DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribuciones discretas: Bernouilli, binomial, Poisson y multivariante. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores: Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 9
DISTRIBUCION DE BERNUILLI La distribución de Bernuilli es el modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso: Cuando es acierto la variable toma el valor 1 Cuando es fracaso la variable toma el valor 0 Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale); p robabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten); p robabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas)
Al haber únicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios: A la probabilidad de éxito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" Verificándose que: p + q = 1 Veamos los ejemplos antes mencionados : Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire: Probabilidad de que salga cara: p = 0,5 Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1 Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad: Probabilidad de ser admitido: p = 0,25 Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1 Ejemplo 3: Probabilidad de acertar una quiniela: Probabilidad de acertar: p = 0,00001 Probabilidad de no acertar: q = 0,99999 p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1
DISTRIBUCION BINOMIAL Las distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli: La distribución de Bernouilli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número"n" de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? " k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6) " n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 " p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5 La fórmula quedaría: Luego, P (x = 6) = 0,205 Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.
Ejemplo 2:¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado 8 veces? " k " (número de aciertos) toma el valor 4 " n" toma el valor 8 " p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666) La fórmula queda: Luego, P (x = 4) = 0,026 Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el número 3 al tirar un dado 8 veces.
Ejemplos La probabilidad de que cierta clase de componentes sobreviva a una prueba de choques es ¾. Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los 4 componentes que se prueben. Sol 27/128
ejemplo Las posibilidades de que un bit transmitido a través de un canal se reciba con error es de 0.1. Suponga además que los ensayos de transmisión son independientes. Sea x el numero de bits con error en los siguientes 4 bits transmitidos, determine la probabilidad de que lleguen 2 bits con error 0.0486
APLICACIONES Todo experimento que tenga resultados binarios (éxito/fracaso, defectuoso/no defectuoso, enfermo/sano, mujer/hombre, etc.) y cuyos ensayos sean independientes. Ejemplos: Medicina: fármacos, cura/no cura Militares: misiles dan en el blanco/no dan. Comunicaciones: error de una cadena de bits.
MEDIA Y VARIANZA La media y varianza de la distribución binomial, es: µ= np Varianza = npq Ejemplo: en el de 4 bits, µ= 4 x 0.1= .4 Varianza= 4 x 0.1x0.9= 0.36
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo: Distribución Poisson. Las distribución de Poisson parte de la distribución binomial: Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10 La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:
Vamos a explicarla: El número "e" es 2,71828 " l " = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo) " k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando Veamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson. Luego, P (x = 3) = 0,0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%
Otro ejemplo: La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos? Luego, P (x = 5) = 4,602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%..
La media y varianza de la distribución POISSON , es: Varianza = np Consecuencia: Si la varianza de los conteos es mucho más grande que la media de los mismos, entonces la distribución de Poisson no es buen modelo para la distribución de la variable.
ejemplo Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar reciba? a) Ninguna llamada. b) Exactamente 3 llamadas. c) No más de 3 llamadas.
ejemplo a) Ninguna llamada. x = 0 sol. 0.00674963 b) Exactamente 3 llamadas: x = 3 sol. 0.1404 No más de 3 llamadas: x < 4 P(x < 4) = P(x 3) = P(x0 = 0) + P(x1 = 1) + P(x2 = 2) + P(x3 = 3) Sol. P(x < 4) = 0.0067+ 0.0337 + 0.0842 + 0.1406 = 0.2652 = 26.52 %
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características: a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
hipergeométrica La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo: Donde: Vamos a tratar de explicarlo: N: es el número total experimentos N1: es el número total que favorecen el evento 1 N2: es el número total que favorece el evento 2 k: es el número de eventos cuya probabilidad se está calculando n: es el número de ensayos que se realiza
Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras? Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%.
hipergeometrica Veamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas? Entonces: N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4 Si aplicamos el modelo: Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%. Pero este modelo no sólo se utiliza con experimentos con bolas, sino que también se aplica con experimentos similares:
Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos? Solución: N = 10 objetos en total Sol. 0.3 k = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra
Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan, A) Ninguna batería en buen estado B) Al menos una batería en buen estado C) No mas de dos baterías en buen estado
N=9 (total de elementos del conjunto) Respuesta: Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeométrico con N=9 (total de elementos del conjunto) K=4 (total de elementos considerados ‘éxitos’) n=3 (tamaño de la muestra) X: cantidad de baterías en buen estado en la muestra (variable aleatoria discreta) Entonces la distribución de probabilidad de X es: f(x) = P(X=0) = f(0) = =0.119 P(X1) = 1 – P(X<1) = 1 – f(0) = 1 - 0.119 = 0.881 P(X2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.9523
MEDIA Y VARIANZA µ= np = nk/N Varianza = npq= (nk/N) [N-n/ N-1 ] La media y varianza de la distribución hipergeometrica es , es: µ= np = nk/N Varianza = npq= (nk/N) [N-n/ N-1 ]