Física para Arquitectura REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICADE LA FUERZAS ARMADAS 2. Movimiento Armónico Simple PROFESOR: Ing. JULIO CESAR ULACIO San Fernando de Apure, Mayo de 2010 Teoría Ejemplos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO2 Conocimientos previos Rapidez lineal: Segunda ley de Newton: distancia tiempo

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO3 Movimiento circular El movimiento del cuerpo rígido, en general puede interpretarse como la composición de dos movimientos: traslación y rotación. Cuando un sólido rota, el segmento trazado desde el eje de giro a cualquiera de sus puntos barre un ángulo respecto a dicho eje de giro. Existe una relación entre este ángulo (expresado en radianes) y el segmento de arco formado: r = 1,20 m

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO4 Ejercicio Un barco carguero de 200 m de longitud forma un ángulo de  /10 radianes con la visual de un observador. ¿A qué distancia del observador se encuentra el barco? Solución

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO5 Rapidez angular La rapidez con que rota un cuerpo rígido depende del tiempo que demora en barrer un ángulo determinado. A dicha rapidez se le denomina rapidez angular, , y se obtiene dividiendo el ángulo barrido entre el tiempo transcurrido. Rapidez angular media Rapidez angular instantánea

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO6 Relación entre rapidez tangencial y angular A partir de la relación que existe entre el radio y el ángulo, se puede hallar una relación entre la rapidez angular y la rapidez tangencial o lineal. La unidad de medida también es la revolución por minuto o rpm. Ejercicio La rapidez angular de un DVD-ROM de computadora varía entre 200 rpm y 450 rpm. Si el radio del disco es de 10,0 cm, ¿cuál es la rapidez tangencial máxima del borde del disco? Solución

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO7 Periodo y frecuencia en el MCU Otras magnitudes usadas para describir el movimiento circular son el periodo (T) y la frecuencia (f ). El periodo es el tiempo que demora un cuerpo en dar una vuelta completa. Se mide en unidades tiempo. Por ejemplo, Si el motor rota a 1200 rpm, en 60 segundos dará 1200 vueltas. Lo que significa que su periodo será de La frecuencia es el número de veces que rota el cuerpo por segundo. Se mide en hertz. Motor asíncrono para ascensor 1200 rpm F=20 Hz

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO8 Dirección de la velocidad angular

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO9 Causa del movimiento circular uniforme La fuerza resultante está dirigida hacia el centro de giro. Esta fuerza recibe el nombre de centrípeta y es la responsable de la producción del movimiento circular.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO10 La aceleración centrípeta o radial también se expresa a través de la velocidad angular. Fuerza centrípeta y aceleración centrípeta en el MCU La fuerza centrípeta, al igual que la expresión general de la segunda ley de Newton, es igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO11 Ejercicio Un lanzador de disco gira el disco un círculo de radio 80,0 cm. En cierto instante, el lanzador gira con una rapidez angular de 5,0 rad/s. Calcule la aceleración centrípeta del disco. = 20 m/s 2

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO12 MCUV: aceleración angular constante La aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular. En el caso de que la aceleración angular es constante se puede hallar la expresión de la velocidad angular. La expresión de la posición angular.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO13 Movimiento circular uniformemente variado

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DIAGRAMA PARA LA RELACION ENTRE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE A P’ B P P M. A. S M.C.U x-x R = A O X X 16/11/201663ING. JULIO CESAR ULACIO

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO64 Movimiento periódico Un cuerpo con movimiento periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable, alrededor del cual se desplaza el móvil. La característica de este movimiento es que se repite regularmente; es decir, se repite cada cierto tiempo, T, denominado periodo. Ejemplo: –El movimiento de la Tierra alrededor del Sol. El movimiento de los planetas alrededor del Sol

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO65 Ejercicios Ejercicio. Un transductor ultrasónico empleado para el diagnostico de fracturas en estructuras oscila con una frecuencia de 6,7 MHz. ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene? Respuesta T = 0,15 µs  = 4,2 x 10 7 rad/s Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0, 800 s su desplazamiento es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud; b) el periodo, c) la frecuencia. Respuesta A = 0,120 m T = 1,60 s

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO66 Movimiento Armónico Simple El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento. Un ejemplo de dicho movimiento es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción. Donde k es la constante de elasticidad del resorte. Pregunta ¿Qué resorte se estirará más por la acción de una misma fuerza, uno de k = 200 N/m o uno de 400 N/m?

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO67 Elementos del MAS A A x v = 0 v máxima A - amplitud x - elongación T - periodo f - frecuencia

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO68 Energía del MAS La energía que almacena un resorte está dada por la expresión: y recibe el nombre de Energía potencial elástica. La unidad de la energía almacenada por el resorte es el joule (J). La energía potencial elástica cambia de valor cuando cambia la elongación del resorte. Es máxima cuando la elongación es igual a la amplitud y mínima cuando la elongación es cero; es decir, se encuentra en la posición de equilibrio.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO69 Energía en el MAS Por el contrario, la energía cinética del cuerpo en MAS es máxima cuando se encuentra en la posición de equilibrio y cero en las posiciones de máxima elongación (amplitud). Si el bloque oscila sobre una superficie sin fricción, la energía total se conserva, por lo que al escribir la ley de conservación de la energía entre cualquier punto de la trayectoria del cuerpo y el extremo se tendrá:

DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE ELONGACIÓN Ø x o P’ P(t) R=A X Y CosØ = x/A Despejando : x = ACosØ Como Ø = wt, Además: w = 2  / T,  en grados También: 2 2 = 360 grados Como T = 1/f, Entonces: x = Acos(wt) Se tiene que: x = Acos(  t / T) Remplazando: x = Acos(360t / T) Finalmente x = Acos(360tf) Por trigonometría: B 16/11/201670ING. JULIO CESAR ULACIO

DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE VELOCIDAD Ø V o P’ P(t) R=A X Y B V L y V V x x  Por construcción <  podemos escribir entonces:, y despejando: V = V L Sen  Como V esta dirigida hacia la izquierda, entonces; V = -V L Sen  Pero como V L = wR, R=A y  = wt, entonces V = - wASen(wt) Siendo w = 2  / T, luego: V = -wASen(  t/T) Además f = 1/T finalmente V = -wASen (  t f) 16/11/201671ING. JULIO CESAR ULACIO

DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE VELOCIDAD Ø V o P’ P(t) R=A X Y B V L y V V x x  CONTINUACION… Otra ecuación para calcular la velocidad en función de la amplitud y de la elongación es: O también Si en estas ecuaciones x = 0, entonces se obtiene la velocidad maxima, es decir: O también 16/11/201672ING. JULIO CESAR ULACIO

DEDUCCION DE LA FÓRMULA DE ACELERACIÓN Ø o P’ P(t) R=A X Y B a  Teniendo en cuenta que <  = < , se tiene que: y despejando: Pero como y entonces Remplazando y simplificando se tiene que Además Luego como Y el vector esta dirigido a la Izquierda, entonces finalmente: 16/11/201673ING. JULIO CESAR ULACIO

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO74 Ejercicios Ejercicio Pág. 461 Un objeto con una masa de 0,500 kg se sujeta a un resorte cuya constante es de 10,0 N/m. Si se tira del objeto para bajarlo 0,050 m respecto a su posición de equilibrio y se suelta, ¿qué rapidez máxima alcanzará? Ejercicio Pág. 461 A) ¿En qué posición es máxima la rapidez de una masa de un sistema masa-resorte? 1) x = 0, 2) x = A o 3) x = -A? B) Con m = 0,250 kg, k = 100 N/m y A = 0,10 m, ¿cuál es la rapidez máxima? Ahora se puede resolver los ejercicios 13, de la página 461 del texto Wilson Buffa 6° Ed.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO75 Ecuación del MAS El MAS puede interpretarse como el estudio del movimiento de la proyección de un cuerpo que realiza un movimiento circular uniforme. Recordemos que en el MCU Por lo que si se escribe la ecuación matemática de la trayectoria de la proyección, se tendrá: O, proyección

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO76 Ecuación del MAS La ecuación del MAS es: A, ω y δ son constantes A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio El argumento de la función sen (ωt +δ ) se denomina fase y la constante δ es el ángulo de fase.

16/11/2016ING. JULIO CESAR ULACIO77 Ejercicio Ejercicio Pág. 461 Para la ecuación del MAS La posición y del objeto en ¾ del periodo es a) +A, b) –A, c) A/2, d) 0. Ejercicio Pág. 462 El desplazamiento de un objeto está dado por Calcule a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo de oscilación del objeto. Ahora se puede resolver los ejercicios 27, 29, 35, 37, 39, 41, 43, 45 de la páginas 461 y 462 del texto Wilson Buffa 6° Ed.