Conceptos Básicos 2

Caminos Dada una red, distintos tipos de flujo pueden ser de interés Imaginemos flujo de objetos (items indivisibles que están en un único lugar a un dado tiempo). Su difusión es por transferencia. Puede haber casos en que:  se mueven por el grafo sin restricciones acerca de repetir enlaces o nodos ya visitados (e.g. billetes, libros, …).  se mueven por el grafo sin repetir enlaces (i.e. ropa usada, re-gifting)  Correo: se mueven por el grafo desde un nodo origen hacia uno destino minimizando distancia recorrida.

Caminos camino (walk): secuencia de vertices tales que vértices consecutivos están conectados (en grafos dirigidos la secuencia debe respetar las orientaciones de los enlaces) sendero (trail): es un camino que no repite enlaces camino simple (path):es un camino que no repite vértices ciclo: camino de más de dos vértices que no repite elementos, salvo el primero y último longitud de un camino C: número de pasos que contiene desde su comienzo hasta su final (Para redes pesadas, longitud asociado a un camino: suma de los pesos de los enlaces involucrados) camino geodésico : camino de menor longitud que une un par dado de vértices. c walk ={A,B,D,B,C} c trail ={A,B,D,C,B} c path ={A,B,C} c ciclo ={B,C,D,B}

Longitud de caminos Buscando a lo ancho…Breath-First Search

Caminos  Cuántos caminos de una dada longitud λ existen en una red?  Cuántos ciclos existen de una dada longitud λ existen en la red? ↼ ojo

lo mismo…pero diferente.  Cuántos ciclos existen de una dada longitud λ existen en la red? autovalor i-esimo de A Quiero demostrar esto último de otra manera Sea A una matriz cuadrada, real, no necesariamente simétrica. Es posible escribirla como (descomposición de Schur)

() Sea A una matriz cuadrada, real, no necesariamente simétrica. Es posible escribirla como (descomposición de Schur) o sea Q T x es autovector de T con autovalor α

() Sea A una matriz cuadrada, real, no necesariamente simétrica. Es posible escribirla como (descomposición de Schur) propiedad de la traza de producto de matrices

() Entonces mostramos que para toda matriz A cuadrada, real, no necesariamente simétrica. Nota 1 A podría tener autovalores complejos, pero como es real aparecen siempre los conjugados por lo que la traza queda real. Nota 2 Si A fuese simétrica T queda diagonal y la descomposión de Schur se reduce a descomposición en autovalres y autovectores canónica

Caminos  Cuántos caminos de una dada longitud λ existen en una red?  Cuántos ciclos existen de una dada longitud λ existen en la red?  Cómo saber si mi grafo es acíclico? Un grafo de matriz de adyacencia A es acíclico ↔ todos los autovalores de A son nulos ← →  si G es acíclico A puede escribirse como una matriz triangular superior  una mts tiene diagonal cero entonces todos sus autov. son nulos

Componentes de un grafo Grafo conexoGrafo disconexo de dos componentes Componente de un grafo subconjunto maximal de vértices tal que existe un camino entre cualesquiera dos de sus elementos

Componentes de un grafo La matriz de un grafo disconexo se puede llevar, mediante permutaciones de filas y columnas, a una matriz diagonal en bloques

Buscando componentes

Componentes de un grafo dirigido  componente débilmente conexa: componente conexa del grafo no-dirigido asociado 2 componentes débilmente conexas 5 componentes fuertemente conexas  componente fuertemente conexa: subconjunto maximal de nodos tal que existen caminos dirigidos entre cualquier par ordenado del conjunto.  in-component inducido por un nodo-i: subconjunto de nodos desde los que se alcanza al nodo-i a través de algun caminos dirigido del grafo  out-component inducido por un nodo-i: subconjunto de nodos alcanzables desde nodo-i a través de caminos dirigidos del grafo

Caminos Típicamente hay mas de un camino para ir de un nodo a otro dentro de la red, no todos los caminos son independientes o disjuntos Dos caminos entre un dado par de vértice son nodo-independientes (enlace- independiente) si no comparten ni un nodo (enlace), a menos de sus extremos 2 caminos enlace-independientes entre A y B otros dos caminos enlace-independientes… Se puede utilizar el nro de caminos independientes como medida de que tan fuertemente conectados están dos nodos de la red idea de conectividad A y B tienen:  conectividad de enlace 2  conectividad de nodo 1

Conjuntos de corte C es un cuello de botella para el flujo A-B. Si se remueve C, A y B quedan desconectados Un conjunto de vértices es un conjunto de corte (cut set), para un dado par de vértices, si su remoción los deja desconectados. Ejemplo: {C} es un conjunto de corte de tamaño 1 para el par (A,B) {D,E} es un conjunto de corte de tamaño 2 para el par (A,B) D E Un conjunto de enlaces un conjunto de corte (cut set), para un dado par de vértices, si su remoción los deja desconectados. Ejemplo: {(C,D),(C,E)} es un conjunto de corte de tamaño 1 para el par (A,B) {(C,D),(D,B),(C,E)} también es un conjunto de corte de tamaño 1 para el par (A,B) Conjunto de corte minimal: conjunto de corte de mínima cardinalidad.  Para redes pesadas: conjunto de corte de mínimo peso acumulado 2 A B

Conectividad y cjtos de corte  El tamaño del conjunto de corte minimal de nodo entre dos vértices es igual a la conectividad-de- nodo (nro de caminos nodo-independientes) entre los mismos.  El tamaño del conjunto de corte minimal de enlace entre dos vértices es igual a la conectividad-de- enlace (nro de caminos enlace-independientes) entre los mismos. Conceptos de conectividad, conjuntos de corte y flujos en redes están relacionados Teorema max flow/min-cut  El flujo máximo entre un par de vértices de una red es igual a la suma de los pesos de los enlaces del conjunto-de-corte-de-enlaces minimal entre los mismos 2 A B C Max flow:  A-B: 3  A-C: 5

Caminatas al azar  Imaginemos un caminante (Juan) severamente alcoholizado caminando por una red (simple y conexa / fuertemente conexa).  Consideremos el tiempo de manera discreta.  A t=0 Juan se encuentra en el nodo-k  Al pasar un intervalo Δt Juan avanza desde el nodo donde se encuentra actualmente hacia alguno de sus vecinos prob que esté en nodo-j a tiempo t prob de elegir el enlace que lleva de j a i

Caminatas al azar…y difusión  Esta misma ecuación aplica a procesos de tipo difusivos en una red, donde en cada paso temporal toda la cantidad de material que se encuentra en el nodo-i es repartida y enviada a sus vecinos p i (t) probabilidad de encontrar a Juan en el nodo-i, en el paso temporal t x i (t) cantidad de material que a tiempo t se encuentra en el nodo-i

Donde está Juan? matriz de adyacencia con columnas normalizadas por grado del nodo

Donde está Juan? es la solución buscada

a tiempos largos Juan está en…

a tiempos largos Juan está en…

 La probabilidad de encontrar a Juan en el nodo-i es proporcional al grado del nodo  En este proceso difusivo, o de caminata, las cosas tienden a uniformizarse (en este caso a nivel de enlaces)  La probabilidad de encontrar a Juan atravesando uno de los M enlaces de la red, p enlace (e r =(i,j)), es uniforme prob de elegir uno de los vecinos de j prob de estar en j

y a tiempos cortos?

Referencias Networks, An Introduction. Mark Newman Charlas – Peter Dodds – Random Walk and diffusion – Vito Latora