Tema III: Dinámica no Lineal II Sistemas dinámicos con gran número de grados de libertad (MDOF dynamical systems) Master en Física y Tecnologías Físicas Asignatura: Física de Sistemas Complejos Zaragoza, Nov. 2008

Bibliografía A historical introduction to Solitons and Bäcklund transformations. A.P. Fordy Solitons, a brief history. A. Scott en Encyclopedia of Nonlinear Science A review of the FPU problem and the KdV equation. N.Z. Klinghoffer. The Fermi-Pasta-Ulam ‘numerical experiment’: history and pedagogical perspectives. T. Dauxois, M. Peyrard y S. Ruffo. Eur. J. Phys. 26 (2005) S3-S11 The Frenkel-Kontorova model.O.M.Braun y Y. S. Kivshar. Springer 2004

Índice Introduccíon: La paradoja FPU. Solitones El modelo FK. Estructuras coherentes. Modelos reticulares. La paradoja FPU. Solitones El modelo FK. Otros modelos nolineales Apéndices

Introducción

Introducción Estructuras coherentes Caos Patterns

Turbulencias Caos a gran escala

Ejemplos de estructuras coherentes Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (1868-1871) 2 capas de fluidos moviéndose a distintas velocidades originan en la interfase esta característica estructura dinámica.

Mancha roja de Jupiter La gran mancha roja Es unas 3 veces mas grande que la Tierra. Existe por lo menos desde hace 300 años. Es un gran anticiclón en el hemisferio sur de Jupiter. Las nubes que lo forman parecen estár a unos 8 km por encima de las de su entorno.

“Morning glory wave” Onda solitaria atmosférica en el norte de Australia

Solitones* de Falaco:

Medios granulares Suspensión coloidal “Patterns”

Ejemplos “cinematográficos” La tormenta perfecta Tormenta blanca

Otros ejemplos dispares de comportamiento coherente El tráfico (propagación de ondas, avalanchas,atascos…) La “ola” en un campo de fútbol. Propagación de epidemias en poblaciones y de fracturas en materiales. Reacciones químicas. … Y muchos más en los que la respuesta del sistema se puede entender desde el punto de vista de una onda o estructura coherente (espacio-temporal) transitoria o estacionaria.

Una breve introducción histórico-científica a los solitones

La cadena FPU Entre 1954 y 1955 Enrico Fermi, Stanislaw Ulam y John Pasta fueron pioneros en el uso de ordenadores para resolver modelos físicos. Iniciaron lo que se ha venido a llamar: “La experimentación numérica”. Para ello utilizaron el MANIAC (acrónimo de Mathematical Analizer, Numerical Integrator And Computer) del LANL (NM, EE.UU.)

La cadena FPU a Cuyo hamiltoniano viene expresado en las variables xi por: Aplicando tambien las correspondientes condiciones de contorno

Las ecuaciones del movimiento que se derivan del hamiltoniano son: El modelo a-FPU originariamente simulado consistía en una cadena de 32 partículas sin potencial substrato (V(x)=0), con extremos fijos y acopladas no linealmente: Término lineal Término no lineal Las ecuaciones del movimiento que se derivan del hamiltoniano son:

Y con la nolinealidad intencionadamente pequeña: O reescalando a (a = a/K) y el tiempo t (t = t/t0) con t0=(m/K)1/2 Y con la nolinealidad intencionadamente pequeña: a << 1

a = 0 Las soluciones de este sistema de ecuaciones lineales son combinaciones lineales arbitrarias (pero constantes en el tiempo) de los llamados modos normales:

a = 0 La energía en función de esos modos es:

a 0 (pero pequeña) ¿ Qué ocurriría si la configuración inicial fuera la correspondiente a un modo normal de gran longitud de onda ? Ellos esperaban una “termalización”. Es decir, reparto de la energía entre otros modos normales. La nolinealidad mezcla modos La nolinealidad transferirá energía a los armónicos superiores. Hipótesis ergódica L. Boltzmann, 1871

a 0 (pero pequeña) No ergodicidad y recurrencia a = 0.25 Azul -> amplitud del primer modo Rojo -> segundo Verde -> tercero Azul-verdoso -> cuarto No ergodicidad y recurrencia LA-1940: “Studies of Nonlinear Problems: I” (1955, confidencial). De dominio público en 1965

a 0 (pero pequeña) Otros fenómenos observados fueron: Si aumentaban a, si que observaban ergodicidad. Si inicialmente excitaban más modos, el a a partir del cual se tenía equipartición de la energía, disminuía.

Sin avances Interpretaciones I Error en las simulaciones (métodos de integración más precisos) Ineficiencia en la transferencia de energía entre modos … Sin avances

Teorema KAM (A.N.Kolmogorov, V.I. Arnold y J.K. Moser) Interpretaciones II Teorema KAM (A.N.Kolmogorov, V.I. Arnold y J.K. Moser) Demuestra(*) la persistencia de “barreras” en sistemas hamiltonianos perturbados, que impiden la ergodicidad. B.V.Chirikov y F.M. Izrailev (1966) Strong stochasticity threshold

Interpretaciones II Map Standard K=0 K=1.6 Algunos toros KAM (p irracional) persisten, aunque deformados, a K distinto de cero. El último que se rompe corresponde a la media áurea.

Ecuación de Korteweg-de Vries Interpretaciones II N.J. Zabusky y M.D. Kruskal Ecuaciones del movimiento de la FPU Restringiéndose a modos de gran longitud de onda (Ap.2) (l >> a) ¿? Ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) (1895)

SOLITONES Interpretaciones II KdV y la solución de Zabusky-Kruskal Numéricamente “demostraron” que: Tenía soluciones estables del tipo “pulso”. Podían coexistir varias de ellas. Podían colisionar entre sí conservando sus propiedades (forma y velocidad). SOLITONES Zabusky & Kruskal “ Interactions of solitons in a collisionless plasma, a recurrence of initial states” Physical Review Letters 15, (1965) 240-243

KdV y la solución de Zabusky-Kruskal Interpretaciones II KdV y la solución de Zabusky-Kruskal t x t x

¿? Interpretaciones II Gardner, Greene, Kruskal y Miura: Los resultados numéricos iniciales de Zabusky y Kruskal se vieron refrendados tras encontrar un método para resolver la ecuación KdV. Este método se conoce como IST (Inverse Spectral Transform o Inverse Scattering Transform) ¿? La ecuación KdV es completamente integrable

Pero no antes de comentar que ocurre cuando “volvemos” al discreto. Interpretaciones II ¿ Pero que aportaba esta solución al problema inicial de la paradoja FPU ? En un sistema finito (como el original FPU), si coexisten varios solitones que se mueven a distintas velocidades (y rebotan en los extremos), a intervalos regulares de tiempo se tendrá una superposición de ellos, reproduciendo un estado anterior. Es decir, habrá RECURRENCIA. Pero no antes de comentar que ocurre cuando “volvemos” al discreto.

¿ Qué efectos introduce (en general)la discretitud y/o finitud sobre las soluciones del continuo ? La “versión discreta” del solitón ya no es una solución exacta del modelo discreto. Existencia de barreras al movimiento. Barreras de Peierls-Nabarro. Existencia de estados metaestables. Emisión/absorción de radiación (fonones o modos lineales). Espectro de modos lineales discreto y acotado. . . .

El solitón de J.S. Russell En 1834 John Scott Russell estaba realizando experimentos en un canal en Hermiston, cerca de Edinburgo (Escocia), sobre la relación entre la fuerza necesaria para arrastrar un bote y la velocidad que éste adquiría. Un día de Agosto: “the boat suddenly stopped –not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well defined heap of water, which continued its course along the channel without change of form or diminution of speed.” [ J.S. Russell, 1844] Russell siguió a caballo a esa onda, mientras pudo, por los recodos del canal. La forma se mantuvo inalterable así como su velocidad (8 o 9 millas/hora), su longitud (unos 30 pies) y su altura (1 o 1 ½ piés).

Experimentos en un tanque de agua Las ondas solitarias tienen forma de secante hiperbólica. Una masa inicial de agua suficientemente grande, es capaz de generar más de una de esas ondas. Las ondas solitarias se pueden cruzar una a otra sin que cambie ninguna de sus propiedades. La velocidad, altura de la onda y profundidad del canal están relacionados:

Recreación de la experiencia de J.S. Russell (12-7-1995). Onda solitaria

Otros ejemplos de ondas solitarias Tarifa Gibraltar Ceuta

¿Cuáles son los ingredientes que permiten una solución “solitónica”? Los efectos dispersivos están compensados por la nolinealidad. Consideremos una simplificación de la KdV. La solución mas elemental de esta ecuación es una onda armónica Pero w y k deben cumplir la relación: relación de dispersión

Las velocidades de fase y de grupo son: Cómo de rápido se mueve un punto de fase constante Cómo de rápido se mueve la energía de la onda Las ondas descritas por la ecuación diferencial anterior se dicen dispersivas puesto que cuanto mayor sea k, mayor será la velocidad (tanto de fase como de grupo). Una onda compuesta por la superposición de varias de distinto k se dispersará a medida que se vaya desplazando. Por tanto la forma de esa onda conjunta cambiará.

Por otra parte, si eliminamos el término dispersivo: Esta ecuación nolineal admite soluciones del tipo: Una función arbitraria La solución tiene la propiedad de que puntos que experimenten mayores desplazamientos también se mueven a mayores velocidades. Y por tanto la onda también tiende a cambiar de forma. u es la propia velocidad de la onda

Los 2 fenómenos conjuntamente:

Ejercicios propuestos sobre la cadena FPU Reproducir los resultados comentados en el modelo a-FPU. Crear un programa en el ordenador (en fortran o C o …) y tratar de obtener dichos resultados (recurrencia, no-ergodicidad entre modos a bajo a, existencia de un a mínimo, observación de solitones,…)

Métodos de resolución analítica IST (Inverse Scattering Transform) (Gardner, Greene, Kruskal, Miura 1967) Hirota’s direct method (1971 R. Hirota) Bäcklund Transform (1883 J.O. Bäcklund) Todas ellas son capaces de obtener soluciones analíticas multi-solitónicas.

La transformación Bäcklund Las ecuaciones diferenciales no lineales ¿Se pueden obtener otras soluciones de manera “sencilla”? Conocidas unas soluciones Las ecuaciones diferenciales lineales Principio de superposición para obtener otras soluciones Conocidas unas soluciones Típicamente las ecuaciones nolineales tienen asociados principios de superposición nolineales específicos. Por tanto, se puede obtener una sucesión infinita de soluciones por procedimientos puramente algebraicos, siempre y cuando se conozcan esos métodos.

La transformación Bäcklund Interés Relaciona ciertas ecuaciones nolineales con otras llamadas “formas canónicas”. Principio de superposición nolineal. Dificultad Solo se conocen para unas pocas ec. diferenciales nolineales. Puede resultar costoso obtener esa sucesión de soluciones. Entre ellas la KdV, sine-Gordon, …

BT en la ecuación sine-Gordon cte arbitraria Una solución trivial de la ecuación sG es el vacio u0=0

BT: (Auto transformada BT) Integrando 1 vez respecto a cada variable, utilizando: Se llega a:

“Gudermannian” Que, evidentemente, tambien es solución de la ecuación sine-Gordon, y que representa un solitón móvil de esa ecuación. mov. a velocidad 1/a

El modelo FK ¿? En 1938, Y.Frenkel y T. Kontorova desarrollaron un modelo previo propuesto por U. Dehlinger (1929) Estudio de dislocaciones en sólidos

Descripción matemática V(u) representa un potencial (“on-site”) actuando sobre cada partícula y generalmente periódico. W(Du) representa la interacción entre partículas vecinas.

Estandar. V sinusoidal y W armónico Existen distintas variantes del modelo FK, dependiendo de la elección de V y W Estandar. V sinusoidal y W armónico W no convexo, p.ej. el modelo XY quiral Long. Natural del muelle Que representa, por ejemplo, un sistema de momentos magnéticos con anisotropía planar fuerte (plano XY) y dirección preferente (dada por el ángulo g) impuesta por ejemplo por un campo magnético superpuesto.

V parabólico V multiarmónico. P.ej. compuesto de 3 sinusoidales Multidimensionales (2d, 3d). Largo alcance, …

Modelo FK estandar Las ecuaciones del movimiento son: Estas (en principio infinitas) ecuaciones son la discretización mas simple de la ecuación en derivadas parciales (integrable) conocida como sine-Gordon Existen variaciones no hamiltonianas (la energía no se conserva a todo t), introduciendo términos disipativos (por ejemplo, del tipo viscoso dependiente de la primera derivada temporal de u), y/o añadiendo forzamientos adicionales uniformes y/o paramétricos.

Modelo FK estandar La forma canónica de la ecuación s-G era: Pero si hacemos el cambio: Aproximación por diferencias finitas

Propiedades del equilibrio del modelo FK estandar Hamiltoniano Configuraciones de equilibrio Configuraciones de mínima energía Recurrentes No-Recurrentes

Modelo FK Algunos contribuyentes (lista incompleta y sesgada). Robert Griffiths Michel Peyrard Serge Aubry etc

FK estandar Hamiltoniano Configuraciones de equilibrio MAP ESTANDAR

FK estandar Configuraciones de mínima energía (MEC) Donde: Perturbaciones arbitrarias pero que solo afectan a un segmento finito de la configuración inicial

FK estandar MEC recurrentes: Hay de 2 tipos: Conmensuradas (o periódicas) Inconmensuradas (o cuasiperiódicas)

FK estandar MEC no recurrentes: Son las versiones discretas de los solitones sine-Gordon Reciben el nombre de disconmensuraciones, kinks o tambien solitones discretos. Corresponden a órbitas homoclínicas en el map estandar. n

FK estandar Podemos caracterizar las configuraciones mediante el winding-number o espaciado promedio: Conmensuradas Inconmensuradas

FK estandar Diagrama de fases del FK: Escalera del diablo s w “rellanos” en todos los racionales p/q

FK estandar Órbitas hiperbólicas sin reflexión del map estandar Los estados fundamentales del FK K=0.5 K=0.7 u u

FK estandar ¿ y los irracionales ? (fases inconmensuradas) K=1.1 Recordar a Chirikov y el teorema KAM u u Se abren infinitos “gaps” “Pinned” Defectible “Slidding” Indefectible EXISTENCIA DE BARRERAS DE PN

FK estandar El último toro KAM (no homótopo a cero) en romperse, corresponde a la media áurea ( y los relacionados con ella de forma sencilla ). El irracional “más irracional”. (R.S. Mackay 1982) El resultado se basa en la conjetura de Greene. Que supone que la rotura de un toro de KAM y la inestabilidad de las órbitas elípticas del map estándar están relacionadas. Valor de K al que el toro KAM de winding number w se vuelve rompe. Valor de K al que la órbita periódica estable (elíptica) de winding number p/q se vuelve inestable (hiperbólica)

FK estandar Los estados fundamentales con un winding-number irracional (inconmensurados) son los límites de la secuencia de estados fundamentales conmensurados cuyos winding-number tienden al irracional. Por ejemplo: Números de Fibonacci (Leonardo Pisano siglo XII) Es el límite de:

FK estandar La transición a la que se rompen los distintos toros de KAM, es decir, al valor de K al que el estado fundamental con un winding-number irracional presenta gaps, se le llama “Transición de Aubry” o de ruptura de analiticidad (TBA). Aunque en general se reserva este nombre a la transición asociada al w más irracional (la media áurea) media áurea

FK estandar La TBA (para la media áurea) se puede estudiar como una verdadera transición de fase, con sus correspondientes exponentes críticos para varias magnitudes críticas. Longitud de coherencia: Energía de la barrera PN: Fuerza de desanclaje: Gap de fonones: Anchura del mayor gap: Y algunas más: viscosidad efectiva, constante elástica, …

FK estandar ¿ Y las MEC no recurrentes ? (solitones discretos) Estado fundamental para un w dado. Estado fundamental para un w dado “desplazado”. Solitón discreto 1 4 7 10 13 ... 27 30 28 31

FK estandar Esquema de la órbita en el map estandar correspondiente a un solitón “centro” del solitón

FK estandar FK no-estandar En este sentido, los solitones discretos son discommensuraciones elementales, paredes de dominio, o defectos en una estructura regular. Por ello se utilizó el modelo FK como arquetipo para el estudio de defectos cristalinos. Pero su aplicabilidad se ha extendido a muchos otros campos y también se utiliza como modelo de estudio puramente nolineal. FK no-estandar Dentro de las múltiples variantes tanto de V, como de W o dimensionales, se han obtenido resultados diversos e incluso algunos analíticos. Aquí no vamos a repasarlos por ir más allá de nuestro objetivo, sino que vamos a estudiar la dinámica de este modelo.

Dinámica del modelo FK Las ecuaciones del movimiento son: A las que les podemos añadir otros términos: Con estos términos el sistema dejará de ser hamiltoniano y pasará a ser un sistema disipativo. Dentro de los múltiples resultados distintos que se pueden obtener, vamos a centrarnos en unos pocos: Desanclaje (“depinning”) Movimiento de solitones Otras estructuras coherentes. BREATHERS

Dinámica del modelo FK Desanclaje Tanto las MEC recurrentes: conmensuradas o inconmensuradas por encima de Kc, como las no-recurrentes (solitones), están “ancladas” por una barrera que les impide moverse. Es la llamada barrera de Peierls-Nabarro Llamaremos “Fuerza de depinning” a aquella FDC homogénea que es necesario aplicarle a la cadena para tener velocidades promedio distintas de cero. Es decir, aquella que nos permite sobrepasar esa barrera.

Dinámica del modelo FK Desanclaje (esquemático) inconmensurada K aumenta conmensurada Para las estructuras “pinneadas” El solitón se desancla antes (a una Fth menor) que la estructura periódica subyacente. La simetría del FK estándar permite desanclar de igual manera en un sentido que en otro.

Dinámica del modelo FK Movimiento del solitón bajo Fuerzas “ac” con amortiguación Fuerza homogénea de promedio temporal nulo Con las condiciones adecuadas para que haya un solitón. ¿Qué podemos esperar? cuasi-partícula (solitón) Potencial de anclaje (PN) Fac

Dinámica del modelo FK intermitente difusivo Mode-locking

¡ ! Dinámica del modelo FK Pero, ¿es extraño este comportamiento? Además, los valores para los que se puede mover el solitón con mode-locking, suceden a valores menores que la Fth del mismo. ¡ ! Pero, ¿es extraño este comportamiento? NO. A un péndulo (nolineal) le pasa lo mismo hamiltoniano amortiguado

Dinámica del modelo FK Forzado y amortiguado Fac Pueden existir órbitas rotantes peródicas y estables El forzamiento compensa al amortiguamiento

Dinámica del modelo FK Solitón en el FK forzado y amortiguado Órbitas periódicas oscilantes órbitas periódicas rotantes bifurcaciones Caos (localizado) histéresis … Solitón en el FK forzado y amortiguado Péndulo nolineal forzado y amortiguado Mutatis mutandi Método de Coordenadas Colectivas

Dinámica del modelo FK Solitón Péndulo efectivo Método de Coordenadas Colectivas Solitón Péndulo efectivo

Dinámica del modelo FK Pero en el fondo el modelo FK estándar puede entenderse como un “lattice model” creado a partir de péndulos acoplados. Cadena de péndulos acoplados con condiciones de contorno periódicas y con un solitón. Pero podemos utilizar esta identificación entre el FK y la cadena de péndulos para crear un nuevo tipo de solución

Dinámica del modelo FK Breathers: Supongamos una variación “superflua” del modelo FK. Mide la intensidad del acoplamiento Es “superflua” porque un re-escalado nos devuelve a la primera. Sin embargo es útil para estudiar el “límite anti-continuo” o “anti-integrable” o “ultra-discreto”.

Dinámica del modelo FK Breathers: Consideremos el límite: Tenemos una cadena de péndulos desacoplados. Si ahora suponemos los términos adicionales de forzamiento y amortiguación, cada uno de esos péndulos responde a la ecuación: Que es la ecuación de un péndulo con amortiguación, linealmente proporcional a la velocidad, y forzado con una fuerza alterna de frecuencia w.

Dinámica del modelo FK Breathers: Pero hemos visto que el péndulo en algunos valores de parámetros presenta histéresis, o lo que es lo mismo coexistencia de distintos atractores. Dos atractores distintos ¿Qué ocurrirá si formamos una cadena de péndulos (en principio desacoplados) y ponemos a todos en un atractor menos 1 que lo situamos en otro atractor distinto y después los “empezamos” a acoplar?.

Dinámica del modelo FK Breathers: Si llamamos An a la amplitud de oscilación del oscilador n-ésimo En general, en los sistemas nolineales, este tipo de estado localizado persiste “fuera” del límite anti-integrable (ultradiscreto) hasta un valor no despreciable del acoplamiento. Pero se puede destruir puesto que no es una estructura topológica como el solitón.

Dinámica del modelo FK Breathers: Incluso podemos seguir su evolución al variar el acoplamiento y observar distintas bifurcaciones de ruptura y posterior recuperación de simetría

Dinámica del modelo FK Breathers: La elección de los estados iniciales de los osciladores debe realizarse con precaución, atendiendo a las posibilidades del sistema acoplado. Por ejemplo: En un FK estandar no podríamos elegir un estado rotante como centro del breather, puesto que al acoplar y debido al carácter parabólico del potencial del interacción, la persistencia del estado localizado supondría un crecimiento indefinido de dicha energía. Incluso podríamos elegir un atractor caótico y otro que no lo fuera. Chaobreather Localización intrínseca de la respuesta caótica de un sistema para cierto rango de parámetros y de condiciones iniciales.

Breathers: Escalera de uniones Josephson En el modelo RCSJ:

Breathers en la ladder: “Oscillo-breather”

Breathers en la ladder: “Roto-breather” (Takeno-Peyrard 1995)

Breathers en la ladder: Secciones de Poincaré “Roto Chaobreather” Caos localizado. Asociado a pertubaciones “muy concretas” en el espacio de fases. Intrinsically localized chaos in discrete nonlinear extended systems. P.J. Martínez, L.M. Floría, F. Falo and J.J. Mazo Europhysics Letters 45,444-449 (1999).

Breathers en 2d: Red bidimensional de uniones Josephson

¿ Breathers en la cadena FPU ? Si: Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science -- March 2005 FOCUS ISSUE: THE "FERMI-PASTA-ULAM" PROBLEM-THE FIRST 50 YEARS ¿ Breathers en el continuo ? Si Tanto los solitones como los breathers son soluciones ubicuitas. Y tienen su vertiente discreta y continua. En la práctica totalidad de los sistemas nolineales aparecen este tipo de excitaciones.

Conclusiones Los “lattice models” nolineales presentan una gran variedad de comportamientos entre los que hemos destacado las respuestas coherentes, en particular: Solitones y Breathers (ILM). Estos fenómenos son típicamente nolineales y aparecen en sistemas homogéneos. De ahí su adjetivo de INTRÍNSECOS. A diferencia de la localización por impurezas de la red (localización de Anderson). El estudio de estos sistemas aprovechan lo que conocemos o podemos conocer de sus límites continuos y “ultra-discretos”. Pero en general se resuelven numéricamente. La Naturaleza nos muestra una multitud de ejemplos para los cuales nuestros ojos no han sido entrenados o quizás no nos hemos fijado bien. Aún estamos a tiempo

Apéndices A1: Solución solitónica de la ecuación KdV A2: Al límite con la FPU A3: Otras PDE’s con soluciones solitónicas A4: Propiedades del “standard map”

A1: Obtención de la solución solitónica en la ecuación KdV Con las transformaciones adecuadas obtenemos la forma canónica de la KdV

A1 Buscamos una solución móvil propagándose hacia la derecha. Por tanto hacemos un cambio de coordenadas. La ecuación canónica queda ahora como: Integrando 1 vez Constante de integración Multiplicando por rx y volviendo a integrar:

A1 Para satisfacer las condiciones de contorno de una solución solitónica, es decir: hacemos ambas constantes de integración iguales a cero. Con lo que obtenemos la ecuación: Sacando la raiz cuadrada, haciendo un cambio de variable e integrando una vez. Nota: Tener presente la derivada de la sech-1(u) Cuya solución es: O en el sistema de referencia estacionario SOLITÓN

A2: Al límite con la FPU A2 Partimos de las ecuaciones del movimiento del modelo a-FPU Definimos: Esto implica que:

A2 Ahora desarrollamos en serie de Taylor: Si introducimos esos desarrollos en las ecuaciones FPU y tomamos límites: Obtenemos hasta O(a6):

A2 Tomando factor común a2 y definiendo c2 =Ka2/m Si tomamos:

A2 Donde a es del orden de a. Además, ignoraremos ondas que vayan hacia la izquierda, de manera que obtendremos ondas que viajen solo hacia la derecha. Ahora definimos: Con el consiguiente cambio: Aplicando este cambio a la ecuación, manteniendo términos hasta a2 e ignorando términos de segunda derivada temporal (respecto de T):

A2 Ahora definimos: Obteniendo:

Otras pde´s con soluciones solitónicas NLSE (nonlinear Schrödinger equation). P.ej. en Propagación de pulsos de luz laser en fibras ópticas. mKdV. Para modelos reticulares débilmente no lineales. Ec. de Liouville. En muchos problemas de Mecánica Estadística

A3 Ecuación Tzitzeca-Dodd-Bullough. Problemas desde flujo de fluidos hasta QFT. Ecuación de Heisenberg ferromagnética clásica. Ec. de campo f4

¿? A3 Ecuación Boussinesq. (1d water flow in channels) Ecuación KP (Kadomtsev-Petviashvilli). Flujo de agua bidimensional ¿?

Propiedades del “standard map” El map estandar T (“standard map”): x y Es un map en el cilindro o desplegándolo (con pbc): x y “y” denota la tasa de rotación alrededor del cilindro

A4 La primera propiedad relevante es que se trata de un map del tipo “twist” Lo que implica que x’ es una función de y creciente monótonamente No es posible

A4 Otra propiedad es la continuidad: La iteración a traves del map de un grafo continuo tambien es un grafo continuo (mod 1) T

A4 Otra propiedad es que se trata de un map simpléctico. Un map simpléctico es aquel que conserva una determinada forma simpléctica, es decir: Los maps que derivan de un flujo hamiltoniano son simplécticos. Una forma simpléctica en un espacio vectorial V sobre Fq es una función f(x,y) (definida para todo x e y de V y que toma valores en Fq) que satisface: Por ejemplo el producto escalar en el espacio euclideo (V). Donde Fq son los reales

A4 Otra propiedad es que se trata de un map que preserva (conserva) áreas. Es una consecuencia de la propiedad simpléctica (el área se obtiene, básicamente, por un producto escalar). A T y x

A4 Otra propiedad la reversibilidad “temporal” (discreta): Tomando módulo (1)

A4 Utilizando alguna de estas propiedades se puede demostrar que los toros de KAM (no-homótopos a cero) son barreras para la difusión de las órbitas por el espacio de fases Toros KAM Tk1 Tk2 La órbita generada a partir de los grafos formados por los toros KAM, son ellos mismos. Son “circulos” invariantes no homótopos a cero.

A4 Por tanto. Si un punto inicial de una órbita está comprendido entre 2 toros invariantes, la órbita entera lo estará. Porque debido a la continuidad del map y a su reversibilidad, si dos órbitas se “cruzan” (y una de ellas es el toro de KAM), al aplicar T’ desde el punto de corte, obtendríamos una duplicidad de órbitas y por tanto un contrasentido (irreversibilidad). T T’ Así pues los toros de KAM constituyen barreras a la evolución de las órbitas en el espacio de fases. Solamente la ruptura de todos ellos, permite una fuerte estocasticidad (aunque no completa).

A4 Hay multitud de enlaces (links) en Internet donde puede estudiarse gráficamente el map estándar (y otros) mediante applets de java. Algunos de ellos son: brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/ www.cmp.caltech.edu/~mcc/Chaos_Course/Lesson27/demos.html