MATEMÁTICAS DISCRETAS. GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES SAN FELIPE DE PROGRESO Organismo Público Descentralizado del Gobierno del Estado de México MATEMÁTICAS DISCRETAS. UNIDAD VI. CARACTERÍSTICAS DE LOS GRAFOS. ELIGIO RIVERA REYES. EDUARDO ROCHA CÁRDENAS. ISAEL ROCHA MATEOS.

CARACTERÍSTICAS DE LOS GRAFOS. Grafos simples. Un grafo es simple si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Grafos conexos. Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Grafos completos. Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une.

Grafos bipartitos. Un grafo G es bipartito si puede expresarse como G = \{V_1 \cup V_2, A\} (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones: * V1 y V2 son disjuntos y no vacíos. * Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2. No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2. Lazos o bucles. Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden. Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo G = (V,E) donde: * V\neq\emptyset E\subseteq \{x\in\mathcal P(V): |x|=2\} es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V\,. Un grafo mixto. Es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas. Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.

REPRESENTACION DE LOS GRAFOS. Matriz de Adyacencia. La representación de la matriz de adyacencia es útil para aquellos algoritmos que precisan saber si existe o no una arista entre dos vértices dados. La representación de un grafo con listas de adyacencia requiere un espacio del orden del máximo entre n (el número de vértices) y a (el número de aristas). Ejemplo de grafo dirigido. Su matriz de adyacencia

Matriz de Incidencia. Una matriz de incidencia de un grafo es aquella que cumple con las siguientes condiciones: Ningún vértice está conectado consigo mismo. Uno y otro vértice están unidos, a lo más por un solo borde. A la matriz de incidencia la denotamos por HG La matriz de incidencia de un grafo simple G con n vértices { y k aristas es la matriz n x k, donde si es incidente con y en caso contrario.

REDES DEFINICIÓN. Es una herramienta que nos permite modelar problemas sobre flujo de materiales. TEOREMAS. TEOREMA 1. Sea un flujo sobre una red , entonces se cumple que el flujo que sale de la fuente es igual al flujo que llega al depósito; más exactamente. En donde es el nodo fuente y es el nodo destino.

Teorema 2. Sea F un flujo en G y sea (p,p) un corte entonces la capacidad de (p,p) es mayor o igual que l valor de F; es decir. Teorema 3. Sea F un flujo en g y sea (p, p) un corte en G. Si la igualdad se cumple entonces el flujo es máximo y el corte es mínimo. Además, la igualdad se cumple.

ÁRBOLES. Un árbol es un grafo no dirigido, conexo y sin ciclos. Un grafo no dirigido es un árbol si, y solo si, hay un único camino entre cada pareja de vértices. Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus vértices ha sido designado como la raíz y todas las aristas están orientadas de modo que se alejan de la raíz.

ALGORITMO DE BUSQUEDA EN PROFUNDIDAD A O LARGO. Paso 1. Se asigna a la variable y se inicializa T como un árbol que consta solamente de este vértice. (El vértice será la raíz del árbol recubridor que se va a desarrollar) 1 v v 1 v Paso 2. Seleccionamos el subíndice más pequeño, tal que y no ha sido visitado todavía. i 2 i n ≤ ≤ i v 80. Si no se encuentra tal subíndice, entonces se va al paso 3. En caso contrario, se hace lo siguiente: (1) Añadimos a la arista al árbol T; (2) asignamos a (3) regresamos al paso 2. { , } i v v i v v Paso 3. Si, el árbol T es el árbol recubridor (ordenado, con raíz) del orden dado. i v v= Paso 4. Si, retrocedemos desde Si es el vértice asignado a en T, entonces asignamos a y regresamos al paso 2. i v v ≠ . vu v u v.