FUNCIONES TRIGONOMETRICAS José David Ojeda Marín

Funciones Trigonométricas Si θ es un Angulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, deferente de O(0,0), se cumple que y se definen las funciones trigonométricas para el ángulo θ de la siguiente manera:

Funciones Trigonométricas P(x,y) r y θ x

Funciones Trigonométricas

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Funciones Trigonométricas Según lo anterior se obtienen las siguientes relaciones reciprocas

Funciones Trigonométricas Ejemplo: Si α es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4, -2) determinar los valores las funciones seno, coseno y tangente. Solución: Como x = 4 & y = -2, entonces

Funciones Trigonométricas Dada las definiciones de las funciones trigonométricas, tenemos:

Funciones Trigonométricas A partir de los valores encontrados anteriormente, determinar el valor de las funciones cosecante, secante y cotangente de α. Como: Entonces:

Funciones Trigonométricas Aplicamos lo mismo para las otras dos funciones:

Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas Ejercicio 2: Si y hallar el valor de las demás funciones trigonométricas : Solución: Puesto que , entonces, . Además , entonces

Funciones Trigonométricas Por lo anterior:

Signo de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Funciones Trigonométricas Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r, x y y. Obsérvese que: siempre es positivo Por tanto x y y varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren

Funciones Trigonométricas Por lo anterior, el signo del valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo, depende de los signos de x y y El siguiente cuadro resume los signos de las funciones del ángulo θ en posición normal, para los diferentes cuadrantes en los que puede estar ubicado el lado final del mismo

Funciones Trigonométricas Cuadrante Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ I + II - III IV

Funciones trigonométricas de los ángulos con su lado final en los semiejes

Funciones Trigonométricas Los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano, se llaman ángulos cuadrantales. Se debe considerar que sobre el lado final de un angulo cuadrantal, se encuentran algunos de los puntos (r, 0); (0, r); (- r, 0); (0, - r)

Funciones Trigonométricas En la siguiente tabla se resumen los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos entre 0° y 360°

Funciones Trigonométricas Angulo Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ 1 Ind 90 180 -1 270 360

Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo

Funciones Trigonométricas P(x,y) Hipotenusa Cateto Opuesto r θ O Cateto Adyasente A

Funciones Trigonométricas En la figura anterior se observa el ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante y un punto P ubicado sobre el, el segmento PA es perpendicular al eje x, por tanto el triangulo OPA es rectángulo; para este triangulo OP es la hipotenusa y PA y OA son los catetos.

Funciones Trigonométricas De acuerdo con su posición con respecto al angulo θ, los catetos se clasifican en. PA : Cateto opuesto al ángulo θ OA : Cateto adyacente al ángulo θ

Funciones Trigonométricas A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulos en posición normal, se definen las relaciones trigonométricas en un triangulo rectángulo así:

Funciones Trigonométricas

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Funciones Trigonométricas Ejemplo: De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de las razones trigonométricas del ángulo θ. 5 3 θ 4

Funciones Trigonométricas Solución:

Funciones Trigonométricas Ejercicio 2: Determinar las razones trigonométricas para el ángulo φ φ h 4 2

Funciones Trigonométricas Solución: Primero calculamos el valor de la hipotenusa: Ahora calculamos los valores de las razones trigonométricas

Funciones Trigonométricas

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Funciones Trigonométricas Ejercicios: Determinar las funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto: P(2, 5) P(-3, 6) P(4, -2) P(7, -4) P(0, -4) P(1, 8) P(-7, -2) P(-2, -6)

Funciones Trigonométricas Determinar el valor de las funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos θ en los siguientes triángulos rectángulos 8 θ h θ f. 5 5 h h a. 4 θ c. h 7 4 e. 2 θ θ h 9 3 b. θ h 6 θ 3 g. d. 5 6 h 2