MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA MÉTODOS CUANTITATIVOS EN LA ADMINISTRACIÓN Lic. Mario Iván Cruz Chin Diciembre, 2009

Introducción y casos de aplicación La Teoría de Colas es un formulación matemática para la optimización de sistemas en que interactúan dos procesos normalmente aleatorios: un proceso de “llegada de clientes” y un proceso de “servicio a los clientes”, en los que existen fenómenos de “acumulación de clientes en espera del servicio”, y donde existen reglas definidas (prioridades) para la “prestación del servicio”. La Teoría de Colas es una aproximación matemática potente para la optimización del problema, y tiene aplicaciones (crecientes) en sistemas donde las llegadas y el servicio admiten una representación matemática (probabilística); en problemas que no admiten esta representación existen otras técnicas, como muestra la tabla siguiente:

Origen de la Teoría de Colas: trabajos de A. K. Earlang (Dinamarca, 1 Origen de la Teoría de Colas: trabajos de A. K. Earlang (Dinamarca, 1.905) estudiando el problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas. Los problemas de “Colas” se presentan permanentemente en todas las aplicaciones de la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos. Problemas típicos de Teoría de Colas son: Programación de actividades de despegue / aterrizaje en un aeropuerto Sistema de consulta médica Piezas en un taller donde pasan por diferentes máquinas en el proceso de mecanizado Sistema de cajas en una oficina bancaria

2.2 Definiciones, características y suposiciones

Definiciones La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Colas: concepto intuitivo de línea de espera, equivalente al británico (queues) y al americano (waiting lines).

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los problemas de “colas” se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluyó que, por término medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.

Objetivos de la Teoría de Colas Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo Establecer un balance equilibrado ("óptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el sistema.

Características: Determinístico Probabilístico

Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo) Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

Supuestos El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones: a)Un solo prestador del servicio y una sola fase. b)Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c)Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d)Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.

Proceso de llegada de los clientes SISTEMA DE COLAS Población Proceso de llegada de los clientes Capacidad de la Cola Línea de espera o Cola

Número de estaciones de servicio Proceso de servicio Reglas de servicio Número de estaciones de servicio

Población La población puede clasificarse (y las técnicas de Colas difieren) en función de su tamaño relativo, como finita o infinita: será infinita cuando el número de clientes potenciales es muy grande en relación a la capacidad del sistema; en caso contrario, será finita. La importancia de la diferenciación entre población finita e infinita radica en que, en poblaciones finitas, las probabilidades de llegada de un cliente (o de ocurrencia de un suceso) varían según el estado del sistema: por ejemplo, si hay seis máquinas en un servicio de mantenimiento y una de ellas está rota (en reparación) la probabilidad de rotura de otra es diferente.

Proceso de llegada de los clientes Las llegadas de clientes al sistema son en la mayoría de las ocasiones controlables: por ejemplo, hay sistemas que juegan con los precios, o con la capacidad / comodidad, o con ofertas; en casos hipotéticamente incontrolables como las llegadas de urgencias a una UVI se toman acciones previas sobre el sistema de ambulancias para comunicar el estado / la saturación de las instalaciones y desviar pacientes a otros hospitales. Normalmente la Teoría de Colas opera sobre los tiempos entre llegadas consecutivas de clientes: modelos típicos son el teórico de llegadas a intervalos fijos iguales, o los que consideran diferentes distribuciones de probabilidad. Asimismo, las llegas pueden ser individuales (un único cliente en cada llegada) o múltiples (varios clientes en una misma llegada).

Si hay Cola abandona el Sistema Línea de espera o Cola Como se ha dicho, la Cola viene definida en primer lugar por la forma de llegada de los clientes (con / sin distribución conocida, perfil de la distribución). Por otra parte el Sistema se define también por la conducta del cliente potencial ante la Cola; los tipos de cliente en relación a la conducta se denominan: Impaciente Si hay Cola abandona el Sistema Paciente / rechazo Si la Cola supera un límite definido para cada cliente, abandona el Sistema Paciente / abandono Aguanta la Cola durante un cierto tiempo Paciente / Permanencia Aguanta hasta ser atendido

Capacidad de la Cola El caso teórico más simple es el de cola de capacidad infinita; existen múltiples casos de Colas de longitud acotada (por ejemplo un restaurante drive-in, o un taller mecánico). Un enfoque matemático simplificador consiste en tratar los Sistemas con capacidad finita como si fueran de capacidad infinita cuando se evalúa la probabilidad de llenado de la capacidad de la Cola como muy baja. Proceso de servicio Se caracteriza la distribución de tiempos de duración del servicio; los modelos más utilizados emplean una distribución exponencial (luego se discutirá).

Reglas de servicio Las reglas más utilizadas son: FIFO (primero en llegar, primero en ser servido). Se percibe como la más justa en los sistemas de Colas más habituales. LIFO: por ejemplo en productos perecederos en que se consulta la fecha de caducidad.

Existen otras reglas que se caracterizan por la ruptura de la disciplina de Cola: por ejemplo casos en que hay clientes privilegiados (urgencias hospitalarias) donde se puede situar al cliente prioritario como primero de la Cola (prioridad débil), o incluso sustituir al cliente en servicio actual si es de prioridad inferior como en las UVIs (prioridad fuerte). Otros modelos más sofisticados contemplan estaciones de servicio específicas para determinados segmentos de clientes, o puestos reservados, etc.

Canales Fases Ejemplos típicos Número de estaciones de servicio En función del número de estaciones (canales) de servicio y de las fases del proceso de servicio, tenemos los siguientes tipos de problemas de Cola Canales Fases Ejemplos típicos Uno Una Kiosco de prensa con un empleado Varias Lavado / secado de coches Varios Oficina bancaria con varios cajeros Centro de servicios radiológicos de hospital

2.3 Terminología y notación

Notación y terminología. Para describir una cola hay que especificar: Proceso de entrada o llegada: clientes El proceso de llegada no se ve afectado por nº de clientes presentes, se rige por una distribución de probabilidad que gobierna el tiempo entre llegadas sucesivas Modelos de origen finito: las llegadas se toman de una población pequeña La rapidez de llegada disminuye cuando la instalación está concurrida: el cliente puede declinar. Proceso de salida o servicio: distribución del tiempo de servicio independiente del nº de clientes presentes Servidores en paralelos Servidores en serie

Notación de Kendall Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan  Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior  Las distribuciones que se utilizan son: • M: Distribución exponencial (markoviana) • D : Distribución degenerada (tiempos constantes) • E k : Distribución Erlang • G : Distribución general M / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores. M / G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor

Terminología Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: Estado del sistema : Número de clientes en el sistema. Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0). Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. s : Número de servidores en el sistema de colas. n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.

Estado del Sistema = número de clientes en el sistema Longitud de la cola = número de clientes que esperan servicio = (estado del sistema) - (número de clientes a quienes se está sirviendo) N(t) = número de clientes en el sistema en el tiempo t Pn(t) = P{ N(t) = n } s = número de servidores ln = número esperado de llegadas por unidad de tiempo (tasa media de llegadas) de nuevos clientes, cuando hay n clientes en el sistema mn = número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo (tasa media de servicio para todo el sistema), cuando hay n clientes en el sistema

Concepto de cola Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado.    El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega  a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

TEORIA DE COLAS Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

Ejemplos de sistemas de colas

Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio Aeropuerto Aviones Aviones en carreteo Pista Pasajeros Sala de espera Avión Depto de bomberos Alarmas de incendio Incendios Depto. De Bomberos. Compañía telefónica Números marcados Llamadas Conmutador Lavado de carros Autos Autos sucios Mecanismo de lavado La corte Casos Casos atrasados Juez Panadería Clientes Clientes con números Vendedor Carga de camiones Camiones Camiones en espera Muelle de carga Oficina de correos Cartas Buzón Empleados por correos Crucero Autos en línea Fábrica Subensamble Inventario en proceso Estación de trabajo. Cartas de negocios Notas de dictado Cartas para mecanografiar Secretaria Reproducción Pedidos Trabajos Copiadoras Hospital Pacientes Personas enfermas