Control Backstepping para el tratamiento de pacientes contagiados por el Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH-1) Autores: Ríos B., Miguel Cegarra A., Layimar

Introducción El SIDA, descubierto en 1981, presenta tres fases distinguibles: Seroconservación: El virus se multiplica en el cuerpo muy rápido. Síntomas inespecíficos parecidos a la gripe. Asintomática: Disminución de las células T CD4+. Infección Crónica: Defensas críticamente debilitadas. Modelos matemáticos propuestos: Perelson y Nelson 1999, Campello 1999. El modelo considerado para el diseño de la ley de control está dado por Campello (1999).

Descripción del modelo matemático Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH) Retrovirus que ataca a las células CD4 y entra en ellas, formando una célula humana llamada Provirus a partir de la cual se forman nuevas copias del virus. Paulatinamente el número de células CD4+ disminuye, por lo que la persona sufre de inmunodeficiencia. Un objetivo del tratamiento antirretroviral el reducir la caga viral a un valor indetectable (< 50 copias/ml). Linfocitos CD4 Son células defensivas del organismo. Los linfocitos CD4 son las células principalmente infectadas y destruidas por el VIH. Recuento de CD4 inferior a 200 células/mm3 de sangre significa que el VIH ha progresado a SIDA.

Descripción del modelo matemático El modelo del VIH desarrollado por Campello (1999) es: donde: - concentración de linfocitos T-CD4 en sangre ( ). - concentración de linfocitos T-CTL en sangre ( ). - cantidad de virus VIH en sangre ( ). - representan los valores de los estados y que corresponden a una condición saludable. - La variable es la ley de control.

Descripción del modelo matemático Los parámetros se definen en la tabla 1. Tabla 1: Parámetros del Modelo del VIH (Espinoza et al., 2008). Parámetro Descripción Valor α1 Mortalidad natural de los linfocitos T-CD4 0,25 1/año β1 Infección de los linfocitos T CD4 por el VIH 50ml/107copias·año α2 Mortalidad natural de los linfocitos T-CTL β2 Producción de Linfocitos T CTL en base al proceso de infección 10ml/107copias·año β3 Producción de viriones debido a los Linfocitos T CD4 infectados 0,01mm3/células·año β4 Mortalidad de viriones debido a Linfocitos T CTL 0,0045mm3/células·año

Puntos de Equilibrio Punto de Equilibrio 1: Condición de no infección. Punto de Equilibrio 2: Condición de infección.

Puntos de Equilibrio Punto de Equilibrio 3: Condición de infección con presencia de tratamiento. La evolución de los estados del sistema (1)-(3), con y se muestra en la figura 1.

Figura 1: Evolución de los estados del modelo del VIH sin entrada de control.

Diseño del controlador Backstepping Considere el sistema de la forma: Aplicando la transformación de entrada: se transforma (16) en un integrador puro El control por Backstepping para (15)-(16) viene dado por: con , y la función de Lyapunov total es:

Diseño del controlador Backstepping Se reescribe el sistema (1)-(3) como: La transformación de entrada es: Se propone: con

Diseño del controlador Backstepping La función de Lyapunov que se propone es: Haciendo satisface: viene dada por:

Diseño del controlador Backstepping El controlador por Backstepping es: La función de Lyapunov total es: Para las simulaciones se utilizó:

Control por Backstepping, iniciando el tratamiento en el año 1,5 Figura 2 : Estado x1 Figura 3: Estado x2 Figura 4: Estado x3 Figura 5: Señal de Control por Backstepping

Ley de Control por Realimentación de Salida Considere una clase de sistemas de la forma: con . Sólo y está disponible para realimentación. Consideremos una variable de desempeño: La proposición planteada en Karagiannis et al., (2003) permite encontrar una ley de control por realimentación dinámica de salida tal que las trayectorias del sistema sean acotadas y:

Ley de Control por Realimentación de Salida De la prueba de la proposición de Karagiannis et al., (2003), se obtiene que la dinámica en lazo cerrado viene dada por: El controlador dinámico por realimentación de salida es:

Ley de Control por Realimentación de Salida Sea el sistema (1)-(3) reescrito de la forma: Se define la variable de desempeño como: La dinámica del sistema en lazo cerrado es:

Control por Backstepping con Realimentación de Salida Utilizando

Control por Backstepping con Realimentación de Salida, iniciando en tratamiento en el año 1,5 Figura 6: Estado x1 real y estimado Figura 7: Estado x2 real y estimado Figura 8: Estado x3 Figura 9: Señal de Control

Actualizando mensualmente el tratamiento antirretroviral Se consideró: donde mes y k = 0, 1, 2, …, 240. La señal de control es evaluada cada mes y se mantiene constante hasta el siguiente.

Control por Backstepping con Realimentación de Salida actualizando mensualmente el tratamiento e iniciándolo en el año 5. Figura 10: Estado x1 real y estimado Figura 11: Estado x2 real y estimado Figura 12: Estado x3 real y estimado Figura 13: Señal de Control actualizada mensualmente

Tabla 2 Comparación de las señales de control Backstepping, actualizadas continua y mensualmente.

Conclusiones Los objetivos planteados se cumplieron arrojando resultados satisfactorios. La metodología de diseño se basó en aplicar un principio de separación. Simulaciones digitales demuestran que: Los controladores diseñados cumplen con el objetivo propuesto. Las leyes de control dinámicas lograr recuperar las propiedades estabilizantes de las leyes de control de información completa. La actualización mensual del tratamiento no deterioró el desempeño del lazo de control.

Recomendaciones Realizar un estudio del controlador diseñado incluyendo el efecto de la mutación del VIH. Considerar intervalos de tiempos distintos a un mes para realizar la actualización del tratamiento. Diseñar controladores por realimentación de salida considerando que algunos de los parámetros del sistema son desconocidos.

Bibliografía Campello, F. (1999). Modeling the dynamics of HIV-1 and CD4 and CD8 Lymphocytes. IEEE Engineering in Medicine and Biology, 18(1):21–24. COESIDA JALISCO. Recuperado de Para personas que viven con VIH: http://coesida.jalisco.gob.mx/atencion6.html Espinoza, G., Palacios, E., Moreno, J. & Campos, D. (2008). Output Feedback Passivity-based Control for HIV-1 Treatment Scheduling. D.F, México. González, O., Ríos, M. & Gómez, C. (2008). Control Adaptativo por Realimentación de Salida del Proceso Anaerobio de Tratamiento de Aguas Residuales. Mérida, Venezuela. INFOSIDA. Recuperado de: http://www.infosida.es/ bgdisplay.jhtml?itemname=cd4_and_viral_load_tests JEDDY SIDA, Tratamiento Natural del Sida. Recuperado de: http://www.sidaperu.com/sida.php

Bibliografía Karagiannis, D., Astolfi, A. y Ortega, R. (2003). Two results for adaptive output feedback stabilization of nonlinear systems. Automatica, 39:858–866. Khalil, H. (1996). Nonlinear Systems (2da ed.). Pretince Hall. NAM (National AIDS Manual). (2002). Recuperado de: http://www.aidsmap.com/es/docs/12A238F7-D452-4D08-91CD-117D8C09BFBF.asp Palacios, E., y Campos, D. (2005). Análisis y Control de la Dinámica del VIH-1. D.F, México. Palacios, E., y Campos, D. (2007). Control por Retroalimentación de la Salida para la reducción de la carga viral en un modelo de VIH-1. D.F, México. Perelson, A. and Nelson, P. (1999). Mathematical analysis of HIV-1 dynamics in vivo. SIAM, 41(1):3-44. Regueiro, J., López, C., González, S. & Martínez, E. (2003). Inmunología Biología y patología del sistema inmune (3a ed.). Madrid: Panamericana.