premisas y C la conclusión, entonces: |= A  C . Un ejemplo de esto es el silogismo disjuntivo: |= (P  Q)  P  Q Tipos de Tautólogías: Inplicaciones Lógicas: |= A  B ( A  > B ) Equivalencias Lógicas: |= A  B ( A  B ) Este tipo de tautología se utiliza para demostrar y construir nuevas leyes (Algebra de Proposiciones) USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional 1 Cálculo Proposicional: Leyes Algebra Proposicional (Declarativa) Básica Medio Excluido: (P   P)  V Contradicción: ( P   P)  F Identidad: (P  F)  P , (P  V)  P Dominación: (P  V)  V , (P  F)  F Idempotencia: (P  P)  P , (P  P)  P Doble Negación:  ( P ) P Conmutatividad : P  Q  Q  P P  Q  Q  P USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional 1 Cálculo Proposicional: Leyes Algebra Proposicional (Declarativa) Básica Asociatividad: (P  Q)  R  P  (Q  R) (P  Q)  R  P  (Q  R) Distributividad: P  (Q  R)  (P  Q )  (P  R ) P  (Q  R)  (P  Q ) (P  R ) Leyes de DeMorgan:  ( P  Q )  ( P   Q )  ( P  Q )  ( P   Q ) Implica: P  Q  ( P  Q ) Equivalencia: P  Q  ( P  Q )  (P   Q ) USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Tautologías Una Expresión Lógica está en forma normal disyuntiva si está escrita como una disyunción de términos que son conjunciones de variables. Análogamente se define forma normal conjuntiva. Veamos un ejemplo: (P Q)  (P  (Q  R)) (P  (R Q ) ) ( Q R ) Podemos construir una forma normal disyuntiva a partir de la tabla de verdad de una expresión lógica. Un término mínimo es una conjunción de literales en los cuales cada variable se representa una vez. Si una expresión lógica esta expresada como una disyunción de términos mínimos se denomina forma normal disjuntiva completa. Veamos algunos ejemplos USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Implicaciones y Derivaciones Lógicas Herramientas para demostrar argumentos válidos Un argumento no válido es una falacia Un ejemplo de razonamiento válido es el modus ponens: P  V P Q  V Q  V Este tipo de conclusión se denota: P , P Q |= Q USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Implicaciones y Derivaciones Lógicas Reglas de Inferencia: Leyes de Combinación: A , B |= A Leyes de Simplificación: A  B |= A A  B |= B Leyes de Adición: A |= A  B B |= A  B Modus Ponens: A , A  B |= B Modus Tollens:  B , A  B |=  A Silogismo Hipotético: A  B , B C |= A C Silogismo Disyuntivo: A B , A |= B A B , B |= A Ley de Casos: A  B ,  A  B |= B USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Implicaciones y Derivaciones Lógicas Reglas de Inferencia: Eliminación de Equivalencias: A  B |= A  B A  B |= B  A Introducción de la Equivalencia: A  B , B  A |= A  B Ley de Inconsistencia: A ,  A |= B Estas reglas de inferencia se utilizan para realizar derivaciones o demostraciones formales. Veamos algunos ejemplos. USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1

Cálculo Proposicional: Demostraciones Formales Si x > max  x = max “Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció. ¿ Fue por motivos políticos , o fue una mujer ? Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinos políticos se complacen demasiado en hacer sólo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario había sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo ahí todo el tiempo” USM FI-1 GJHO Cálculo Proposicional 1