Introducción a los Números Fraccionarios 11/4 Introducción a los Números Fraccionarios 3/5 1 2/9 Por Eugenio Skerrett Parrilla, M A ed

Introducción Ésta es una serie de 4 lecciones. La misma resume temas sobre el origen y varias características básicas del número fraccionario. A continuación, el desarrollo de los temas.

Índice Índice Lección Temas página 1 Naturaleza del número fraccionario Origen 6 Escritura 7 Ejercicios 9 Respuestas 10 2 Clasificación del número fraccionario Clases de números fraccionarios 11 Índice puedes continuar . . .

Índice Lección Tema página Clasificación del número fraccionario 15 Ejercicios 16 3 El número mixto Su naturaleza 17 Expresión en mixto 19 Expresión en impropio 22 Ejercicios 23 Respuestas 24 puedes continuar . . .

Índice Lección Tema página 4 Números equivalentes Su naturaleza 25 Expresión en mayores 29 Expresión en menores 33 Ejercicios 36 Respuestas 37 puedes continuar . . .

El origen del número fraccionario Naturaleza del número fraccionario Lección 1 Semejante a otros muchos conceptos matemáticos, el número fraccionario surge de una necesidad práctica. Fracción: Pedazo, porción, fragmento, algo incompleto Número fraccionario: Número que se utiliza para representar a una fracción 6 puedes continuar . . .

Escritura del número fraccionario Los números naturales y los cardinales, representan objetos y situaciones completas. Es aparente, entonces, que los fraccionarios deben escribirse de forma diferente de los primeros: El numerador cuenta las partes disponibles, que se están utilizando o considerando. El denominador muestra la forma en que el completo se ha dividido. El número fraccionario supone que el entero se ha dividido en partes iguales. En conjunto, al numerador y al denominador se les llama, los términos del número. numerador ____________ denominador 7 puedes continuar . . .

Escritura del número fraccionario Ejemplo 1: Escribe el número que represente la fracción 3/4 Ejemplo 2: Presenta un diagrama para el número dado 2/5 puedes continuar . . . 8

Ejercicios de práctica Asigna un número o presenta un diagrama, según sea el caso en cada uno de los siguientes(verifica tus respuestas en la próxima página). 1. 2. 3. 7 / 9 4. 5. 3 / 7 9

Respuestas de los ejercicios 1. 5 / 12 Si no tienes duda, procede 2. 2 / 3 con el próximo contenido. De 3. lo contrario, repasa. 4. 3 / 5 5. 10

Clases de números fraccionarios Una fracción es algo incompleto. No obstante existen situaciones en las que un “entero” se ha dividido en partes y todas están presentes. Es decir, el entero se ha subdividido en varias partes pero ninguna se ha eliminado. Llanamente, todavía existe el entero. Ejemplo 1: Clasificación del número fraccionario Lección 2 puedes continuar . . . 11

Clases de números fraccionarios En otros casos existen varios enteros subdivididos junto con algo incompleto. Es semejante a que tuviésemos varios enteros los cuales se partieron en pedazos y al tratar de formarlos nuevamente, alguno se quedó incompleto. Ejemplo 2: puedes continuar . . . 12

Clases de números fraccionarios Observa que, de acuerdo con la definición del número fraccionario, la figura del ejemplo 1 se representaría por 4/4. Para el ejemplo 2 escribiríamos 15/4. Pero hay más. Las figuras mismas sugieren otra forma numérica que las puede representar. En el ejemplo 1 la cantidad es un “completo”, un “entero”. De ahí que podemos utilizar al 1, para representarla. Claramente 4/4 = 1. puedes continuar . . . 13

Clases de números fraccionarios En el ejemplo 2 hay varios enteros y una fracción. Por lo tanto podemos escribir 3 ¾. Ésto nos exige que clasifiquemos al número fraccionario en tres: propio, impropio y mixto. puedes continuar . . . 14

Clasificación del número fraccionario Significado Escritura propio Representa a una fracción; es una cantidad menor que el entero Su numerador es menor que el denominador impropio Representa a una cantidad que es igual o mayor que el entero Su numerador es igual o mayor que el denominador mixto Representa a una cantidad que es mayor que el entero y no alcanza al próximo Un natural sumado adjunto a un propio puedes continuar . . . 15

Ejercicios de práctica Utiliza los impares de la sección 5.2, páginas 140 y 141 del libro. Las respuestas están indicadas en la página 141. Puedes continuar de no tener dudas. De lo contrario, repasa la lección. 16

La naturaleza del número mixto Reconocemos al número mixto como la suma de un natural y un propio. Se escribe, llanamente hablando, con un fraccionario propio al lado de un natural. Es menester visualizar que los mixtos esencialmente realizan la misma tarea que un impropio. Podemos establecer que un mixto sencillamente es otra forma de escribir un impropio. El número mixto Lección 3 Ejemplo 1: = 3/2 = 1 ½ puedes continuar . . . 17

La naturaleza del número mixto Ejemplo 2: = 11/4 = 2 3/4 El número mixto existe por razones prácticas. Es más fácil ver cuántos enteros hay en una cantidad mediante el número mixto que mediante el impropio. Toda aquella cantidad que es igual o mayor que el entero que surja de una situación real, exige que se escriba con naturales o números mixtos. Más que matemática, ésta es una regla práctica(de sentido común). puedes continuar . . . 18

Expresión en mixtos (o en natural) Para expresar un impropio en natural o mixto es innecesario recurrir a diagramas. Basta con determinar cuántos enteros se pueden formar según indica la escritura del impropio. Una simple inspeción nos lleva a lo siguiente: Para expresar un impropio en mixto o en natural, basta con dividir el numerador por el denominador. puedes continuar . . . 19

Expresión en mixtos (o en natural) Hay que tener claro que en el proceso, se formen todos los enteros posibles. Ejemplo 3a: 15/4 Ejemplo 3b: 3/2 3 (cociente) 1 4 ) 15 15/4 = 3 3/4 2 ) 3 3/2 = 1 1/2 12 2 3 (residuo) 1 puedes continuar . . . 20

Expresión en mixtos (o en natural) Ejemplo 3c: 4/4 Ejemplo 3d: 20/5 1 4 4 ) 4 4/4 = 1 5 )20 20/5 = 4 4 20 0 0 Observe que, en todos los casos, el residuo indica la cantidad de pedazos que forman el incompleto, mientras que el cociente, todos los “completos”. En los ejemplos 3c y 3d reconocemos que se formaron completos sin ninguna pieza adicional. puedes continuar . . . 21

Expresión en impropios ¿Qué podemos decir del proceso inverso? ¿Cómo expresarías de la forma mixta (o de número natural) a impropia? Razónalo y procede con los ejercicios. 22

Ejercicios de práctica A partir del número dado, expresa en mixto, natural o impropio, según aplique cada caso. Verifica tus respuestas en la próxima página. 11/3 6. 7/5 3 ¼ 7. 11/7 5 ¾ 8. 23/1 5/5 9. 14 ½ 13 10. 12/4 23

Respuestas de los ejercicios 3 2/3 Si no tienes dudas con éste, 13/4 continúa con el próximo tema. 23/4 A tu conveniencia, repasa el 1 actual antes de continuar. 13/1 1 2/5 1 4/7 23 29/2 3 24

La naturaleza de los números equivalentes Los números fraccionarios son muy flexibles. Una muestra de ésto es que el número impropio se puede escribir como mixto. En realidad cualquier caso de número fraccionario se puede escribir de más de una forma . Veamos: Números equivalentes Lección 4 Claramente el entero fue subdividido paulatinamente de forma diferente. ¿Qué puede significar ésto? puedes continuar . . . 25

La naturaleza de los números equivalentes Observemos otra vez: = ½ = 2/4 = 4/8 ¿Pudiste apreciar que según cambia la forma de dividir el entero, se tiene que asignar un número diferente? Por otro lado, ¿qué puedes decir de la fracción original, es decir, de la porción coloreada? ¿Aumenta de tamaño? ¿Disminuye? Debemos estar de acuerdo con que no hay cambios en el tamaño. Únicamente cambia la forma de cada pedazo. puedes continuar . . . 26

Naturaleza de los números equivalentes Cuando ésto ocurre, se dice que los números que surgen son equivalentes. Números equivalentes: son aquellos que se escriben diferentes pero representan la misma porción puedes continuar . . . 27

Naturaleza de los números equivalentes Considera los equivalentes ½, 2/4, 4/8. Verifica que, partiendo del ½, los términos de cada uno van en aumento: 1 2 4 ; 2 4 8. En este sentido, se dice que el ½ se expresó en términos mayores. Visto a la inversa se le llama expresión o reducción a términos menores. Generalmente se le dice, simplificación. puedes continuar . . . 28

Expresión en mayores Es necesario descubrir un regla que nos permita expresar un número dado en términos equivalentes mayores. Si recordamos cómo es que surgen los equivalentes para una fracción dada, observaremos un patrón. Éste, nos permitirá conocer la regla que buscamos. Observa la serie de equivalentes ½, 2/4, 4/8. Tomando por separado los numeradores, el 1 pasa a ser 2 y luego 4. puedes continuar . . . 29

Expresión en mayores Existe un patrón entre los tres numeradores: el 1 multiplicado por 2 es igual a 2. También, multiplicado por 4, es 4. Tomemos los denominadores: el 2 pasa a 4 y luego a 8. Igualmente hay un patrón: 2 multiplicado por 2 es 4 y multiplicado por 4 es 8. ¿Puedes distinguir la relación existente? puedes continuar . . . 30

Expresión en mayores Podemos decir que: 1 x 2 = 2 ; 1 x 4 = 4 El patrón observado es siempre el mismo en todos los casos. Entonces, podemos concluir que: para expresar un número dado en términos mayores equivalentes, basta con multiplicar ambos términos de éste por un natural mayor que 1. puedes continuar . . . 31

Expresión en mayores Ejemplo: Presenta dos equivalentes en términos mayores para 3/7 3 x 2 = 6 ; 3 x 3 = 9 ; entonces: 3 = 6 = 9 7 x 2 14 7 x 3 21 7 14 21 A partir de un número se pueden obtener infinitas formas equivalentes en términos mayores. La expresión en mayores es muy útil en algunos procesos. puedes continuar . . . 32

Expresión en menores El otro aspecto de los equivalentes es la expresión en menores o simplificación. Razonando como con el caso anterior, podemos inferir una regla para éste también. Habíamos visualizado que simplificar es lo inverso a la expresión en mayores. Además, conocemos que la división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, por lógica podemos decir que: para expresar un número dado en términos menores equivalentes(simplificarlo), basta con dividir sus dos términos por un número natural diferente de uno. puedes continuar . . . 33

Expresión en menores Ejemplo: Simplifica la expresión 16/20 16 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 entonces: 16 = 8 = 4 20 ÷ 2 10 ÷ 2 5 20 10 5 A diferencia de la expresión en mayores, al simplificar encontraremos una cantidad finita de formas equivalentes. Más aún, como parte de la regla de simplificación, se indica que todo número tiene que presentarse en su forma más simple. puedes continuar . . . 34

Expresión en menores Ésto indica que podemos pasar directamente del número dado, a la forma más simple. Veamos: 16 4 = 4 ; 16 = 4 20 5 5 20 5 Recuerda, todo número, especialmente los que son resultados de cómputos, tienen que presentarse en su forma más simple. puedes continuar . . . 35

Ejercicios de práctica Escribe los equivalentes para las porciones Simplifica o expresa en términos mayores 14/18 4. 3/8 5. 7/9 6. 9/12 7. 15/20 8. 6/7 2. Verifica tus respuestas en la próxima página 36

Respuestas de los ejercicios 3/9 = 1/3 4/20 = 2/10 = 1/5 7/9 6/16 y otros . . . 14/18 y otros . . . ¾ 12/14 y otros . . . A continuación se presenta un resumen de los temas discutidos. Puedes pasar al mismo cuando así lo prefieras. 37

Resumen Esta serie de lecciones presentó una discusión introductoria sobre los números fraccionarios. Se discutieron aspectos del origen, naturaleza del número y la conversión del impropio en mixto y viceversa. Finalmente se presentó el manejo de los números equivalentes. Con estas palabras termina la presente serie de lecciones.