Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura Licenciatura en Sistemas de Información Profesora Responsable: Esp. Prof. Liliana Caputo

ALGEBRA DE BOOLE Sea un conjunto B   en el que se han definido dos operaciones: Suma (+) y multiplicación (.) Entonces, ( B, +,.) tiene estructura de Algebra de Boole si, y sólo si, se cumplen:

1. LEY DE CIERRE 1.1. DE LA + x, y  B  x+y  B 1.2. DE LA. x, y  B  x.y  B

2. PROPIEDAD ASOCIATIVA 2.1. DE LA SUMA x, y, z  B  x+(y + z)=(x + y)+ z 2.2. DE LA MULTIPLICACION x, y, z  B  x.(y.z) = (x.y).z

3. PROPIEDAD CONMUTATIVA 3.1. DE LA SUMA x, y  B  x + y = y + x 3.2. DE LA MULTIP. x, y  B  x.y = y.x

4. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS 4.1. DE LA SUMA CON RESPECTO A LA MULTIPLICACION x, y, z  B  x+(y.z)=(x+y).(x+z) 4.2. DE LA MULTIPLICACION CON RESPECTO A LA SUMA x, y, z  B  x.(y+z)=(x. y)+(x.z)

5. EXISTENCIA DE NEUTRO 5.1. DE LA SUMA Existe 0  B tal que, cualquiera sea x  B, se cumple que x + 0 = x DE LA MULTIPLICACION Existe 1  B (1  0) tal que, cualquiera sea x  B, se cumple que x.1 = x

6. EXISTENCIA DE COMPLEMENTARIO Para cada x  B, existe otro, x’  B, tal que: x + x’ = 1  x. x’ = 0

EJEMPLO Consideremos ahora el conjunto B = {x = v(p)/ p es una proposición} es decir, B ={0,1}. Definimos + y. : x + y = v(p) + v(q) = v(p  q) x.y = v(p).v(q) = v(p  q) Entonces, ( B, +,.) tiene estructura de Algebra de Boole, porque cumple:

x=v(p)y=v(q) +01 x=v(p)0 01 y=v(q) LEY DE CIERRE DE LA +

x=v(p)y=v(q).01 x=v(p) 000 y=v(q) LEY DE CIERRE DE LA.

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA Sean: x = v(p), y = v(q) y z = v(r) 2.1. SUMA Ejercicio 3.2. MULTIPLICACION x.y =v(p  q)= v(q  p)= y.x

3. PROPIEDAD ASOCIATIVA Sean x = v(p), y = v(q), z = v(r) 3.1. DE LA SUMA x+(y + z)= v(p) + [v(q) + v(r)] = = v(p) + v(q  r) = v[p  (q  r)] = = v[(p  q)  r] = v(p  q) + v(r) = [v(p)+v(q)] + v(r)= (x + y) + z 3.2. DE LA MULTIPLICACION Ejercicio

4. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS 4.1. DE LA SUMA CON RESPECTO A LA MULTIPLICACION x+(y.z)= v(p)+ v(q  r)= v[p  (q  r)]= =v[(p  q)  (p  r)]=v(p  q).v(p  r)= =[v(p)+v(q)].[v(p)+v(r)] = (x+y).(x+z) 4.2. DE LA MULTIPLICACION CON RESPECTO A LA SUMA Ejercicio

5. EXISTENCIA DE NEUTRO DE + Y. En efecto: 0, 1  B  1  0. Además: = 0  = 0 +1 = = 1.0 = 0  1.1 = 1.

6. EXISTENCIA DE COMPLEMENTARIO Si x  B tal que x = v(p), denotemos con x’ = v(  p). Entonces, x’  B, y es tal que: x + x’ = v(p   p) = 1  x. x’ = v(p   p) = 0

EXPRESIONES BOOLEANAS Una expresión booleana es una suma de productos (llamados MINITERMINOS) ó un producto de sumas (llamadas MAXITERMINOS) de elementos de un álgebra de Boole.

DUALIDAD Dada una expresión booleana P, se llama DUAL DE P, a la expresión booleana que resulta de intercambiar sumas y productos. Ejemplo en B: Si P es x.y’ + x’.( x + y), su dual es: (x + y’).(x’ + x.y). PRINCIPIO DE DUALIDAD Si una proposición es derivable de los axiomas de álgebra de Boole, su dual también lo es.

PROPIEDADES 1. IDEMPOTENCIA: x + x = x  x. x = x 2. IDENTIDAD DE 0 Y 1: x + 1 = 1  x.0 = 0 3. ABSORCION x+(x.y) = x  x.(x+y)=x

PROPIEDADES 4. COMPLEMENTO DE 0 Y 1: 0’ = 1  1’ = 0 5. INVOLUCION: (x’)’ = x 6. LEYES DE DE MORGAN (x.y)’=x’+y’  (x+y)’=x’y’

FUNCIONES BOOLEANAS Una función booleana es cualquier función de B n en B, con n  N. Ejemplo: f:B 2  B/ f(x,y) = x’y + xy + 1

SIMPLIFICACION DE FUNCIONES BOOLEANAS Cuando se plantea un problema, no siempre, la expresión dada u obtenida de una función booleana es la óptima. Por ello, generalmente, dicha expresión puede ser simplificada, mediante:

1. TABLAS DE VERDAD En este caso, se consignan en una tabla los posibles valores de las variables (0 ó 1), teniendo en cuenta que si x = 0, debe ser x’ = 1, y viceversa, y se omiten aquellos mini(maxi)términos iguales a 0. Por ejemplo, si se tiene la tabla:

La expresión de la función booleana dada es: f:B 2  B/ f(x,y) = x.y + x’.y Por que: f(x,y) = 1  (x = y = 1)  (x = 0  y = 1), lo que equivale a x = y = 1  x’ = y = 1. xyf(x,y)

2.APLICACIÓN DE PROPIEDADES Las propiedades de las álgebras de Boole que hemos presentado permiten simplificar la expresión de una función booleana.

EJEMPLO Sea f: B 3  B tal que f(x, y, z)= = xy’z’+ xy’z + xyz’+ x’yz’ Entonces, por propiedad asociativa de la suma: f(x, y, z)= = (xy’z’+xy’z) + (xyz’+ x’yz’) Por propiedad distributiva: f (x, y, z)= xy’(z’+z) + yz’(x +x’)

EJEMPLO (Conclusión) Por existencia de complementarios: f(x, y, z)= xy’1 +yz’1 Por ser 1 neutro del producto: f(x, y, z)= xy’ +yz’

3.MAPAS DE KARNAUGH Si f es una función booleana de n variables, el correspondiente MAPA DE KARNAUGH consiste en una tabla de 2 n celdas, y que permite simplificar la función dada. Cada celda representa un minitérmino y en cada una se consigna 1, si se presenta en la expresión de la función.

MAPAS DE KARNAUGH Para simplificar la expresión, en la tabla se agrupan los “1” de casillas adyacentes en bloques cuadrados o rectangulares de 2, 4, 8,…, 2 n celdas y se descartan las variables cuyo valor cambia de una casilla a otra.

EJEMPLO Si f: B 3  B/f(x, y, z)= xy’z’+ +xy’z + xyz’+ x’yz’, como la función es de 3 variables, tendremos 8 celdas, dispuestas en una matriz de clase 2×4, como la siguiente:

EJEMPLO xy

EJEMPLO xyx’y

EJEMPLO xyx’yx’y’

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z z’

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z z’1

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z1 z’1

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z1 z’11

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z1 z’111

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z1 z’111

EJEMPLO Con verde se sombrearon las celdas correspondientes a los minitérminos xyz’, x’yz’ (xyz’ + x’yz’) Vemos que al desplazarse de una celda a la otra, x cambia a x’, mientras que z’ e y permanecen constantes. (yz’(x + x’) = yz’1) Luego, el minitérmino correspondiente es sólo yz’ (yz’1 = yz’)

EJEMPLO xyx’yx’y’xy’ z1 z’111

EJEMPLO Con gris se sombrearon las celdas correspondientes a los minitérminos xy’z, xy’z’ (xy’z + xy’z’ ) Vemos que al desplazarse de una celda a la otra, z cambia a z’, mientras que x e y’ permanecen constantes. (xy’(z + z’) = xy’1) Luego, el minitérmino correspondiente es sólo xy’ (xy’1 = xy’)

EJEMPLO (Conclusión) Entonces, la expresión booleana simplificada es: f(x, y, z) = yz’ + xy’

GRAFICOS DE COMPUERTAS Se utilizan para representar gráficamente funciones booleanas. Estos gráficos son utilizados en distintas áreas: mecánica, electricidad, electrónica e informática, entre otros.

COMPUERTAS BASICAS COMPUERTA SIMBOLO O (OR) x y x+y

COMPUERTAS BASICAS COMPUERTA SIMBOLO Y (AND) x y x.y

COMPUERTAS BASICAS COMPUERTA SIMBOLO NO(NOT) x x’

COMPUERTAS COMPUESTAS COMPUERTA SIMBOLO NOR x y (x+y)’

COMPUERTAS COMPUESTAS COMPUERTA SIMBOLO NAND x y (x.y)’