SR: Perpendicularidad Prof. José Juan Aliaga Maraver Expresión gráfica

Recta perpendicular a plano s p s2 Una recta p es perpendicular a un plano  si lo es a dos rectas no paralelas del mismo  p Todos los planos del haz que tiene por base una recta p perpendicular a un plano , son perpendiculares a dicho plano

Teorema de las tres perpendiculares β A m r  B i=i1   m1 r1 Las proyecciones ortogonales sobre un plano  de dos rectas perpendiculares entre si, (i) y (m), son dos rectas perpendiculares, (i1) y (m1), si una de ellas es paralela al plano de proyección

Línea de máxima pendiente Los dos planos  y  se cortan en la recta i. El punto P pertenece al plano , siendo el punto P1 su proyección ortogonal sobre . Las rectas m y r, que pasan por el punto P y pertenecen al plano  cortan en los puntos A y B a la recta i, formando los ángulos  y β respectivamente con sus proyecciones ortogonales sobre . La recta m es perpendicular a la recta i El ángulo  es mayor que el β al ser común el cateto PP1 a los triángulos rectángulos correspondientes, y de menor longitud el cateto PA (mínima distancia) P P1 A B  β

Angulo entre dos planos i  (a)  β  (b) (s)  (r)  El ángulo  que forman dos planos  y , es el que forman las rectas (r) y (s) de intersección con un plano  perpendicular a ambos planos (ortogonal a la recta intersección i). Cualquier otro plano, , secciona según rectas (a) y (b) que forman un ángulo β menor.

Recta perpendicular a plano f’ f’’ h’’ h’ p’’ p’ Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las rectas o direcciones que contiene

Sistema Axonométrico (O) z y O (z) x (y) (x)

SR_8P_01 Perpendicularidad Determinar la dirección normal al espejo plano ABCD en su centro geométrico A’’ D’’ B’’ C’’ A’ D’ B’ C’ Figura de análisis

SR_8P_02 Perpendicularidad El triángulo rectángulo isósceles (ABC) y el punto (P) pertenecen a un plano que es proyectado cilíndricamente sobre otro plano según la figura. Hallar la proyección de la distancia del punto (P) a la mediana (ma) C B A P Figura de análisis

SR_8P_03 Paralelismo y perpendicularidad Hallar la proyección ortogonal de un hexágono regular de lado 3u, sabiendo que la recta oblicua r es soporte de la proyección del lado AB y O la proyección del centro del polígono; además, el lado contiguo AF es paralelo al plano de proyección A B C D E F r O u Figura de análisis

SR_8P_04 Perpendicularidad Un cuadrado ha sido proyectado ortogonalmente sobre el plano del dibujo. Determinar la dirección perpendicular a d A D d C B Figura de análisis

SR_8P_05 Planos: Rectas notables Dado un plano , determinado por dos rectas (a) y (b) que se cortan en un punto P, determinar la recta perpendicular al plano  que pasa por el punto P P’’ P’’’ P b a b’ a’ Figura de análisis