La transformada de Fourier

De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t). ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T: f(t) t . . . -T -T/2 0 T/2 T . . . p -p/2 p/2

Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

Si el periodo del tren de pulsos aumenta... 1.5 p = 1, T = 2 1 f(t) 0.5 -20 -10 t 10 20 1.5 p = 1, T = 5 1 f(t) 0.5 -20 -10 t 10 20 -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T = 10 t f(t) -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T = 20 t f(t)

...el espectro se "densifica". -0.2 0.2 0.4 0.6 p = 1, T = 2 w=nw0 cn -50 50 -50 50 -0.1 0.1 0.2 0.3 p = 1, T = 5 -0.05 0.05 0.1 0.15 p = 1, T = 10 -50 50 -50 50 -0.02 0.02 0.04 0.06 p = 1, T = 20

En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier? -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T =  t f(t)

Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie: al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

Recordemos: La serie de Fourier es: -T/2< x < T/2 O bien: Cuando T , nw0  w y w0  dw y el sumatorio se convierte en:

La transformada de Fourier Es decir, donde: Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa. Identidad de Fourier o antitrans- formada de Fourier Transformada de Fourier

La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2).

Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

Transformadas integrales K(,t): núcleo o kernel. Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio  o recíproco. Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc

Relatively easy solution Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original. Problem in Transform space Relatively easy solution Solution in Transform space Integral transform Inverse transform Original problem Difficult solution Solution of original problem

Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente: Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es: -p/2 0 p/2 1 f(t) t

Integrando: Usando la fórmula de Euler:

p =1 En forma gráfica, la transformada es:

La función sinc(x) Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo. Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo. Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.

Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2(w/2) 1 1 TF t w -1/2 1/2

¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t): Grafica U(w) = F[u(t)]. ¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? ¿Cuál es la frecuencia predominante? u(t) 1 t

La función delta de Kronecker y delta de Dirac d(t)

La función impulso o delta de Dirac Recordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente: fm(t) = m exp[-(mt)2]/√p d(t) f3(t) f2(t) f1(t) t

Y recordemos algunas propiedades de la función d t d(t)

Transformada de Fourier de la (t): d(t) w Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2) es: d(w) Recordemos t w

T ∞ T ∞

Transformada de Fourier de la función coseno cos(w0t) t w -w0 +w0

Transformada de Fourier de la función seno: sen(w0t) t w -w0 +w0

La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t) t Re Im F {exp(iw0t)} w w0 La TF de exp(iw0t) es una frecuencia pura.

F {exp(iw0t)} exp(iw0t) t Re Im TF w w0 Sum TF w

Encontrar la transformada de Fourier de la función:

La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana. w TF Más adelante lo demostraremos.

La transformada inversa de Fourier Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:

A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función

A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función: Respuesta. Integrando en el plano complejo:

-R R C Si x > 0: Haciendo lim R→∞

Entonces: Si x < 0:

Haciendo lim R→∞ R -R Entonces:

Algunas funciones no poseen transformada de Fourier La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F(w) exista es:   es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a +¥ y –¥ en general no tienen transformadas de Fourier.

La TF y su inversa son simétricas. Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t) es: Que podemos escribir: Renombrando la variable de integración de t a w’, podemos ver que llegamos a la TF inversa: Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."

La transformada de Fourier es en general compleja La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas. De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:

La transformada de Fourier cuando f(x) es real La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:

Propiedades de las transformadas de Fourier: 1. Linealidad:

La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones. f(t) F(w) t w g(t) G(w) t w F(w) + G(w) f(t) + g(t) t w

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función: La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:

Luego:

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

2. Escalado:

Efecto de la propiedad de escalado f(t) F(w) Efecto de la propiedad de escalado t w Pulso corto t w Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro. Pulso medio t w Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica. Pulso largo

La transformada de Fourier respecto al espacio Si f(x) es función de la posición, x k k se conoce como frecuencia espacial. Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y  se aplica los dominios x y k.

3. Traslación en el dominio de tiempos

4. : 5. :

5. Identidad de Parseval : En particular: Teorema de Rayleigh

Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar Sea f(x) una función cualquiera. E(-x) = E(x) E(x) O(x) O(-x) = -O(x) f(x)

Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

6. Transformada de la derivada: Y en general: 7. Transformada xf(x): Y en general: Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.

1. Encontrar la transformada de Fourier de la función: 2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la función: 1.

C1 C2 2.

Encontrar la transformada de Fourier de la función: Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades: Encontrar la transformada de Fourier de la función: siendo a>0 constante. Derivando tenemos: Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes propiedades de la TF:

u2 = ax2/2 u2 = t

Convolución Se define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:

Understanding of convolution with one dimensional functions enhances your understanding of more complex convolutions. Printing out this page and figuring out what is done here is recommended

Ejemplo visual: rect(x) * rect(x) = D(x)

Convolución con la función delta Convolucionar una función con una delta, simplemente centra la función sobre la delta.

Propiedades de la convolución Commutativa: Asociativa: Distributiva:

El teorema de convolución o teorema de Wiener-Khitchine Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.

Ejemplo del teorema de convolución

Demostremos el teorema de convolución.

Aplicando la TF a ambos lados:

Ejemplo de aplicación del teorema de convolución: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función: Podemos hacerlo aplicando la definición:

Pero, también podemos usar: TF TF

Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las siguientes funciones:

El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es: es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la siguiente:

y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:

Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas de f(t) y g(t):

Calculamos la transformada de Fourier de g(t):

que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.

Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función: Tenemos que calcular la antitransformada:

y, llamando: Antitransformada de Fourier nos queda que: Teorema de convolución

Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda: donde

Luego: