PROBABILIDAD CLASE 1 Fenómeno y experimento aleatorio Espacio Muestral Sucesos Álgebra de Boole Sigma álgebra
Fenómenos y experimentos aleatorios Los fenómenos determinísticos, o no aleatorios, son aquellos en los que la verificación de un cierto conjunto de condiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado fijo. Un fenómeno aleatorio es aquel en el cual la verificación de un cierto conjunto de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de resultados posibles.
Fenómenos y experimentos aleatorios Llamamos experimento aleatorio a ese conjunto de condiciones determinadas. Se cumplen dos condiciones: * Se conocen previamente los resultados posibles de experimento. * Es imposible la predicción del resultado antes de conocerlo. En un experimento aleatorio por su complejidad y variabilidad no aspiraremos a predecir “caso por caso”, sino solamente en frecuencias.
ESPACIO MUESTRAL Dado un experimento aleatorio realizado en las mismas condiciones, llamamos espacio muestral, y lo anotaremos ,al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Este conjunto es el espacio de sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio. A los sucesos elementales los notaremos
ESPACIO MUESTRAL 1) Sea la experiencia aleatoria: Ejemplos 1) Sea la experiencia aleatoria: “Tirar un dado regular y observar la cara superior al caer”
“Tirar al aire una moneda y observar cuál cara cae hacia arriba” ESPACIO MUESTRAL Ejemplos 2)Sea el experimento: “Tirar al aire una moneda y observar cuál cara cae hacia arriba” Y si tiro 2 monedas ¿Cuál es el espacio muestral?
“Tirar una chinche al aire y observar como cae” ESPACIO MUESTRAL Ejemplos 3)Experiencia: “Tirar una chinche al aire y observar como cae”
ESPACIO MUESTRAL 4) Se selecciona un individuo de Montevideo y se mide Ejemplos 4) Se selecciona un individuo de Montevideo y se mide su altura ¿Cuál es el espacio muestral?
SUCESOS Llamamos suceso a cada subconjunto de Para cada suceso es posible decidir si ha ocurrido o no en función del resultado del experimento. Sea el experimento: “elegir al azar un número del intervalo Definimos un suceso A = “el número elegido es menor que ½”
SUCESOS Sucesos excluyentes: A y B son sucesos excluyentes si no pueden ocurrir a la vez. Experiencia: “tirar dos monedas al aire” A = “obtener exactamente una cara” B = “obtener dos caras”
SUCESOS Sucesos complementarios : A y B son dos sucesos complementarios si no pueden ocurrir a la vez y tampoco no ocurrir a la vez Experiencia: “tirar un dado ordinario” A= “Obtener un número divisor de 6” B = “ Obtener un 4 o un 5”
ÁLGEBRA DE BOOLE de sucesos En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice un ALGEBRA DE BOOLE en si cumple que: A b) Si B A, entonces A c) Si B A y C A , entonces BC A Observación: De a) y b) resulta que Ø A. También puede probarse que dados dos elementos del álgebra la intersección pertenece. Es más, la unión y la intersección finita de elementos del álgebra pertenece al álgebra.
Consideremos el experimento aleatorio que consiste ÁLGEBRA DE BOOLE de sucesos Ejemplos Consideremos el experimento aleatorio que consiste en tirar un dado A = es un álgebra de boole
ÁLGEBRA DE BOOLE de sucesos Ejemplos 2) Hay dos ejemplos triviales que son: el álgebra más grande: P( )={ todos los subconjuntos de } (conjunto de partes de ) y el algebra más chica T( )={ , Ø}
ÁLGEBRA DE BOOLE de sucesos Ejemplos = Números naturales A ={ B: B es finito o Bc es finito}
-ÁLGEBRA en En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice una -ALGEBRA en si cumple que: A b) Si B A, entonces Bc A c) Si B1, B2, ….Bn….. A, entonces Obs.: Se pueden probar las propiedades mencionadas anteriormente para las álgebras de boole.
-ÁLGEBRA en Analicemos el caso de Bn={2n} con n natural TODA SIGMA ALGEBRA ES UN ALGEBRA DE BOOLE Un ejemplo de un ALGEBRA DE BOOLE que NO ES una SIGMA ALGEBRA. = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} Analicemos el caso de Bn={2n} con n natural
-ÁLGEBRA de BOREL La -ÁLGEBRA engendrada por I se llama Sea el conjunto de intervalos: La -ÁLGEBRA engendrada por I se llama -ÁLGEBRA de BOREL y la representamos B Obs.: Notemos que B contiene a todos los complementos, intersecciones numerables y uniones numerables. Entonces el álgebra de Borel contiene a todos los tipos intervalos y puntos aislados
Bibliografía: Durá, J.M. y López, J.M. (1988). Fundamentos de la Estadística. Barcelona: Ariel S.A. Mordeki, Ernesto. (2007) Probabilidad: notas de clase. Olivera, Federico. Introducción a la Probabilidad: Notas de clase. Perera, Gonzalo (2014) Probabilidad y estadística matemática: Primer encuentro. Montevideo: Fin de Siglo.