Presenta: M. en C. Marcos Campos Nava UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO Instituto de Ciencias Básicas e Ingenierías Asignatura: Cálculo Vectorial GRÁFICAS DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES Marzo de 2012 Presenta: M. en C. Marcos Campos Nava
Funciones de Varias Variables. Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f CÁLCULO DEL DOMINIO DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES EJEMPLO 1: Hallar el dominio de las siguientes funciones:
Solución: a) La función f está definida para todos los puntos (x, y) tales que y Así, pues, el dominio es el conjunto de puntos que están en el círculo , o en su exterior, excepto los que se encuentran en el eje y, como indica la figura siguiente:
Gráfica de una función de dos variables. Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.
SUPERFICIES TOPOGRAFICAS La superficie terrestre, no es geométrica evidentemente y por lo tanto no se puede representar con exactitud matemática. Para poder realizar los cálculos de ingeniería necesarios, dicha superficie natural se sustituye por otra convencional, denominada superficie topográfica. Ésta se puede representar de distintos modos: Perfil longitudinal: sección por plano proyectante. Permite realizar cálculos interesantes. Plano topográfico: curvas de nivel. Permiten cálculos con precisión suficiente Vista en perspectiva: no es ortográfica y es la más representativa Plano de relieves: proyección ortográfica representativa
SUPERFICIES TOPOGRAFICAS
SUPERFICIES TOPOGRAFICAS
PLANO TOPOGRAFICO.
Curvas de nivel.
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f). O x
Superficies Cilíndricas. Un plano perpendicular al eje Z, se representa con la Ecuación Z=Z0, donde Z0 es el punto en Z donde corta el plano con el Eje. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cilíndricas. Ejemplo : Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica. X Z Y Ecuación: Solución: La curva directriz está en el plano XZ Las rectas generatrices son // Y Análisis de la directriz: Cortes con Z (x=0) Cortes con X (z=0) Vértice: La curva directriz está en el plano XZ ya que son las únicas variables que forman la ecuación, las rectas generatrices son paralelas a Y, ya que es la única variable que no está en la ecuación.
Superficies Cilíndricas. Ejemplo Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica. Z Ecuación: Solución: La curva directriz está en el plano XZ Las rectas generatrices son // Y Análisis de la directriz: Cortes con Z (x=0) Cortes con X (z=0) Vértice: La curva directriz está en el plano XZ ya que son las únicas variables que forman la ecuación, las rectas generatrices son paralelas a Y, ya que es la única variable que no está en la ecuación. X Y
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2
Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos tal que siempre que y