Modelo M | M | 1 Teoria de Colas

SISTEMA SIMPLE M / M / 1

Modelo M/M/1 Tiempo de llegadas aleatorias (Markoviano), independientes entre si. Tiempo de servicio Markoviano, es decir no depende de cuando ocurre sino de la longitud del intervalo 1 servidor POISSON EXP

Descripción del modelo Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFO Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón , donde  es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp() Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(), de tal manera que  es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio de servicio

Condición de no saturación Se demuestra que si , el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será: Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades El parámetro  se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

Medidas de rendimiento El número medio de clientes en el sistema, L, se calcula así: Sumamos la serie aritmético-geométrica:

Medidas de rendimiento La utilización del dependiente, notada U, es la fracción de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al número medio de clientes que salen de él: Como para deducir la anterior fórmula no hemos usado ninguna característica especial del modelo de entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para colas G | G | 1

Medidas de rendimiento El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto: Tiempo que se pasa en el sistema si hay j por delante al llegar Probabilidad de que haya j por delante al llegar

Medidas de rendimiento Podemos simplificar algo más: El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará restando a W el tiempo que tarda en ser servido el trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola): En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:

FÓRMULAS M/M/1

FÓRMULAS PARA M/M/1

Formulario Modelo M/M/1

Ejemplo Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con 5 €/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller 10 €, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante de dependiente, pagado con 4€/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

Ejemplo Tenemos dos opciones: En ambos casos,  = 10 clientes/h Sin ayudante: 1/1 = 5 min = 1/12 h Con ayudante: 1/2 = 4 min = 1/15 h En ambos casos,  = 10 clientes/h Opción 1 (sin ayudante): Por tanto, perdemos 5·(10€/h) = 50€/h

Ejemplo Opción 2 (con ayudante): Por tanto, perdemos 2·(10€/h) = 20€/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos 4€/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son 24€/h En la opción 1 perdemos 50€/h y en la opción 2 perdemos 24€/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2,

Más medidas de rendimiento El número medio de trabajos en la cola Lq, se calcula restándole a L el número medio de trabajos que están siendo servidos: Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en el sistema: Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en la cola:

Ejemplos Ejemplo: Un canal de comunicación se usa para enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno central, Cada fuente envía paquetes de datos según un proceso de Poisson de razón 2 paquetes/seg, Además cada fuente envía independientemente de las otras, Todos los paquetes son idénticos, esperan en una cola común y después se transmiten de uno en uno, Los tiempos de transmisión se distribuyen exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar el número máximo de fuentes que se pueden conectar al canal de tal manera que:

Ejemplos 1º El canal no se sature Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, Por otro lado, 1/ = 0,025 seg   = 40 paquetes/seg El canal no se satura cuando <1:

Ejemplos 2º En media los paquetes no pasen en el sistema más de 100 mseg Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos  = 40 paquetes/seg Nos exigen W0,1 seg:

Ejemplos 3º En el estado estacionario se garantice que al menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de respuesta que no exceda de 100 mseg Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos  = 40 paquetes/seg Nos exigen que la probabilidad de que un paquete pase más de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es decir, W(100 mseg)0,05:

Ejemplos … /n /n   /n /n Ejemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parámetros  y  se sustituye por n colas M|M|1 independientes de parámetros /n y /n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el tiempo medio de respuesta y el número medio de trabajos en el sistema /n /n   … /n /n

Ejemplos Alternativa 1 (una sola cola), 1=, 1=  : Alternativa 2 (n colas independientes), 2=/n, 2=/n :

Ejemplos Como la alternativa 1 tiene menores valores para ambas medidas de rendimiento, concluimos que la dicha alternativa es mejor Esto nos indica que lo mejor es no dividir la capacidad de procesamiento, es decir, tener un único servidor que atienda a todos los clientes

Modelo M/M/1: ejemplo Un carwash puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema http://www.auladeeconomia.com

Modelo M/M/1: ejemplo

Modelo M/M/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

Ejemplo Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 10 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas diarias. Calcule la probabilidad de que la secretaria tenga más de 5 cartas que mecanografiar.

solución λ = 20 /8 = 2.5 cartas / hora μ = (1/20 min)(60 min/1 hora) = 3 cartas / hora Tasa de uso de la secretaria. ρ = λ/ μ = 2.5 /3 = 0.84 Tiempo antes de mecanografiar una carta: Wq = λ/(μ*(μ- λ)) = 1.67 Número promedio de cartas en espera: Lq = λ2/(μ*(μ- λ)) = 4.17 Probabilidad de que la secretaria tenga k cartas que mecanografiar 0.167 3 0.518 6 0.721 9 0.838 12 0.907 15 0.946 1 0.306 4 0.598 7 0.767 10 0.865 13 0.922 16 0.955 2 0.421 5 0.665 8 0.806 11 0.888 14 0.935 17 0.962

Ejercicio 2 Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, el tiempo promedio para manejar cada llamada es de 20 segundos. Actualmente sólo hay un operador del conmutador. Calcular: La probabilidad de que el operador esté ocupado. El número de llamadas que esperan ser contestadas. El tiempo promedio que espera una llamada antes de ser atendida.

Zapatería Mary’s Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson. El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente. La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

SOLUCION Datos de entrada l = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora. m = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora. Calculo del performance P0 = 1- (l / m) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333 Pn = [1 - (l / m)] (l/ m) = (0.3333)(0.6667)n L = l / (m - l) = 2 Lq = l2/ [m(m - l)] = 1.3333 W = 1 / (m - l) = 0.4 horas = 24 minutos Wq = l / [m(m - l)] = 0.26667 horas = 16 minutos Pw = l / m = 0.6667 r = l / m = 0.6667

Datos de entrada para WINQSB m l Datos de entrada para WINQSB

Medidas de performance

Teorema de Little Sea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y  la razón de llegadas al sistema, Entonces:

Teorema de Little Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las ganancias: Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a cada uno de los  trabajos que vea pasar por unidad de tiempo Cada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema

Teorema de Little Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, también muy útil: Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder conseguir resultados explícitos