4. Fonones: Vibraciones Cristalinas Bibliografía: Kittel, cap. 4. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad,  densidad del medio Solucion de la forma, ondas viajeras Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Desplazamiento Atómico en una red Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por: Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal. Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R. El desplazamiento del átomo i se puede escribir como Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Desplazamiento Atómico Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación. Problema se vuelva 1D: para cada k (vector de onda) hay 3 modos de vibración: 1 de polarización longitudinal 2 de polarizaciones transversales Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados res pecto de sus posiciones de equilibrio El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN) El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico). (No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es: De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cadena Lineal monoatomica Consideremos una línea de átomos. Entonces, la fuerza sobre atomo s es: Considerando sólo las interacciones con primeros vecinos mas cercanos: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Oscilaciones de una Cadena Lineal Ley de Newton (ecuación de movimiento): Dependencia temporal: luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Oscilaciones de una Cadena Lineal Solucion de la forma Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Oscilaciones de una Cadena Lineal Una forma más conveniente es: Finalmente: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Oscilaciones de una Cadena Lineal La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia Relación de k en función de k se llama relación de dispersión. Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Primera Zona de Brillouin k La solución de k sobre el espacio recíproco es periódica. Toda la información está en la primera zona de Brillouin. La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G ! (G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Primera Zona de Brillouin Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco Punto B, onda propagandose derecha Punto A, onda propagandose izquierda El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico al de k+G. Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas. El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es: El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco k vk=vsonido Vk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana. La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk (i.e. es la pendiente de k vs. k) Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Significado de vk=0 en frontera de zona de Brillouin dk/dk =0 en el límite de la ZB. Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB. Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria. Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo Vs= 0. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones. Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran. Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco. Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB). Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

límite de longitud de onda largo ka<<1  cos(ka)  1 - 1/2(ka)2 Resultado:  es directamente proporcional al vector de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas:  = vk (mecánica del continuo). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Dispersión en Cu Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Red Biatómica 1D M m un un+1 vn C Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Red Biatómica 1D m M C C C un vn un+1 Resultado: Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite: ka << 1 : cos(ka)  1 - ½ (ka)2 + ... ka =  (borde 1ZB) Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Red Biatómica 1D Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Red Biatómica 1D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

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Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas RELACION DISPERSION PARA REDES 3D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas Dispersión en KBr Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS Modelo cuantizado de las vibraciones de red: hay un conjunto de 3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia E=(n(w)+1/2) hw El numero medio de fonones en el modo con frecuencia w es Frecuencia de Debye wD : la mas grande frecuencia de vibracion en el cristal asumiendo la relacion de dispersion : w = v k. Temperatura de Debye Q= hwD/kB Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde orden ~1013 Hz, frecuencias opticas tipicas~ 1014 Hz, temperature Debye: diamante -3000 K, Cu -320K, Pb -90K Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES Neutrones pueden ser dispersados del cristal cuando absorben o Emiten un fonon Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES IONICOS Luz transmitida en el rango de infrarojo, w~ 1014 Hz (l~40-100mm) Es absorvida por cristales ionicos con modo optico de fonones Transmitancia a traves pelicula delgada de NaCl (0.17mm) Cl Cl Cl Na Na 50 60 70 l(mm) Transmittance 100% Iones de Cl y Na se mueven en direcciones opuestas Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas