Tema V Programación Lineal MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

DIETÉTICA ANIMAL Y HUMANA TEMA 5.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. La dieta humana Un médico recomienda a un paciente una dieta en la que deben aparecer al menos DOCE unidades de hierro, DOCE de fósforo y OCHO de calcio. En las farmacias existen dos productos para ello, cuya composición por cada diez gramos de producto es:   HIERRO FOSFORO CALCIO PRODUCTO A 6 4 2 PRODUCTO B 2 3 4 El precio de una caja de 100 gr del producto A es de 5 €, y el de una caja de 200 gr del producto B es de 8 €. ¿Cuántas cajas conviene comprar de cada tipo de producto para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento debe durar 20 días? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: Sea x = Número de cajas de 100 gr del producto A a comprar. Sea y = Número de cajas de 200 gr del producto B a comprar. FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo será: f(x,y) = 5.x + 8.y CÁLCULOS PREVIOS  Las unidades necesarias en los 20 días de dieta son:   12x20 = 240 u. de hierro 12x20 = 240 u de fósforo 8x20 = 160 u de calcio Las unidades que contiene cada caja A y B son proporcionales a su peso real, y por tanto son:    Hierro Fósforo Calcio PRODUCTO A 6x10 = 60 4x10 = 40 2x10 = 20 PRODUCTO B 2x20 = 40 3x20 = 60 4x20 = 80 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RESTRICCIONES Las restricciones del problema serán:   60.x + 40.y >= 240 40.x + 60.y >= 240 20.x + 80.y >= 160 x >=0 y >=0 Dibujamos las rectas correspondientes, para lo cual las expresamos de forma explícita ( despejando la ‘y’ y, si se puede, simplificando ) y >= 6 – 1,5.x y >= 4 – 0,66.x y >= 2 – 0,25.x x >= 0 y >= 0 A 6 Región Factible 4 B 2 C D 8 4 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SOLUCIÓN A.- MODO GRÁFICO La función objetivo es: F(x,y) = 5.x + 8.y Dibujamos la recta: 5.x + 8.y = 0 y = – 5.x / 8 y = – 0,625.x Tabla: x = 0  y = 0 x = 4  y = – 2,5 Llevamos paralelas por cada vértice y miramos aquella que nos de el menor valor en el corte con el eje OY: Solución: Vértice C(5, 1) x= 5 cajas de A, y = 1 caja de B A Región Factible B C D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SOLUCIÓN B.- MODO ANALÍTICO Vértice B y = 6 – 1,5.x y = 4 – 0,66.x 6 – 1,5.x = 4 – 0,6666.x 2 = 0,8333.x  x = 2,4  y = 2,4 y = 4 – 0,6666.x y = 2 – 0,25.x 2 – 0,25.x = 4 – 0,66.x 0,4166.x = 2  x = 4,8  y = 0,8 Los valores de x e y deben ser enteros, por lo que se debe buscar el punto más próximo a ambos vértices con coordenadas enteras: B(3, 3) y C(5, 1) A(0, 6) Región Factible B(3, 3) B(2,4, 2,4) C(5, 1) C(4,8, 0,8) D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. La región factible en abierta. Los vértices válidos son: A(0,6) , B(3, 3) , C(5, 1) , D( 8,0)   F (A) = 5.0 + 8.6 = 0+48 = 48 F(B) = 5.3 + 8.3= 15 + 24 = 39 F(C) = 5.5 + 8.1 = 25 + 8 = 33 F(D) = 5.8 + 8.0 = 40 El mínimo coste será de 33 €, adquiriendo 5 cajas de A y 1 de B COMENTARIO IMPORTANTE Tendremos que comprar: 60.x + 40.y = 60.5 + 40.1 = 340 , cien unidades más de las 240. 40.x + 60.y = 40.5 + 60.1 = 260 , veinte unidades más de las 240. 20.x + 80.y = 20.5 + 80.1 = 180 , veinte unidades más de las 160. Si el vértice C hubiera sido válido, al menos en uno de los tres productos hubiéramos adquirido la cantidad exacta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. La dieta animal Un veterinario recomienda a un perro una dieta en la que deben aparecer al menos CINCO unidades de hidratos de carbono, DIECISEIS de proteínas y SIETE de grasas. A la venta existen dos productos para ello, cuya composición por cada diez gramos de producto es: HIDRATOS PROTEINAS GRASAS PRODUCTO A 4 6 2 PRODUCTO B 5 4 3 El precio de una caja de 100 gr del producto A es de 5 €, y el de una caja de 200 gr del producto B es de 7 €. ¿Cuántas cajas conviene comprar de cada tipo de producto para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento debe durar 20 días?. Resolución: La función objetivo será: f(x,y) = 5.x + 7.y Siendo x e y las unidades vendidas de cada tipo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Las unidades necesarias en los 20 días de dieta son: 5x20 = 100 u. de hidratos de carbono 16x20 = 320 u de proteínas 7x20 = 140 u de grasa Las unidades que contiene cada caja A y B son proporcionales a su peso real, y por tanto son: HIDRATOS PROTEINAS GRASAS PRODUCTO A 4x10 = 40 6x10 = 60 2x10 = 20 PRODUCTO B 5x20 = 100 4x20 = 80 3x20 =60 De forma explícita ( despejando la y ) y >= 1 – 0,4.x y >= 4 – 0,75.x y >= 2,33 – 0,33.x x >= 0 ,, y >= 0 Las restricciones del problema serán: 40.x + 100.y >= 100 60.x + 80.y >= 320 20.x + 60.y >= 140 x >=0 y >=0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RESTRICCIONES: y >= 1 – 0,4.x y >= 4 – 0,75.x y >= 2,33 – 0,33.x x = 0 ,, y = 0 Calculamos el vértice B: Por el M. de Igualación: y = 4 – 0,75.x y = 2,33 – 0,33.x 4 – 0,75.x = = 2,33 – 0,33.x 1,66 = 0,4166.x x = 4 y = 4 – 0,75.4 y = 1 B(4, 1) A(0, 4) Región factible B(4, 1) C(7, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Representamos la Función objetivo: F(x,y) = 5x+7y 5x+7y = 0 Tabla: x y 0 0 3 - 2,14 Y llevamos las paralelas que pasan por cada vértice. La paralela que pasa por el vértice B es la que presenta la menor ordenada en el origen , por lo que el vértice B será el mínimo. A(0, 4) Región factible B(4, 1) C(7, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Calculamos el valor de la función objetivo en los vértices. La región factible en abierta. Los vértices son A(0,4) , B(4,1) , C(7,0) F(x,y) = 5.x + 7.y F (A) = 5.0 + 7.4 = 0+28 = 28 F(B) = 5.4 + 7.1= 20 + 7 = 27 F(C) = 5.7 + 7.0 = 35 + 0 = 35 El mínimo coste será de 27 €, adquiriendo 4 cajas de A y 1 de B CONSECUENCIA DE LO ANTERIOR Tendremos que comprar: 40.4 +100.1 = 160 + 100 = 260 u , 160 unidades más de las 100. 60.4 + 80.1 = 240 + 80 = 320 u, las estrictamente necesarias. 20.4 + 60.1 = 80 + 60 = 140 u, las estrictamente necesarias. No compraremos más cajas de las necesarias, malgastando 160 u. que tendremos que comprar pero no consumir. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.